1．“拱桥”模型特点：下有支撑，上无约束，最高点速度有最大值vm＝.2.“绳—球”模型特点：下无支撑，上有约束，最高点速度有最小值vmin＝.3.“杆—球”模型特点：下有支撑，上有约束．最高点速度可以为0，但速度为是对杆有压力还是拉力的分界点.4.通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况，且由动能定理联系两点的速度．

1.(2020·河南郑州市中原联盟3月联考)如图1所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足(　　)

图1

A．sin θ＝ B．tan θ＝

C．sin θ＝ D．tan θ＝

答案　A

解析　小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示，

根据牛顿第二定律有：mgsin θ＝mLω2，解得：sin θ＝，A正确，C错误；求出来是sin θ的表达式，而并非tan θ的表达式，B、D错误．

2.(多选)如图2所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g，下列有关说法中正确的是(　　)

图2

A．小球能够通过最高点时的最小速度为0

B．小球能够通过最高点的最小速度为

C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁有作用力

D．如果小球在最高点时的速度大小为，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力

答案　ACD

解析　因为管道内壁可以提供支持力，故最高点的最小速度可以为零．若在最高点v>0且较小时，球做圆周运动所需的向心力由球的重力与管道内壁对球向上的弹力FN1的合力提供，即mg－FN1＝m，当FN1＝0时，v＝，此时只有重力提供向心力．由此可知，速度在0<v<时，球的向心力由重力和管道内壁对球向上的弹力提供；当v>时，球的向心力由重力和管道外壁对球向下的弹力FN2提供，综合所述，选项A、C、D正确，B错误．

3．(2020·云南昆明市高三“三诊一模”测试)如图3所示，竖直平面内的光滑固定轨道由一个半径为R的圆弧AB和另一个圆弧BC组成，两者在最低点B平滑连接．一小球(可视为质点)从A点由静止开始沿轨道下滑，恰好能通过C点，则BC弧的半径为(　　)

图3

A.R B.R C.R D.R

答案　A

解析　设BC弧的半径为r.

小球恰好能通过C点时，仅由重力提供向心力，

则有：mg＝m

小球从A到C的过程，以C点所在水平面为参考平面，根据机械能守恒定律得：

mg(R－2r)＝mv

联立解得：r＝R，

故选A.

4.(多选)(2020·安徽皖江联盟名校联考)如图4所示，轻质细杆一端连接有质量为m的小球，轻杆可绕另一端在竖直平面内转动，杆的长度为l，小球可以当作质点，当杆转动到竖直平面的最高点时，小球的速度为v＝，忽略小球受到的阻力，g为重力加速度．下列说法中正确的是(　　)

图4

A．小球在最高点时，小球对轻杆的弹力方向向上

B．小球在最高点时，轻杆对小球的弹力大小为mg

C．小球转动到最低点时，杆对小球的弹力大小为mg

D．若小球在最高点受到杆的弹力大小为mg，小球在最高点的速度一定为

答案　BC

解析　对位于最高点的小球受力分析，设轻杆对小球的弹力F方向向下，由牛顿第二定律有mg＋F＝m，代入速度值，解得F＝－mg，负号表示方向向上，轻杆对小球的弹力方向向上，则小球对轻杆的弹力方向向下，选项A错误，B正确．设轻杆在最低点对小球的弹力为F1，根据动能定理可得mv－mv2＝2mgl，解得小球在最低点的速度v1＝，由牛顿第二定律有F1－mg＝m，则F1＝mg，选项C正确．若小球在最高点受到杆的弹力大小为mg，小球受到杆的力可能是拉力也可能是支持力，mg±mg＝m，v＝或v＝2，选项D错误．

5.(多选)(2019·辽宁省实验中学期末)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图5所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则(　　)

图5

A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态

B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大

C．当v0>时，小球一定能通过最高点P

D．当v0<时，细绳始终处于绷紧状态

答案　CD

解析　小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故小球处于超重状态，选项A错误；小球在最低点时，设绳的拉力为FT1，有FT1－mg＝m，在最高点时，设绳的拉力为FT2，小球的速度为v，有FT2＋mg＝m，其中mv－mg·2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，选项B错误；当v0＝时，得v＝，因为小球能经过最高点的最小速度为，而>，则当v0>时小球一定能通过最高点P，选项C正确；当v0＝时，由mv＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<时，小球将在最低点附近来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，选项D正确．

6.(多选)(2020·安徽十校联盟检测)如图6所示，半圆形圆弧轨道固定在竖直面内，直径AD水平，一个质量为m的物块从A点以一定的初速度沿圆弧轨道向下运动，物块恰好匀速率沿圆弧轨道运动到最低点C，运动到B点时物块与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，物块可视为质点，则(　　)

图6

A．物块在B点受到轨道支持力的大小等于mgcos θ

B．物块在B点受到轨道摩擦力的大小等于mgsin θ

C．物块在B点时与轨道间的动摩擦因数等于tan θ

D．物块从A点运动到C点的过程中，受到轨道的作用力不断增大

答案　BD

解析　对物块受力分析如图所示：

物块在B点时，有：FN－mgcos θ＝m，因此物块在B点受到轨道的支持力大于mgcos θ，故A错误；在B点沿切向方向加速度为零，即物块在B点受到轨道摩擦力的大小等于mgsin θ，故B正确；在B点，μFN＝mgsin θ，则μ＝<＝tan θ，故C错误；由于轨道对物块的作用力F和重力mg的合力大小恒定，方向始终指向圆心，根据力的合成及动态分析可知，随着物块向下运动，轨道对物块的作用力逐渐增大，故D正确．

7．(多选)(2020·甘肃兰州一中模拟)如图7甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图象如图乙所示，则(　　)

图7

A．轻质绳长为

B．当地的重力加速度为

C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a

D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a

答案　ABD

解析　在最高点，FT＋mg＝m，解得：FT＝m－mg，可知纵截距的绝对值为a＝mg，g＝，图线的斜率k＝＝，解得绳的长度L＝，故A、B正确；当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为：FT＝m－mg＝－a，故C错误；当v2＝b时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL＝mv－mv2，根据牛顿第二定律得：FT′－mg＝m，联立以上可得拉力为：FT′＝6mg＝6a，故D正确．