2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-三角形选择题1

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-三角形选择题1，共29页。

2021中考数学真题知识点分类汇编-三角形选择题1

一．三角形的面积（共1小题）
1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
二．三角形的重心（共2小题）
2．（2021•陕西）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（　　）

A． B． C． D．
3．（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
三．三角形三边关系（共2小题）
4．（2021•宜宾）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
四．三角形内角和定理（共2小题）
6．（2021•梧州）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
7．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
五．三角形的外角性质（共3小题）
8．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）

A．90° B．80° C．60° D．40°
9．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
10．（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°
六．全等三角形的性质（共2小题）
11．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
12．（2021•台湾）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（　　）

A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FC
C．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC
七．全等三角形的判定与性质（共2小题）
13．在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
14．（2021•威海）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF•AC
八．全等三角形的应用（共1小题）
15．（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
九．线段垂直平分线的性质（共3小题）
16．（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
17．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
18．（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）

A．10.5 B．12 C．15 D．18
一十．等腰三角形的性质（共2小题）
19．（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．30°
20．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4
一十一．等边三角形的性质（共1小题）
21．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
一十二．等边三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）

A． B． C．2 D．3
一十三．直角三角形的性质（共1小题）
23．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　）

A．2km B．3km C．km D．4km
一十四．含30度角的直角三角形（共1小题）
24．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
一十五．勾股定理（共4小题）
25．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
26．（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．5
27．（2021•烟台）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（　　）

A． B． C． D．
28．（2021•贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
一十六．勾股定理的应用（共1小题）
29．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
一十七．等腰直角三角形（共4小题）
30．（2021•绵阳）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）

A．22°或42° B．23° C．25° D．27°
31．（2021•西藏）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
32．（2021•黔东南州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．75°
33．（2021•宜宾）一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
一十八．三角形中位线定理（共2小题）
34．（2021•梧州）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
35．（2021•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为（　　）

A．6 B．4 C．3 D．5

参考答案与试题解析
一．三角形的面积（共1小题）
1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△CEG，
∵BC：EC＝3：1，
∴BE：EC＝2：1，
∴AD：EC＝2：1，
∴＝4，
∵S△ADG＝16，
∴S△CEG＝4，
故选：B．
二．三角形的重心（共2小题）
2．（2021•陕西）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
3．（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：

∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，
Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2
＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100
＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，
∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，
此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴＝，即＝，
∴AM＝3，
∴AM＝AB，即M是AB的中点，
同理可得AN＝AC，N为AC中点，
∴P是△ABC三条中线的交点，
故选：D．
三．三角形三边关系（共2小题）
4．（2021•宜宾）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有4，
故选：C．
5．（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
四．三角形内角和定理（共2小题）
6．（2021•梧州）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
20°+4∠C+∠C＝180°，
5∠C＝160°，
∠C＝32°．
故选：A．
7．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵∠CDE＝160°，
∴∠ADE＝20°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．
故选：D．
五．三角形的外角性质（共3小题）
8．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，则∠C的大小是（　　）

A．90° B．80° C．60° D．40°
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．
故选：B．
9．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：如图，

∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
10．（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．95° C．100° D．110°
【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，
∴∠4＝∠3＝35°，
∴∠2＝∠4+∠5＝95°，
故选：B．

六．全等三角形的性质（共2小题）
11．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）

A．30° B．25° C．35° D．65°
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
12．（2021•台湾）已知△ABC与△DEF全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AC上，B、F、C、D四点共线，如图所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，则下列叙述何者正确？（　　）

A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FC
C．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∵∠ACB＝∠DFE，
∴EF＝EC．
∵∠CED＝35°，∠D＝40°，
∴∠D＞∠CED．
∴CE＞CD．
∵AC＝DF，
∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．
∴AE≠FC．
∴EF＝EC，AE≠FC．
故选：B．
七．全等三角形的判定与性质（共2小题）
13．在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF＝S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM＝，EF＝，EF∥AB，∠MDB＝90°，
∴DM＝EF，∠FEC＝∠BAC，故结论①正确；
连接DF，EN，

∵D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN＝，DF＝，DF∥AC，∠NEC＝90°，
∴EN＝DF，∠BDF＝∠BAC，∠BDF＝∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB＝∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF＝∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF＝∠EFN，故结论②正确；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠DFE＝∠BAC，
又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM＝∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM＝∠EFN+∠ENF＝180°﹣∠FEN＝180°﹣（∠FEC+∠NEC）＝180°﹣（∠BAC+90°）＝90°﹣∠BAC，
∴∠MFN＝∠DFE+∠EFN+∠DFM＝∠BAC+90°﹣∠BAC＝90°，
∴MF⊥FN，故结论③正确；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF＝S四边形ABFE，故结论④错误，
∴正确的结论为①②③，共3个，
故选：B．
14．（2021•威海）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）

A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF•AC
【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中有：，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，
故A选项不符合题意；
②∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故B选项不符合题意；
③假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°，
∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一个外角，
∴∠AEG＝∠EAB+∠ABE
而事实上∠AEG≠∠EAB+∠ABE，
∴假设不成立，
故C选项符合题意；
④∵∠FAB＝∠FBA＝36°，
∴∠AFB＝180°﹣2×36°＝108°，
∴在△AFB中有＝，
∵∠CBF＝36°，∠FCB＝72°，
∴∠BFC＝72°，
∴在△BFC中有：＝，
∴＝，即BF2＝AB•CF，
∵AB＝AC，
∴BF2＝AC•CF，
故D选项不符合题意．
故选：C．
八．全等三角形的应用（共1小题）
15．（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
九．线段垂直平分线的性质（共3小题）
16．（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故选：B．
17．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
18．（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）

A．10.5 B．12 C．15 D．18
【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝AD+BD+AC＝AB+AC，
∵AB＝9，AC＝6，
∴△ACD的周长＝9+6＝15，
故选：C．
一十．等腰三角形的性质（共2小题）
19．（2021•赤峰）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．30°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B．
20．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+3 C．+1 D．4
【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，
∴∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝BC＝BF＝CF，
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，
故选：C．
一十一．等边三角形的性质（共1小题）
21．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（　　）

A．40° B．30° C．20° D．15°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，
∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．
故选：C．
一十二．等边三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）

A． B． C．2 D．3
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OC⊥AB，
∴OD＝OC＝2，
故选：C．

一十三．直角三角形的性质（共1小题）
23．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　）

A．2km B．3km C．km D．4km
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4（km）．
故选：D．
一十四．含30度角的直角三角形（共1小题）
24．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，

∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠EFB＝90°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，
∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，
∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF+∠FBM＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴BM⊥AE，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，故②正确；
∴∠EBF＝45°，
∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM
＝45°﹣22.5°
＝22.5°，
故③错误；
∵∠AFM＝90°，AF＝FM，
∴∠MAF＝45°，AM＝，
∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠AEM＝∠MAE，
∴EM＝AM＝FM，
∴EF＝EM+FM＝（+1）FM，
∴S△EFB：S△BFM＝（ ）：1，
又∵四边形BCEF是正方形，
∴S四边形BCEF＝2S△EFB，
∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，
故④正确，
∴正确的是：①②④，
故选：C．
一十五．勾股定理（共4小题）
25．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵，
∴，
解得CD＝2.4，
故选：D．

26．（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．5
【解答】解：∵以AC为直径的⊙O交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
则由勾股定理得到：AB＝＝＝10．
∴AC•BC＝AB•CD，即＝．
故CD＝．
故选：C．
27．（2021•烟台）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，
∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，
∴∠A＝∠OBC＝∠OCD＝…＝∠OLM＝60°，
∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，
同理可得，OC＝OB＝（）2OA，
OD＝OC＝（）3OA，
…
OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．
故选：A．
28．（2021•贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．

∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
一十六．勾股定理的应用（共1小题）
29．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　）

A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，
根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，
解得h＝12，
∴水深为12尺，
故选：C．
一十七．等腰直角三角形（共4小题）
30．（2021•绵阳）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别为BC、AC上的点，∠CNM＝50°，P为MN上的点，且PC＝MN，∠BPC＝117°，则∠ABP＝（　　）

A．22°或42° B．23° C．25° D．27°
【解答】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，

∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∴CH＝CG＝MN，
∵PC＝MN，
存在两种情况：
如图，CP＝CP1＝MN，

①P是MN中点时，
∴MP＝NP＝CP，
∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMC＝∠PCM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CPM＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CPB＝117°，
∴∠BPM＝117°﹣100°＝17°，
∵∠PMC＝∠PBM+∠BPM，
∴∠PBM＝40°﹣17°＝23°，
∴∠ABP＝45°﹣23°＝22°．
②CP1＝MN，
∴CP＝CP1，
∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，
∵∠BP1C＝117°，
∴∠BP1M＝117°﹣80°＝37°，
∴∠MBP1＝40°﹣37°＝3°，
∴∠ABP＝42°．
综上，∠ABP＝22°或42°．
故选：A．
31．（2021•西藏）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：如图，

∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，
故选：B．
32．（2021•黔东南州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．75°
【解答】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B＝45°，∠E＝30°，∠EFD＝90°，

∴∠AGE＝∠BGF＝45°，
∵∠1＝∠E+∠AGE，
∴∠1＝30°+45°＝75°，
故选：D．
33．（2021•宜宾）一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：如图，延长ME，交CD于点F，

∵AB∥CD，∠1＝55°，
∴∠MFC＝∠1＝55°，
在Rt△NEF中，∠NEF＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠MFC＝35°，
∴∠2＝∠3＝35°，
故选：B．
一十八．三角形中位线定理（共2小题）
34．（2021•梧州）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AC＝8，BC＝6，
∴AE＝AC＝4，ED是直角△ABC的中位线．
∴ED∥BC且ED＝BC＝3
∴AE⊥ED．
∴S△AED＝＝＝6．
同理BF＝BC＝3，DF＝AC＝4，DF⊥BC，
∴S△BFD＝＝＝6．
∴S四边形CEDF＝﹣S△AED﹣S△AED＝﹣6﹣6＝12．
故选：B．

35．（2021•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为（　　）

A．6 B．4 C．3 D．5
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，若DE＝6，
∴AC＝2DE＝12，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，
∴BF＝AC＝6，
故选：A．