2022届江西省萍乡市高三二模考试数学文科试题（word版）

绝密★启用前　　　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效）

萍乡市2021－2022学年度高三二模考试试卷

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．

 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知，，则

A．      B．        C．        D．

（2）已知复数满足(为虚数单位)，则=

A．        B．         C．              D．

（3）北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．下图是2012-2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是

A．2012-2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势

B．2013-2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快

C．2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底

D．2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长

（4）已知，则

A．              B．             C．            D．

（5）若函数的图象在处的切线斜率为，则

A．            B．           C．               D．  

（6）在中，为边上的中线，在线段上，，则

A．    B．     C．     D．

（7）如图，在正方体中，分别为的中点，过点作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下面部分几何体的正视图为

A              B             C           D

（8）已知椭圆，圆，若的重心在椭圆上，则椭圆的离心率为

A．          B．              C．        D．  

（9）已知圆，直线为绕原点转动的任一直线，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为

A．              B．              C．            D．

（10）已知函数，则的所有零点之和为

A．         B．           C．             D．

（11）已知四棱锥的底面四边形是正方形，侧棱平面，，且直线与平面所成的角的正切值为，则四棱锥的体积为

A．              B．               C．            D．

（12）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为

A．            B．              C．       D．

萍乡市2021－2022学年度高三二模考试试卷

文 科 数 学

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22，23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．

（13）已知函数是上的单调奇函数，若非零实数满足，则的值是_______．

（14）若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为________．

（15）中，角的对边分别为，若，则________．

（16）已知圆，对直线上一点，在圆上总存在点，使得，则实数的取值范围为________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 

（17）（本小题满分12分）

第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，组委会为普及冬奥知识，面向全市征召名志愿者成立冬奥知识宣传小组，现把该小组成员按年龄分成这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为．

(1)  求和的值，并估计该冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数（中位数精确到）；

(2)  若用分层抽样的方法从年龄在内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者去该社区的一所高中组织一次冬奥知识宣讲，求这志愿者中至少有1人年龄在内的概率．

（18）（本小题满分12分）

如图，一半圆的圆心为，是它的一条直径，，延长至，使得，设该半圆所在平面为，平面外有一点，满足平面平面，且，该半圆上点满足．

(1)  求证：平面平面；．

(2)  若线段与半圆交于，求三棱锥的体积．

（19）（本小题满分12分）

已知数列中，，令．

(1) 计算的值，并求数列的通项公式；

(2) 若，求数列的前项和．

（20）（本小题满分12分）

已知．

(1) 若，求的极值；

(2) 若不等式恒成立，求实数的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知抛物线，焦点为，过作动直线交抛物线于两点，过作抛物线的切线，过作直线的平行直线交轴于，设线段的垂直平分线为，直线的倾斜角为．已知当时，．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 证明：直线过轴上一定点，并求该定点的坐标．

请考生在第22，23两题中任选一题做答．只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)  求曲线的极坐标方程；

(2)  若是曲线上的两点，且，求的最小值．

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

(1)  解不等式；

(2)  若不等式恒成立，求实数的取值范围．

萍乡市2021－2022学年度高三二模考试

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题（12×5=60分）：CDBAA； BCACD； CB．

二、填空题（4×5=20分）：13．；   14．；   15．；  16．．

三、解答题（共75分）：

17．(1)由频率分布直方图知：，解得 …………2分

因为年龄在内的人数为，所以………………………………4分

设冬奥知识宣传小组成员年龄的中位数的估计值为，则内，且满足

，解得……………………………………6分

(2)由频率分布直方图知：小组成员年龄在的人数之比为，故抽取的6名志愿者中，在区间中分别抽取了人，人，人…………………7分

记中的名志愿者为，中的名志愿者为，中的名志愿者为，则从人中再随机抽取人的所有可能有 ；……………10分

共种，至少有1人年龄在内的情形有种，故所求概率为 ……………12分

18．(1)连接，………………………………………………1分

又平面平面，平面平面，…………………2分

平面，又平面………4分

由平面平面，且交于，平面，

又平面，故平面平面……………6分

(2)过点作于，则为的中点，在中：

，即：………………8分

…………………………………9分

………………………………………………………10分

又…………………12分

19．(1) 由得，又，，…………2分

；……………………………………………………………3分

由 得：；两式相除可得 ，………………………………4分

则 ， 是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故 ；………6分

(2)由 (1) 知 ，则 ，

，………………………………8分

，…………10分

，故．…………………………………………12分

20．(1)当时，，………2分

当时，递增；当时，递减…………3分

的极大值为；无极小值；………………………………………………5分

(2)…………………………6分

当即时，递增；，不合题意…8分

（注：取其它使得的也可）．

当即时，递增；递减，的最大值恒成立 ……………………10分

令

因在递增，且，，即．………………12分

21．(1)法一：当时，直线的斜率为，又过焦点，故直线的方程为：，代入得：，……………………………………2分

为钝角，………………………………………4分

，代入解得，抛物线的方程为；…………………5分

法二：如图：设抛物线的准线为，过作于，过作于，

为钝角，在线段上…………………1分

…………………………2分

…………………3分

又……………4分

，解得，抛物线的方程为； ………………………5分

(2)直线与抛物线相交，的斜率存在，由（1）知，设的方程为，

代入，得……………………………………6分

由得，得，切线斜率直线斜率，

又直线过直线的方程为：，………………………………8分

令，得，的中点……9分

线段的垂直平分线的斜率，（，否则为轴，与抛物线只有一个交点）

直线的方程为： ………………………………………………10分

设与轴交于点，，

直线过定点，命题得证．………………………………………………………………12分

22．(1)由参数方程可得，……………………………………………………2分

两式相乘得普通方程为，………………………………………………………………4分

故曲线的极坐标方程为，即．…………………5分

(2)因为，所以可设，， ………………………………………6分

………9分

故当且仅当时，的最小值为．………………………………………………10分

23．(1)……………………………………………………1分

当时，，则…………………………………………………2分

当时，，则 ……………………………………3分

当时，，则……………………………………………………4分

综上，………………………………………………………………………5分

(2)法一：令

当时，，故不合题意 ………………………………7分

当时，如图所示为的图象，恒过定点，

故恒成立，又，则…………10分

法二：当时，为，显然成立， ……6分

当时，化为……………………7分

令，则…………………………………8分

当且仅当且时等号成立. …………………………………………9分

综上知：…………………………………………………………………………………10分

命题：胡  斌(市教研室)　 尹少军(莲花中学)　 孙金根(上栗中学) 　罗缘辉(芦溪中学)

彭小奇(湘东中学)   陈友全(萍乡中学)   屈卫华(萍乡三中)

审核：胡  斌