2022届江西省萍乡市高三二模考试数学理科试题（word版）

绝密★启用前　　　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效）

萍乡市2021－2022学年度高三二模考试试卷

理 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．

 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设，，，则

A． B． C． D．

（2）复数满足，则的最大值为

A． B． 

C． D．

（3）北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．下图是2012-2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是

A．2012-2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势

B．2013-2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快

C．2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底

D．2013-2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长

（4）等比数列中，，，则

A． B． C． D．

（5）若函数的图象在点处的切线斜率为，则

A．         B． C．               D．

（6）在中，为边上的中线，在线段上，，则

A．                    B．    

C．                    D．

（7）某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

A．                              B．

C．                              D．

（8）函数，若，，则的范围是

A． B． C． D．

（9）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为

A．  B． C． D．

（10）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是

A． B． C．            D．

（11）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是

A． B． C． D．

（12）正方体棱长为，动点在线段上（含端点），以下结论不正确的为

A．三棱锥的体积为定值

B．过，，三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形

C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为

D．直线与面所成角的正弦值的范围为

萍乡市2021－2022学年度高三二模考试试卷

理 科 数 学

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．

（13）若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．

（14）在的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为__________．（结果用数字作答）

（15）已知函数，等差数列满足，则

__________．

（16）若函数的最小值为，则函数的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 

（17）（本小题满分12分）

在中，角,,所对边分别为,,，现有下列四个条件：①；②；③；④．

(1)题干中的③与④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；

(2)请选择一组使有解的三个条件，并求的面积．

（18）（本小题满分12分）

如图，在五面体中，已知平面，，为正三角形，且．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

若四点恰有三点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)动直线与椭圆交于两点，中点为，连(其中为坐标原点)交椭圆于两点，证明：．

（20）（本小题满分12分）

为庆祝建党一百周年，某卫视开展了“学党史”知识竞赛答题活动，每位参赛嘉宾共需要回答（，且）次答题，以获得扶贫基金．若每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，且各次答题相互独立．规定第一次答题时，若回答正确得200元，回答错误得100元．第二次答题时，设置了两种答题方案供参赛嘉宾选择．方案一：若回答正确得500元，回答错误得0元；方案二：若回答正确则获得上一次获得答题基金的两倍，回答错误得100元．从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束．

(1)如果，参赛嘉宾甲应该选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；

(2)记参赛嘉宾甲第i次获得的基金为，期望为，且选择方案二．记，请直接写出用表示的表达式，并求．

参考数据：，．

（21）（本小题满分12分）

已知函数．

(1)求在上的值域；

(2)若函数，试讨论的零点个数．

请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.　　　　　　　

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若是曲线上的两点，且，求的最小值．

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数．

(1)解不等式；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

萍乡市2021－2022学年度高三二模考试

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题（12×5=60分）    BCBCA； BCADA； BD．

二、填空题（4×5=20分）     13．；  14．；  15．；  16. .

三、解答题（共75分）

17. 解：(1)

，即..............................................................2分

又，由余弦定理知，即................................................4分

不符合

所以③④两个条件不可以同时成立........................................6分

(2)若选择①②③，由(1)可知，由，

则，..............................................................9分

所以..............................................................12分

若选择①②④，由，代入④得

..................................................................9分

由(1)可知，则.......................................................12分

18.解：(1)取中点，中点，连接，，......................................2分

且，又，，，且

所以四边形是平行四边形，，且

又平面，平面，平面平面；

，................................................................4分

又平面平面，平面，平面，平面，

又平面，所以平面平面................................................6分

(2)由(1)知，，且，平面，平面平面；以为原点，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，……7分

则，，………………………………8分

设平面法向量为，则，取...............................................9分

又，则，又平面平面，平面，

所以平面，即为平面的一个法向量，......................................10分

..................................................................11分

显然二面角为钝角，故其余弦值为........................................12分

19.解：（1）由于，，两点关于原点对称，必在椭圆上........................1分

则，且............................................................3分

所以必在椭圆上，即有，，椭圆；........................................4分

（2）设，，联立，得.................................................5分

则，..............................................................7分

，则..............................................................8分

联立，............................................................9分

..................................................................10分

..................................................................11分

..................................................................12分

20．（1）若甲第2次答题选方案一，记两次答题累计基金为，则可能取700，600，200，100．       

，，，，

则累计基金的期望．..................................................2分

若甲第2次答题选方案二，记两次答题累计基金为，则可能取600，300，200．

则，，，

则累计基金的期望．..................................................4分

因为，所以应选择方案一．.............................................5分

（2）依题意得......................................................6分

的可能取值为200，100，其分布列为

所以，............................................................7分

则，由得：，          

所以为等比数列．其中首项为，公比为．..................................9分

所以，故．.........................................................10分

元................................................................12分

21.（1），

当时，单调递增；当时，单调递增；故在上单调递增，，即的值域为；............4分

（2）

①当，即时，在递减，在递增，，即有唯一的零点；..........................5分

②当，即时，在递增，在递减，，即有唯一的零点；..........................6分

③当，即时，有两根和，其中

在和递增，在递减，

当，即时，在有一个零点，在有一个零点，即有两个零点；...................7分

当，即时，在无零点，在有一个零点，即有唯一零点；......................8分

④当时，，恰有一个零点；.............................................9分

⑤当，即时，有两根和，其中

在和递增，在递减

当，即时，在有一个零点，在无零点，即有一个零点；......................10分

当，即时，在有一个零点，在有一个零点，即有两个零点；...................11分

综上所述： 或或，存在一个零点；

或，存在两个零点．.........................................12分

22.(1)由参数方程可得，..................................................2分

两式相乘得普通方程为．...............................................4分

故曲线的极坐标方程为，即．...........................................5分

(2)因为，所以可设，，.................................................6分

..................................................................9分

故当且仅当时，的最小值为．...........................................10分

23.（1）...........................................................1分

当时，，则.........................................................2分

当时，，则.........................................................3分

当时，，则.........................................................4分

综上，............................................................5分

（2）法一：令.

当时，，故不合题意..................................................7分

当时，如图所示为的图象，恒过定点，

故恒成立，又，则…………10分

法二：当时，为，显然成立， ……6分

当时，化为……………………7分

令，则............................................................8分

当且仅当且时等号成立................................................9分

综上知：...........................................................10分

命题：胡  斌(市教研室)　 彭小奇(湘东中学)   陈友全(萍乡中学)   屈卫华(萍乡三中)

尹少军(莲花中学)　 孙金根(上栗中学) 　罗缘辉(芦溪中学)

审核：胡  斌