第21题 平面解析几何——【新课标全国卷（理）】2022届高考数学三轮复习考点题号一对一

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1.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为(其中O为坐标原点)，不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
2.双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点重合)，设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知定点，定直线，动点P到l的距离比到点F的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点的动圆M与曲线C相交，其中为它们的两个交点，且动圆M与直线相交于另一点D，求的最小值.
4.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与y轴的正半轴交于点D，直线与椭圆C交于A，B两点（l不经过点D），且，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.
5.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线C上一点.若第一象限的点P，Q是双曲线C上不同的两点，且.
（1）求C的离心率；
（2）设A，B分别是C的左、右顶点，证明：.
6.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A，B，且的面积为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M，N两点，且，求的最大值.
7.已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过定点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，已知点，设直线AN，BN的斜率分别为，求证：.
8.已知抛物线的焦点为F，点Q是抛物线C上的一点，且点Q的纵坐标为4，点Q到焦点的距离为5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l不经过点Q且与抛物线C交于A，B两点，直线QA，QB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点，并求出此定点.
9.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C左焦点的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于A，B两点，若点满足，求.
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是椭圆上任意一点，且的周长为，以坐标原点O为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l是圆在动点处的切线，l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：的大小为定值.
11.已知抛物线与直线相切.
（1）求该抛物线的方程；
（2）在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得，为定值？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
12.已知椭圆的离心率为，右顶点为，P是抛物线的焦点.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若C上存在两动点A，B（A，B在x轴两侧），满足（O为坐标原点），且的周长为，求.
13.已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆C的左、右焦点，P是C上任意一点，若面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.
14.已知曲线E上任意一点P到点的距离与它到直线的距离相等，若过F的两条直线，的斜率之积为，且，分别交曲线E于A，B两点和C，D两点.
(1)求曲线E的方程；
(2)求的最小值.
15.如图，已知动直线分别过椭圆的左、右焦点交于点P，与椭圆E分别交于A，B，C，D四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率满足，当与x轴重合时，.
（1）求椭圆E的方程.
（2）是否存在定点M，N，使得为定值？若存在，求出点M，N的坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：(1).
(2).
解析：(1)由题意得，故，解得，
故拋物线C的方程为.
(2)易得，由题意可设直线PQ的方程为，
，由，消去x，得，
故.
因为，所以，即.
整理得，
即，即，所以，所以或.
当，即时，直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，则由，即，得，
即，即轨迹是以MH为直径的圆(除去点).
2.答案：(1).
(2)证明过程见解析.
解析：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.
3.答案：(1)方程为.
(2)最小值为.
解析：(1)设动点，则由题意知，所以，
即点P到定直线的距离与点P到点F的距离相等，
所以点P的轨迹是以O为顶点，F为焦点的抛物线，
所以轨迹C的方程为.
(2)由题意可知圆心M在x轴上，
设，
连接MH，MA，则，即，
即，
圆M的方程为.
令，得或，所以，
所以.
因为，
所以，
当且仅当，即(舍去)时等号成立.
所以的最小值为.
4.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意，设椭圆，焦距为2c，另一个焦点为，
则，.
在中，.
由椭圆的定义得，则，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）得，设，.
由消去y得，易知，
则，，
，.
由得，即，
所以，解得或.
当时，直线l经过点D，舍去.
当时，直线l的方程为，
所以直线l经过定点，且该定点的坐标为.
5.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意知，即，
所以.
将代入双曲线的方程得，解得，
所以，故C的离心率.
（2）由（1）可知双曲线C的方程为，，.
不妨设点P在Q的上方，，，
则，，
又，，
所以，，
则
.
又，，
所以，
所以，
又，，所以.
6.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆C的离心率为，所以①.
将代入，得，
所以，
则，即②.
由①②及，得，，
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为.
联立得消去x得，
，化简整理，得.
设，，则，.
因为，所以.
因为，所以，，
得，
将，代入上式，得，
得，
解得或（舍去），
所以直线l的方程为，则直线l恒过点，
所以.
设，则，，
易知在上单调递增，
所以当时，取得最大值，为.
又，
所以.
7.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)因为椭圆离心率为，且过点，
所以，解得，，
所以椭圆C的方程为.
(2)证明：若AB的斜率不存在，则，，
此时，
若AB的斜率存在，设，，，，
设AB的方程为，
，得，
由韦达定理得，，
则，，
所以
，
综上.
8.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得，准线方程为，由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得或（舍去），所以抛物线C的方程为.
（2）由题意设直线AB的方程为，，，联立直线AB与抛物线的方程，得整理可得，
则，，.
由（1）可得，易知，，则，
即，
即，整理可得，
将，代入，可得，即，
所以或，即或.
当时，直线AB的方程为，
即，根据可得此时直线AB恒过定点.
当时，直线AB的方程为，即，根据可得此时直线AB恒过定点.
由题意可得直线AB不过点，
所以直线AB恒过定点.
9.答案：（1）椭圆C的方程为
（2）
解析：（1）由题意得，即，所以，
将代入，可得，
即，整理得，
解得（舍去）或，则，
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意得，设直线l的方程为，，，联立椭圆C与直线l的方程，可得，整理得，
则，
且，.设AB的中点为，则，.
因为点满足，
所以，即，解得，
则，，
所以.
10.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为以坐标原点O为圆心，椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，所以，可得.因为的周长为，所以，所以，，，所以椭圆C的方程为.
（2）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设，，直线l的方程为.
因为l为圆O的切线，所以，即①.
将与椭圆方程联立，消去y得，易知，
所以，，
②.
由①②得，所以，，即的大小为定值.
11.答案：（1）联立方程得，消去x，得，由直线与抛物线相切，得，又，.故抛物线的方程为.
（2）假设存在满足条件的点，设直线l的方程为，由，得，设，，则，.
，，，当时，为定值，.
12.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，
解得，所以，所以，所以，
从而抛物线C的标准方程为.
（2）由题意知直线AB的斜率不为零，设直线，
代入得，.
设，，其中，
所以，，则且.
因为，
所以，
即，所以，故或（舍去），
则直线.
因为的周长为，所以，
即，
因为，
，
所以，解得，
所以.
13.答案：(1)由，可得，
由面积的最大值为知，，解得，，.
故椭圆C的方程为.
(2)证明：联立可得.
联立消去y得
直线与椭圆C交于A，B两点，
，
且.
设，，直线MP，MQ的斜率分别为，，
则，，
又，，，，
，
由此可知，
始终为等腰直角三角形.
14.答案：(1)由定义可知，曲线E为以为焦点，直线为准线的抛物线.
设其方程为，则，所以，
故曲线E的方程为.
(2)设直线AB的方程为，联立
消去y得，
设，，则，
于是，
设直线CD的方程为，
同理可得.
因此，
因为，所以，
当且仅当或时，等号成立.
故的最小值为32.
15.答案：（1）当与x轴重合时，
，即，
垂直于x轴，
，
解得，椭圆E的方程为.
（2）焦点的坐标分别为（-1，0），（1，0）.
当直线的斜率均存在时，设的斜率分别为，
易得.
由，
得，
，
则，
同理.
，
即.
由题意知
设，则，
即.
当直线或斜率不存在时，点P坐标为（-1，0）或（1，0），也满足此方程.
点在椭圆上，存在点和点或点和点，使得为定值，定值为.