2022届浙江省金华十校高三下学期4月联考数学试题含解析

  2022年4月金华十校高三联考

数学试题

选择题部分 (共 40 分)

一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

2．已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（       ）

A．若是纯虚数，则这个纯虚数为

B．若为实数，则

C．若在复平面内对应的点在第一象限，则

D．当时，

3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是(       )

A． B．1 C． D．

4．直线平面，直线平面，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．已知满足不等式组，若中有最大值，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

7．已知函数，则图象为下图的函数可能是（       ）

A． B． C． D．

8．三棱锥中，，若三角形和都是等腰直角三角形，则可能的不同取值有（       ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．至少4种

9．设，则有（       ）

A．存在成立 B．任意恒成立

C．任意恒成立 D．存在成立

10．已知数列满足，则下列有可能成立的是（       ）

A．若为等比数列，则

B．若为递增的等差数列，则

C．若为等比数列，则

D．若为递增的等差数列，则

二、双空题

11．直线的斜率为________，直线，若，则________.

12．香囊，又名香袋、花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示.则图2中两线段与，在图1的六面体中实际所成的角为________，若该六面体的正视图由一菱形与其两条对角线组成（如图3所示），则这个菱形的面积为________.

13．口袋中有个黑球、个白球，个红球，从中任取个球，每取到一个黑球记分，每取到一个白球记分，每取到一个红球记分，用表示得分数，则________，________.

14．已知函数，则函数的最大值为________，若函数在上为增函数，则的取值范围为________.

三、填空题

15．年北京冬奥会大约招募了万名志愿者.名金华籍志愿者被安排在运动场馆，每名志愿者只能去一个场馆，若可供安排的个场馆中至少有个要安排他们，则不同的安排种数有________.

16．过双曲线的左焦点的直线，在第一象限交双曲线的渐近线于点，与圆相切于点.若，则离心率的值为________.

17．已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.

四、解答题

18．已知函数.

(1)求函数的周期及对称轴:

(2)在锐角中，分别是角的对边.若，求的面积.

19．已知四棱锥，底面是梯形，，，侧面底面，为的中点，，，，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.

(1)求数列、的通项公式;

(2)若，求证：.

21．已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点，过作直线的垂线，垂足为为轴上点.且四边形为平行四边形.直线与抛物线的另一个交点分别为

(1)求抛物线的方程;

(2)求三角形面积的最小值.

22．已知函数，.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)（i）若函数在为递减函数，求的值；

（ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

利用交集的定义即得.

【详解】

∵集合， ，

∴.

故选：C.

2．D

【解析】

【分析】

根据复数的乘法运算得，再由复数的基本概念逐一判断可得选项.

【详解】

解：，

对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；

对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；

对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；

对于D：当时，，所以，故D正确，

故选：D.

3．D

【解析】

【分析】

由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，根据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解.

【详解】

根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，

则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，

则，∴.

故选：D.

4．B

【解析】

【分析】

利用线面平行、线面垂直的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】

因为直线平面，直线平面，若，则、平行、相交或重合，

即“”“”；

若，则直线平面，设过直线的平面与平面相交，交线为，

因为直线平面，直线平面，平面平面直线，所以，直线直线，

因为直线平面，直线平面，所以，直线直线，故直线直线，

即“”“”.

因此，“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案.

【详解】

的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意.

故选：A

6．A

【解析】

【分析】

根据题意，作出可行域，然后利用线性规划进行数形结合求解

【详解】

等价于，则可行域如图所示，令，，当时，过或点时，能够取得到最大值，而在之外时，无最大值，故选：A

7．C

【解析】

【分析】

A选项，利用当时，排除A选项，B选项，利用时，排除B选项，D选项，利用奇偶性排除D选项，C选项，满足图象要求.

【详解】

A选项，，其中当时，恒成立，故A选项错误；

B选项，，当时，，不合要求，B错误；

C选项，，当时，，当时，，当时，，且为非奇非偶函数，故符合要求.

D选项，， 定义域为R，且，故为奇函数，图象关于原点对称，不合题意，D错误.

故选：C

8．C

【解析】

【分析】

对三角形和三角形的各边位置关系进行分类讨论，求解出不同情况下的取值，进而得出所有可能取值的种数.

【详解】

根据题意可画简图如下,为等边三角形，且都是等腰直角三角形，分类讨论如下：

时， ，此时中，

所以，

此时，

时，，此时中，

,此时，此时;

时，，此时中，

，此时，此时

所以的取值有3种不同情况.

故选：C.

9．B

【解析】

【分析】

利用配方法可得，即得.

【详解】

∵

又，

∴恒成立，

即恒成立，故ACD错误.

故选：B.

10．B

【解析】

【分析】

若为等比数列，可得，进而可得可判断AC；若为递增的等差数列，利用累乘法可得，再利用裂项相消法可得，利用累加法可得，进而可得，可判断BD.

【详解】

因为，

∴，即，

若为等比数列，则的公比为，

∴，

由，可得，

∴，故AC错误；

若为递增的等差数列，，公差，

由则，

∴，

∴，即，

∴，

∴

，

又，

∴，又

则，

∴当时，不等式恒成立，

故，故B正确，D错误.

故选：B.

11．         

【解析】

【分析】

把直线方程化为斜截式即得，利用直线垂直的关系即得.

【详解】

由题可得，

故直线的斜率为；

由可得，，

解得.

故答案为：；.

12．     ##     ##

【解析】

【详解】

根据题意，六面体为两个正四面体的叠加，

如图与，是对棱，由对称性知与垂直，

故六面体中实际所成的角，

由六面体的正视图为菱形，可得正视图对应长度为：

则的正投影为中点，

作平面于，为中心，

的俯视图在点，

由棱长为得，

所以，

所以菱形的面积为.

故答案为：，.

13．         

【解析】

【分析】

“”表示取出的球为“黑红”或“白”，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；写出随机变量的分布列，可求得的值.

【详解】

解：“”表示取出的球为“黑红”或“白”，所以，；

由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，

则，，，

，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，.

故答案为：.

14．         

【解析】

【分析】

①根据正弦函数值域即可求f(x)最大值；

②根据区间为单调区间求出ω的最大值；求出f(x)的增区间为A，则根据即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.

【详解】

①当sin＝1时，f(x)取最大值3；

②函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，

区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，

即.

令，则，k∈Z；

则，k∈Z；

∵，

∴时，；

时，；时，∵，故不符题意；

综上，ω∈.

故答案为：3；.

15．

【解析】

【分析】

对所需场馆的数量进行分类讨论，按照先分组再分配的方法，结合分类加法与分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】

若有个场馆需要安排，将名志愿者分为三组，每组人数分别为、、或、、，

此时共有种安排方法；

若有个场馆需要安排，将名志愿者分为四组，每组人数分别为、、、，

此时共有种安排方法；

若有个场馆需要安排，则每个场馆只安排人，此时共有种安排方法.

综上所述，共有种安排方法.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

设双曲线的右焦点为，设，，则，

则由题意可得，，从而可求得，所以，从而可得，进而可求出离心率

【详解】

设双曲线的右焦点为，在中，是的一个外角，

设，，则，

因为直线与圆相切于点，所以,

在中，，

所以，

因为，所以，

所以在直角中，，

在直角中，，

因为，所以，

因为为直线的倾斜角，直线为双曲线的渐近线，

所以,所以，

所以，所以，

所以离心率为，

故答案为：

17．##

【解析】

【分析】

设出向量，根据题干条件得到关于的不等式问题，由根的判别式得到不等关系，求出，从而求出的模的最大值.

【详解】

设，，满足，

即满足①，都存在，使得恒成立，

即存在，使得②，

由①②可知：存在，使得成立

即，即，

化简得：③，

即③式恒成立，则必须满足，

解得：，即，

所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】

有关于向量模长的取值问题或最值问题，坐标化处理是一种重要方法和思路，结合题目特征，合理设出向量，利用向量的坐标运算公式，二次函数根的分布或基本不等式，导函数等进行求解.

18．(1)周期为，对称轴为，.

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过三角恒等变换，化为，然后求解

（2）由（1）得，，解出，余弦定理可得

，再化简求解得到，最后即可计算面积

(1)

（1），

，∴.

由得：，故函数的对称轴为，.

(2)

（2），得，

∵，∴，∴，，.

由余弦定理可得.

所以，∴或.

当时，，舍去.

当时，满足，所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理结合勾股定理可得出，利用线面垂直的判定可证得平面，结合可证得结论成立；

（2）证明出平面，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

(1)

证明：不妨设，则，.

在中，，

所以，，即，

，则，，平面，

，平面.

(2)

解：因为平面平面，平面平面，，

平面，平面，

又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，所以，，

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)，

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由结合可求得的值，令，由题意推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，分析可知数列为等比数列，确定的该数列的公比，结合的值可求得数列的通项公式；

（2）由时，，由时，利用放缩法可得出，再利用等比数列的求和公式可证得结论成立.

(1)

解：当时，，所以或，因为，故；

当时，，即，

因为是单调递增的数列，所以，，则，即，

所以，是等差数列，公差为，首项是，所以，.

由得，，所以是等比数列，，，

则数列的公比为，所以，.

(2)

解：当时，，

当时，.

所以，

.

综上可知，对任意的，成立.

21．(1)

(2)16

【解析】

【分析】

（1）由平行四边形对边相等和，求出得到，由抛物线定义可知：是抛物线准线，从而求出抛物线方程；（2）设出直线AD方程，与抛物线联立后得点D的坐标，从而求出AD的长，利用点到直线距离求出点E到直线AD的距离，表达出三角形ADE的面积，利用基本不等式求出最小值.

(1)

∵四边形为平行列边形，∴，因为.

∴，因为点F是抛物线焦点，由抛物线定义可知：为抛物线的准线.

即抛物线C的方程为.

(2)

设，，设的方程为.

代入得：，

∴∴，，

∴，

又∵，

∴，∴.

由题意可得，设AE为,

联立抛物线方程得：

.

∴，，

则点E到直线AD的距离为

.

∴，当且仅当，即时等号成立.

即当时，三角形面积的最小值为16.

【点睛】

对于求解圆锥曲线中的面积问题，要想用变量表达出三角形或者四边形的面积，结合换元法，基本不等式，二次函数或者导函数求出最值.

22．(1)

(2)（i）（ii）

【解析】

【分析】

（1）根据题意求出斜率，求解计算即可；

（2）（i）设，讨论单调性求解即可；

（ii）根据条件得，

分和两种情况构造函数求解即可.

(1)

因为，所以.

函数在处即过点的切线方程：，

故所求的切线方程为：.

(2)

（i）设，

则， ，

当时，，在为增函数.

当时，，在为增函数与在为减函数矛盾；

当时，时，在增函数，

时，，在减函数，

，

因为在为减函数，所以成立.

记，则，

因为时，，时，，所以，

又，所以.

（i i）由（i）成立的条件，即，则.

因为，（不妨设）.

所以

又在为减函数，而，

所以只有和两种情况.

当时，，所以，

当时，所以.

，记

，

所以在为递增函数，

又，在为递减函数，

所以

又时，，，

因为，所以.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、

微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．