高中数学讲义微专题45 均值不等式学案

www.ks5u.com第45炼 利用均值不等式求最值

一、基础知识：

1、高中阶段涉及的几个平均数：设

（1）调和平均数：

（2）几何平均数：

（3）代数平均数：

（4）平方平均数：

2、均值不等式：，等号成立的条件均为：

特别的，当时，即基本不等式

3、基本不等式的几个变形：

（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况

（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围

4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当求的最小值。此时若直接使用均值不等式，则，右侧依然含有，则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中为了乘积消掉，则要将拆为两个，则

② 乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值。则考虑变积为和后保证能够消掉，所以（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。

5、常见求最值的题目类型

（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子

（2）已知（为常数），求的最值，

此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。

例如：已知，求的最小值

解：

（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：

例如：已知，求的最小值

解：

所以

即，可解得，即

注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以

二、典型例题：

例1：设，求函数的最小值为_______________

思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为

答案：

例2：已知，且，则的最大值是________

思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：

，解得：，所以最大值为4

答案：4

例3：已知实数，若，且，则的最小值为（     ）

A.                B.                C.               D. 

思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。，结合分母可将条件，变形为，进而利用均值不等式求出最值

解：

，即的最小值为

答案：A

例4：已知正实数满足，则的最小值为__________

思路：本题所求表达式刚好在条件中有所体现，所以考虑将视为一个整体，将等式中的项往的形式进行构造，，而可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于的不等式，解不等式即可

解：

方程变形为：

解得：

答案：的最小值为

例5：已知，则的最小值为______________

思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：

思路二：观察到表达式中分式的分母，可想到作和可以消去，可得，从而，设，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：

答案：3

小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解

（2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元

（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验

例6：设二次函数的值域为，则的最大值为__________

思路：由二次函数的值域可判定，且，从而利用定值化简所求表达式：，则只需确定的范围即可求出的最值。由均值不等式可得：，进而解出最值

解：二次函数的值域为

答案：

例7：已知，则的最大值是________

思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以

答案：

小炼有话说：本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。

例8：已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________

思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，。进而只需求得的最小值。将视为一个整体，将中的利用均值不等式换成，然后解出的范围再求最小值即可

解：

解得：或（舍）

（在时取得）

例9：已知，则的最小值是___________

思路：观察到所求的两项中部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形的分子。因为，所以，则，所以原式，因为要求得最小值，所以时，，故最小值为

答案：

小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造

例10：已知，且是常数，又的最小值是，则________

思路：条件中有，且有，进而联想到求最小值的过程中达到的最值条件与相关：，即的最小值为，所以，解得，所以

答案：7

三、历年好题精选

1、(2016，天津河西一模）如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（   ）

A.   B.    C.   D.

2、（2016，南昌二中四月考）已知都是负实数，则的最小值是（    ）

A.                B.            C.            D. 

3、（2016，重庆万州二中）已知为正实数，且，则的最小值为________

4、（扬州市2016届高三上期末）已知且，则的最小值为________

5、已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（     ）

A.                   B.             C.               D. 不存在

6、设，为坐标原点。若三点共线，则的最小值是_________

7、已知，且，则的最大值是（     ）

A.              B.            C.            D.

8、设，若，则的最大值为     

9、已知，且，则的最小值是       

习题答案：

1、答案：D

解析：，因为三点共线，所以，根据所求表达式构造等式为，所以有：，由均值不等式可得：，所以

2、答案：B

解析：

    是正实数

3、答案：

解析：

4、答案：3

解析：

或   

5、答案：A

解析：

解得：或（舍）

而

下面验证等号成立条件：解得：

所以等号成立，的最小值为

注：本题要注意到，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件

6、答案：

解析：三点共线

7、答案：A

解析：

8、答案：1

解析：  

9、答案：

解析：