2022届山东省济南外国语学校三箭分校高三上学期模拟考试数学试题含解析

这是一份2022届山东省济南外国语学校三箭分校高三上学期模拟考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届山东省济南外国语学校三箭分校高三上学期模拟考试数学试题一、单选题1．下列各组集合表示同一集合的是（       ）A． B．C．， D．【答案】C【分析】根据集合的表示法一一判断即可；【详解】解：对于A：集合表示含有点的集合，表示含有点的集合，显然不是同一集合，故A错误；对于B：集合表示的是直线上的点组成的集合，集合为数集，故B错误；对于C：集合、均表示含有两个元素组成的集合，故是同一集合，故C正确；对于D：集合表示的是数集，集合为点集，故D错误；故选：C2．已知，则关于x的不等式的解集是（　　）A．或 B．或C． D．【答案】D【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可.【详解】解：因为方程的解为或，且，所以不等式的解集是.故选：D.3．已知函数，则的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】.故选：D4．已知函数在R是奇函数，当时，， 则 的值（       ）A．5 B．-5 C．9 D．-9【答案】B【分析】利用函数的奇偶性，可直接得到答案.【详解】数在R是奇函数，当时，所以，故选：B.5．若函数的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为奇函数，则的图象（       ）A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称【答案】D【分析】先求出，再求出函数的对称轴方程和对称中心即得解.【详解】解：由函数的最小正周期可得，所以，可得，这时，向左平移可得，要使函数为奇函数，则，，而，所以，所以，对称轴满足，，可得A,C不正确；对称中心满足，，所以，可得D正确，B不正确；故选：D6．若，，，则（       ）A． B．C．2 D．-2【答案】A【分析】首先求出，的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为，，所以， ，因为，所以，解得故选：A7．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由题设得到：，从而得到，即可说明数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和求和公式得到结果.【详解】解：由题知两边取对数得：令即，所以数列是以-1为首项，2为公比的等比数列，故选：B8．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（       ）A．8 B．9 C．10 D．【答案】D【分析】根据三角形周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴和的关系，进而求出的值．【详解】：由题意三角形的周长为，由双曲线的定义，可知，所以，由题意，可知，，，所以，解得．故选：．二、多选题9．如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（       ）A．点存在无数个位置满足B．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30°D．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等【答案】ABD【分析】画出示意图，由直线与平面垂直的判定定理，可判断A正确；求出三棱锥体积的最大值，可判定B正确；由线面角的概念，求得其正切值，可判定C错误；根据抛物线的定义，可得的轨迹为平面上抛物线的部分，可判断D正确.【详解】如图所示，在正方体中，平面，则，又由，所以平面,当点在线段上时，可得，所以A正确；由正方体的性质，可知平面，若正方体的棱长为1，则与重合时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为，所以B正确；异面直线与所成的角，即为，当在线段上运动时，取的中点时，最小，可得，故C错误；平面上的点到直线的距离等于点到的距离，则满足到直线和直线的距离相等，即满足到直线和点的距离相等，可知的轨迹为平面上抛物线的部分，故D正确.故选：ABD.10．经过点的抛物线的标准方程为（       ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】把点代入选项，逐项检验即可求解.【详解】因为抛物线过点，所以代入，满足，，不符合.故选：AD11．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，则（       ）A．目标被击中的概率为 B．C． D．【答案】BD【分析】求随机变量X的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错.【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为，所以目标被击中的概率为，A错误.易知该射手每次射击命中失败的概率为，X的取值范围为{1，2，3}，所以，，，所以X的分布列为：X123P ，，B，D正确，C错误，故选：BD.12．已知是定义域为的奇函数，且满足，则下列结论正确的是（       ）A．B．函数的图象关于直线对称C．D．若，则【答案】ACD【分析】由奇函数可得，令，可判断A；由，可得为对称轴，可判断B；由是奇函数，，分析可判断C；由周期为8，可判断D【详解】选项A，由于是定义域为的奇函数，故，令，，故A正确；选项B，由于，故函数关于对称，不一定关于对称，故B错误；选项C，是奇函数，故，令，有，故，即，故C正确；选项D，由C，周期为8，故，故D正确故选：ACD三、填空题13．设集合，，则_________.【答案】【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故答案为：.14．设曲线在点处的切线方程为，则___________.【答案】1【分析】由题意，求导，代入，即得解【详解】对函数求导得，由已知可得，解得.故答案为：115．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是________.【答案】【分析】要使过P点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大，由当与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大，先求出，从而可得答案.【详解】圆的圆心为，半径要使过P点的最短弦，则圆心到弦所在直线的距离最大.当与所求弦垂直时，圆心到弦所在直线的距离最大.由,所以所求弦的斜率为 故所求弦的方程为，即故答案为：16．如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60°，则路灯杆BC的长为___________m.【答案】【分析】设，结合，中的长度和角度关系可求得，再由，可得，解得，即得解【详解】设，在中，有，，所以，在中，有，，则，所以，由题意可知，可得，即，解得，所以.故答案为：.四、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，求角C；(2)若，求角C．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两角和的余弦公式求出C的余弦值，求出C的值即可；（2）结合余弦定理求出C的正切值，求出C的值即可．(1)若1+2cosAcosB＝2sinAsinB，则cosAcosB﹣sinAsinB＝，即故，即,所以，由 ，故(2)若，显然，所以，又由tanA≠0得到tanC＝﹣1，，故．18．已知数列{}是首项=，公差为的等差数列，数列{}是首项=，公比为的正项等比数列，且公比等于公差，+=.（1）求数列{}，{}的通项公式；（2）若数列{}满足=（），求数列{}的通项公式.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）用基本量表示题干中的条件，求解即可；（2）构造对时，有，与原式相减，即得解【详解】（1）由题意，可得，因为，则，解得或，因为等比数列各项为正项，所以，则，.（2）因为对，有成立，对时，有成立，两式相减得，所以，当时，不符合上式，所以.19．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；【分析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.【详解】（1）为的中点，且，则，又因为，则，故四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面，因为平面，因此，平面平面；（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设，,因为，则，解得，，，则.因此，直线与所成角的余弦值为.20．甲、乙两位大学生参加一企业的招聘，其中有三道测试题①②③，已知甲同学对这三道题解答正确的概率分别为，，，乙同学对这三道题解答正确的概率均为，公司规定甲、乙均从这三道试题中抽取两道试题进行解答，且两道试题解答完全正确就可以被录用．（1）求甲同学被录用的概率；（2）若甲同学抽中试题①②，乙同学抽中试题②③，设两人解答正确的试题总数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用独立事件的概率公式，分别计算甲同学抽取①②，①③和②③被录用的概率，再利用互斥事件的加法公式计算即可；（2）列出X的可能取值为0，1，2，3，4，利用事件的独立性分别计算概率，列出分布列，求解数学期望即可.【详解】（1）甲同学抽取①②被录用的概率为甲同学抽取①③和②③被录用的概率均为所以甲同学被录用的概率为.（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，4，可知，，，，所以的分布列为：01234 所以.21．已知椭圆，点在椭圆上，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为椭圆的左､右顶点，为中点，求证：直线与直线它们的斜率之积为定值；（3）若椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，求证：直线与直线斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用离心率公式得到的关系，得到和的关系，将点的坐标代入椭圆方程，即可求出的值，从而得到和的值，求出椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上任意一点，由题意可得，由两点间斜率公式表示出，由点在椭圆上，化简求解即可证明结论；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立方程组，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示出，结合韦达定理进行化简整理，即可证明结论.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率，即，可得，又由，所以椭圆的方程为，因为点在椭圆上，可得所以，解得，则，所以椭圆的方程为.（2）设为椭圆上任意一点，由题意可知，，所以，故，所以，故直线与直线它们的斜率之积为定值.（3）设直线的方程为，，联立方程组，可得，则，解得，所以，故，因为，即，所以直线与直线斜率之和为定值0.【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．22．设函数.（1）求函数的极值点；（2）令.（i）求的最大值；（ii）如果，且，判断与2的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）（i）的最大值为；（ii）；证明见详解.【分析】（1）由，则，利用导数求出函数的单调性，进而求出函数的极值点.（2）由题意得，，（i）利用导数求出函数的单调性，从而得到函数的极值与最值；（ii）由题意不妨设，又，可得，令，，利用导数可得函数在上单调递增，从而可推出，结合条件可得，易得，从而借助函数在上单调递增即可证明．【详解】（1）证明：由，则，由得，由得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴是函数的极大值点.（2）解：，，（i）由得，由得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，也是最大值，∴的最大值；（ii）由，不妨设，又，∵当时，，且，∴，令，，则，∵，∴，，∴，∴函数在上单调递增，又，∴当时，，即，则，又，则，∵，∴，即，而函数在上单调递增，∴，∴．