山西省运城市高中联合体2022届高三下学期第四次模拟数学（理）试题

这是一份山西省运城市高中联合体2022届高三下学期第四次模拟数学（理）试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省运城市高中联合体2022届高三下学期第四次模拟数学（理）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知复数，在复平面内对应点的坐标为（       ）A． B．C． D．3．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（       ）A． B．9 C．3 D．4．已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（       ）A． B． C． D．5．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（       ）A．1或13 B．1 C．13 D．96．等于（       ）A． B． C． D．7．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为、则下列结论正确的是（       ）A．，甲比乙稳定 B．，乙比甲稳定C．，甲比乙稳定 D．，乙比甲稳定8．设函数（，）的部分图象如图所示.若，则（       ）A． B．C． D．9．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为（       ）A． B． C． D．10．已知圆C：x2+y2=4，直线l:x+y=m（mR），设圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，当0≤m<3时，则S的可能取值共有A．2种 B．3种 C．4种 D．5种11．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（       ）A．1 B．2 C． D．12．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　）A．B．多面体的体积为定值C．侧面上存在点G，使得D．直线与直线BC所成的角可能为第II卷（非选择题）二、填空题13．函数满足，且在内单调递增，请写出一个符合条件的函数________.14．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的焦点到其准线的距离为___________.15．已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.16．定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为________.三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.18．某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411 (1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X，求；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y，求Y的数学期望．19．已知函数，是其导函数，其中．(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．20．如图，在中，，，为的外心，平面，且．（1）求证：平面；并计算与平面之间的距离．（2）设平面平面，若点在线段上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值．21．已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.(1)求C的标准方程.(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系中，的圆心为，半径长为．(1)写出的一个参数方程；(2)过点作的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知．(1)求的解集；(2)若不等式在R上解集非空，求m的取值范围．
参考答案：1．C【解析】【分析】对于集合A，B分别讨论，计算出具体的区间，再构成并集.【详解】对于A， ， ，即 ，对于B，由于 ， ，即 ， ，故选：C.2．C【解析】【分析】由复数的乘法运算，即可求出复数所对应的点坐标.【详解】，所以在复平面内对应点的坐标为.故选：C．3．A【解析】【分析】根据圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，分别求得底面半径和母线长即可.【详解】因为圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，所以底面半径为，母线长为，所以该圆锥的高为，故选：A.4．B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得，，，，再利用基本不等式判断A，利用特殊值判断B，根据完全平方数的非负性判断C，根据下标和性质判断D；【详解】解：因为等比数列的公比为q，且，所以，，，，所以，当且仅当，即时取等号，故A正确；所以，当时，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：B5．C【解析】【分析】根据双曲线定义，可求得，根据三角形两边之和大于第三边，即可得答案.【详解】根据双曲线定义可得，又，所以或，又，解得，即，又，所以.故选：C6．C【解析】【分析】先化简，再通分利用二倍角和辅助角公式化简得解.【详解】解：，故选：C．7．A【解析】【分析】比较甲乙两人的平均值，和他们成绩的集中分散情况，可得答案.【详解】根据茎叶图可知， ,, ,,故甲运动员的平均成绩低于乙运动员的平均成绩，但甲的成绩比乙的成绩更集中，因此甲比乙稳定，故选：A．8．A【解析】【分析】由图像可求出函数的解析式，由已知结合诱导公式知，再利用二倍角公式可求解.【详解】由图可知，，，，，，，，，又，，，故选：A9．B【解析】【分析】由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题，然后根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题，所以所求概率.故选：B.10．B【解析】【详解】因为圆心C到直线l的距离为，所以当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3；当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2；当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4；因此S的可能取值共有3种，选B.点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．11．B【解析】【分析】 根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.【详解】由题设有，化简可得即，整理得到，同理，不妨设，令，因为当时，均为增函数，故为增函数，同理当时，故为增函数，故分别为在、上的唯一解，又，故，故为在的解，故即.所以，故选：B.【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.12．D【解析】【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：连接，作图如下：因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，故可得，则，故A正确；对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；对C：取的中点分别为，连接，作图如下：容易知在△中，//，又//，，面面，故面//面，又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段;又因为为正方体，故面面，故，则当与重合时，，故C正确；对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即，在中，，故，而当直线与直线BC所成的角为时，，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中的动点轨迹的问题，以及线线垂直、线面垂直、异面直线夹角、棱锥体积的求解，属综合困难题；解决问题的关键是把握动点的轨迹，熟练的应用垂直关系之间的转化.13．（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意可得关于对称，且在内单调递增，即可写出.【详解】因为，即，所以关于对称，又在内单调递增，则可以取.故答案为：（答案不唯一）.14．2【解析】【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义结合中点坐标公式，推出圆和y轴相切，求出，，代入抛物线方程，求出．【详解】抛物线方程为，焦点，，准线方程为，设，由抛物线性质，可得，因为圆心是的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为，由已知圆半径也为，据此可知该圆与轴相切于点，故圆心纵坐标为1，则点纵坐标为2，即，代入抛物线方程得，所以，则的焦点到准线距离为2,故答案为：215．【解析】【分析】先利用导数判断出函数的极值点，建立不等式，即可求出的取值范围.【详解】，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.16．【解析】【分析】根据函数的定义判断在上值域中元素的个数，进而可得通项公式，应用裂项相消法求目标式的值.【详解】由题设，，所以在各区间上值域中元素个数为1，1，2，…，，所以，则，所以.故答案为：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可得，再根据的取值范围，即可求出角；（2）由三角形面积公式可得，再利用正弦定理可得，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，再根据正切函数的性质求出的取值范围，即可得解；(1)解：由，即，所以.又，所以，所以.(2)解：由题设及（1）知的面积.由正弦定理得.由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，所以，所以，，所以，即，从而，因此，面积的取值范围是.18．(1)；(2)90.【解析】【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；（2）由题得Y可以取0，100，200，300，分别求得Y取每一个随机变量的概率得出Y的分布列，由期望公式可求得答案．(1)解：由题意得；(2)解：能完成活动的概率为，不能完成活动的概率为，由题得Y可以取0，100，200，300，则，，，，所以Y的分布列为：Y0100200300P 则Y的数学期望为．19．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.(1)解：，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以a的取值范围为；(2)解：由得，即对恒成立，令，，当时，，不满足；当时，时，，时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，不符合题意；当时，时，，时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，解得，综上所述，a的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.20．（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形为菱形，即可说明，则可得出平面，由到平面的距离即为点到平面的距离，借助则可计算出结果.（2）建立空间直角坐标系，由题意可说明，设，求出平面的法向量为，根据与所成角的余弦值可表示出直线直线与平面所成角的正弦值，即可求出其取最大值时的，则可求出点的坐标，再求出平面的法向量为，由二面角的余弦公式则可求出二面角的正弦值.【详解】（1）如图，连接，交于点，为的外心，所以，所以.故和都为等边三角形，即四边形为菱形，所以且.又平面、平面 ,所以平面.则到平面的距离即为点到平面的距离，记为 ,由题意知：,所以， .又因为即解得：.（2）因为平面，平面，平面平面=，所以.如图所示：以点为原点建系.则.设,所以.设平面的法向量为.则所以直线与平面所成角的正弦值为：,即当时直线与平面所成角取最大值.此时，所以,设平面的法向量为.则令则.所以，即则二面角的正弦值.21．(1)；(2)为定值，定值为.【解析】【分析】（1）根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；（2）根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式进行求解即可.(1)椭圆的上､下焦点分别为，左､右顶点分别为，因为四边形是面积为8的正方形，所以有且，解得，所以椭圆的标准方程为：；(2)因为，所以，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以，因此，同理可得：，所以设的方程分别为：，设，则，所以，因此，同理可得：，因此，，所以，所以为定值，定值为.【点睛】关键点睛：利用平行线的性质，得到比例式子是解题的关键.22．(1)，为参数；(2)和【解析】【分析】（1）利用圆的参数方程定义进行求解；（2）设出切线方程，先根据圆心到直线距离等于半径求出切线的直角坐标方程，再化为极坐标方程.(1)的一个参数方程为，为参数；(2)设的切线方程为，则由，解得：，所以两切线方程为，化为极坐标方程为：和23．(1)(2)【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，求出各区间的不等式解集，取并集即可；（2）不等式在R上解集非空等价于解集非空，求出的最大值即可.(1)解：由题意得：，时，，解得：时，，解得：，故时，，无解综上，不等式的解集是；(2)不等式．由（1）知，设，则当时，不等式在R上解集非空