2021【KS5U解析】内江高一下学期期末考试检测文科数学试题含解析

这是一份2021【KS5U解析】内江高一下学期期末考试检测文科数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省内江市高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．cos（2x﹣）cos2x+sin（2x﹣）sin2x＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．若a＞b，则一定有（　　）
A． B．|a|＞|b| C． D．a3＞b3
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝0，a6＝3，则S7＝（　　）
A．﹣12 B．﹣7 C．0 D．7
4．已知向量，，．若，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
5．设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．已知x＞0，y＞0．且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，7） C．（﹣∞，9] D．（﹣∞，9）
7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若asin＝bsinA，2S＝，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
8．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）
A．4里 B．16里 C．64里 D．128里
9．已知函数f（x）＝sin（x﹣），在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（2A）＝﹣，且a＝4，b＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．已知等比数列{an}的各项均不相等，且满足a2+2a1＝6，a32＝2a6，则该数列的前4项和为（　　）
A．120 B．﹣120 C．3 D．﹣22.5
11．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，b＝c且sinBcosA＝sinA（1﹣cosB），若点O是△ABC外一点，OA＝，OB＝1．则平面四边形OACB的面积的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．3 D．3+2
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ab＝1，b+2acosC＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为（　　）
A．2+ B．2+ C．3 D．3+
二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分.)
13．已知平面向量＝（2，5），＝（10，x），若⊥，则x＝　 　．
14．计算：sin60°cos15°﹣2sin215°cos15°＝　 　．
15．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　 　．
16．已知正项等比数列{an}中，a4﹣a2＝6，a5﹣a1＝15，则an＝　 　，又数列{bn}满足b1＝，bn+1＝；若Sn为数列{an+bn}的前n项和，那么S11＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出必要的文字说明推演步骤）
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝15，S6＝9S3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log2a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．已知||＝2，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝﹣7．
（1）若﹣与3+k垂直，求k的值；
（2）求与+夹角的余弦值．
19．解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0．
20．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a＝+．
（1）求出角A的值；
（2）若a＝2，试判断△ABC的周长是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．
（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝（n3﹣n）．
（1）计算：a2，a3；
（2）证明{}为等差数列，并求数列{an}的通现公式；
（3）设bn＝[lgan]，[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，求数列bn的前10项和T10．


参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．cos（2x﹣）cos2x+sin（2x﹣）sin2x＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及余弦函数的两角和公式，即可求解．
解：∵，，
∴cos（2x﹣）cos2x+sin（2x﹣）sin2x＝
＝＝．
故选：D．
2．若a＞b，则一定有（　　）
A． B．|a|＞|b| C． D．a3＞b3
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
解：对于A，若a＞0＞b，则＞，故A错误；
对于B，若0＞a＞b，则|a|＜|b|，故B错误；
对于C，若0＞a＞b，则a2＜b2，则＜，故C错误；
对于D，若a＞b，则a3＞b3显然成立，故D正确．
故选：D．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝0，a6＝3，则S7＝（　　）
A．﹣12 B．﹣7 C．0 D．7
【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求d，a1，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
解：因为，
所以
．
故选：B．
4．已知向量，，．若，则实数λ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
【分析】利用向量运算和向量共线定理即可得出．
解：∵向量，，．
∴＝（1，2）+λ（1，0）＝（1+λ，2），
∵，
∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得．
故选：C．
5．设α为锐角，若cos（α+）＝，则sin（2α+）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．
解：∵α为锐角，cos＝，
∴∈，
∴＝＝．
则sin＝＝＝．
故选：B．
6．已知x＞0，y＞0．且，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，7] B．（﹣∞，7） C．（﹣∞，9] D．（﹣∞，9）
【分析】先将2x+y变形为（2x+y）•（），展开后，利用基本不等式求得2x+y的最小值后，即可得解．
解：∵，且x＞0，y＞0，
∴2x+y＝（2x+y）•（）＝4+1++≥5+2＝9，
当且仅当＝，即x＝y＝3时，等号成立，
∴2x+y的最小值为9，
∴m＜9．
故选：D．
7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若asin＝bsinA，2S＝，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sin＝，进而可求得B的值，又利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算以及同角三角函数基本关系式化简已知等式可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，即可判断得解．
解：因为asin＝bsinA，
所以asin（﹣）＝acos＝bsinA，
由正弦定理可得sinAcos＝sinBsinA，
因为sinA≠0，可得cos＝sinB＝2sincos，
因为B∈（0，π），∈（0，），cos≠0，
所以可得sin＝，可得＝，可得B＝，
又2S＝，可得2×bcsinA＝•bccosA，即tanA＝，
因为A∈（0，π），可得A＝，
所以C＝π﹣A﹣B＝，则△ABC的形状是正三角形．
故选：C．
8．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）
A．4里 B．16里 C．64里 D．128里
【分析】第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列，从而＝252，由此能求出a1＝128，由此能求出最后一天走的里程数．
解：有一个人走252里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，
则第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列，
∴＝252，
解得a1＝128，
则最后一天走了a6＝128×＝4．
故选：A．
9．已知函数f（x）＝sin（x﹣），在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（2A）＝﹣，且a＝4，b＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由题意利用诱导公式可求cosA的值，结合A的范围可求A的值，根据余弦定理可求c的值，即可求得△ABC的面积．
解：由题意可得，f（x）＝sin（x﹣）＝﹣cos，
∴f（2A）＝−cosA＝−，cosA＝．
∵0＜A＜π，
∴A＝．
∵a＝4，b＝4，A＝，由余弦定理得42＝（4）2+c2−2×4c×，整理得c2﹣8c+16＝0，得c＝4．
∴S△ABC＝AB×AC×sinA＝8，
∴△ABC的面积为8．
故选：C．
10．已知等比数列{an}的各项均不相等，且满足a2+2a1＝6，a32＝2a6，则该数列的前4项和为（　　）
A．120 B．﹣120 C．3 D．﹣22.5
【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1＝﹣6，q＝﹣3，由此能求出该数列的前4项和．
解：等比数列{an}的各项均不相等，且满足a2+2a1＝6，a32＝2a6，
∴，
解得a1＝﹣6，q＝﹣3，
∴该数列的前4项和为：
S4＝＝120．
故选：A．
11．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，b＝c且sinBcosA＝sinA（1﹣cosB），若点O是△ABC外一点，OA＝，OB＝1．则平面四边形OACB的面积的最大值是（　　）
A．2 B．4 C．3 D．3+2
【分析】依题意，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得SOACB＝sin（θ﹣）+，（0＜θ＜π），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．
解：∵△ABC中，sinBcosA＝sinA（1﹣cosB），
∴sinBcosA+cosBsinA＝sinA，即sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC＝sinA，
∴A＝C，
又b＝c，
∴△ABC为等边三角形；

∵点O是△ABC外一点，OA＝，OB＝1，设∠AOB＝θ，
∴SOACB＝S△AOB+S△ABC
＝|OA|•|OB|sinθ+×|AB|2×
＝××1×sinθ+（|OA|2+|OB|2﹣2|OA|•|OB|cosθ）
＝sinθ+（3+1﹣2××1×cosθ）
＝sin（θ﹣）+，
∵0＜θ＜π，
∴﹣＜θ﹣＜，
∴当θ﹣＝，即θ＝时，sin（θ﹣）取得最大值1，
∴平面四边形OACB面积的最大值为2．
故选：A．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ab＝1，b+2acosC＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为（　　）
A．2+ B．2+ C．3 D．3+
【分析】先利用正弦定理求出3tanA＝﹣tanC，再利用诱导公式及基本不等式求得tanB的最大值，判断此时三角形的形状，可得a＝b＝1，再利用余弦定理求得c，即可求解△ABC周长．
解：在△ABC中，b+2acosC＝0，由正弦定可得：sinB+2sinAcosC＝0，
即sin（A+C）+2sinAcosC＝0，即sinAcosC+cosAsinC+2sinAcosC＝0，
即3sinAcosC＝﹣cosAsinC，即3tanA＝﹣tanC．
∵cosC＝﹣＜0，故C为钝角，∴A为锐角，tanA＞0．
据此可得：tanB＝﹣tan（A+C）＝﹣＝＝≤＝，当且仅当tanA＝时，等号成立，
此时角B取得最大值．据此可知：tanB＝＝tanA，tanC＝﹣3tanA＝﹣，
即△ABC是顶角为120°的等腰三角形，此时，a＝b＝1，
结合余弦定理可得c＝＝，
△ABC周长为a+b+c＝1+1+＝2+．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分.)
13．已知平面向量＝（2，5），＝（10，x），若⊥，则x＝　﹣4　．
【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得•＝20+5x＝0，解可得x的值，即可得答案．
解：根据题意，向量＝（2，5），＝（10，x），
若⊥，则•＝20+5x＝0，解可得x＝﹣4；
故答案为：﹣4．
14．计算：sin60°cos15°﹣2sin215°cos15°＝　　．
【分析】根据已知条件，运用二倍角公式和三角函数的诱导公式，可得sin30°＝2sin15°cos15°，sin30°＝cos60°，再结合正弦函数的两角和公式，即可求解．
解：∵sin30°＝2sin15°cos15°，sin30°＝cos60°，
∴sin60°cos15°﹣2sin215°cos15°＝sin60°cos15°﹣cos60°sin15°＝sin（60°﹣15°）＝sin45°＝．
故答案为：．
15．设a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，则a+b的最小值为　　．
【分析】由已知先用b表示a，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解．
解：因为a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，
所以a＝，
因为a＞0，
所以0＜b＜1，
a+b＝＝＝，
当且仅当，即b＝，a＝时取等号，
则a+b的最小值．
故答案为：．
16．已知正项等比数列{an}中，a4﹣a2＝6，a5﹣a1＝15，则an＝　2n﹣1　，又数列{bn}满足b1＝，bn+1＝；若Sn为数列{an+bn}的前n项和，那么S11＝　2054　．
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q，q＞1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，可得an；计算{bn}的前几项，可得{bn}为周期为3的数列，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
解：设正项等比数列{an}的公比为q，q＞0，
由a1＞0，a1q3﹣a1q＞0，解得q＞1，
由a4﹣a2＝6，a5﹣a1＝15，可得a1q3﹣a1q＝6，a1q4﹣a1＝15，
解得q＝2，a1＝1，
所以an＝2n﹣1；
b1＝，bn+1＝，可得b2＝2，b3＝﹣1，b4＝，b5＝2，...，
则数列{bn}为周期为3的数列，
所以S11＝（1+2+4+...+211）+（+2﹣1）×3++2＝+7＝2054．
故答案为：2n﹣1；2054．
三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出必要的文字说明推演步骤）
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝15，S6＝9S3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log2a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）首先判断公比q不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
（2）由对数的运算性质可得bn，再由等差数列的求和公式，可得所求和．
解：（1）由S6＝9S3，可得公比q不为1，
由S4＝15，S6＝9S3，可得＝15，＝9•，
解得a1＝1，q＝2，
所以an＝1•2n﹣1＝2n﹣1；
（2）bn＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
故数列{bn}的前n项和Tn＝＝n2．
18．已知||＝2，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝﹣7．
（1）若﹣与3+k垂直，求k的值；
（2）求与+夹角的余弦值．
【分析】（1）根据已知条件求出的值，再利用若﹣与3+k垂直求出k的值；
（2）先求出，然后利用夹角公式求出向量与夹角的余弦值．
解：（1）因为，，
所以＝＝16﹣4﹣27＝﹣7，
所以＝﹣1，
因为﹣与3+k垂直，所以，
即，
所以12﹣k+3﹣9k＝0，即．
故k的值为．
（2）＝，
设向量与的夹角为θ，
则cosθ＝，
所以向量与的夹角的余弦值为．
19．解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0．
【分析】△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，讨论f（x）＝0的解，结合函数图象得出不等式的解集．
解：△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，方程f（x）＝0的解为﹣m，﹣1，
①当m＝1时，x≠﹣1，
②当m＜1时，x＞﹣m或x＜﹣1，
③当m＞1时，x＞﹣1或x＜﹣m．
综上，当m＝1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，
当m＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣m或x＜﹣1}，
当m＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣m}．
20．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a＝+．
（1）求出角A的值；
（2）若a＝2，试判断△ABC的周长是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出A的值；
（2）利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．
解：（1）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足2a＝+，
整理得：2acosA＝BcosB+ccosB，
利用正弦定理：2sinA•sinA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，
由于A∈（0，π），
所以A＝．
（2）由于a＝2，A＝，
所以由余弦定理得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
故，
当b＝c时，取得b+c≤4，
利用三角形的三边关系式的应用，
所以周长的最大值为a+b+c≤6．
21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．
（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B＞A；
条件②：．
【分析】（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．利用余弦定理可得；2b2＝2bccosA•（1﹣tanA）．化为b＝c（cosA﹣sinA），再利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）选择条件②，cosB＝，可得sinB＝．利用核查公司可得sinA＝sin（B+C），由正弦定理可得：a＝．在△ABD中，由余弦定理可得AD．
解：（1）2b2＝（b2+c2﹣a2）（1﹣tanA）．∴2b2＝2bccosA•（1﹣tanA）．∴b＝c（cosA﹣sinA），
由正弦定理可得：sinB＝sinC（cosA﹣sinA），∴sin（A+C）＝sinCcosA﹣sinCsinA，
∴sinAcosC＝﹣sinCsinA≠0，∴tanC＝﹣1，解得C＝．
（2）选择条件②，cosB＝，∴sinB＝．
∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝，由正弦定理可得：a＝＝2．
在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，
解得AD＝．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，当n≥2（n∈N*）时，（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝（n3﹣n）．
（1）计算：a2，a3；
（2）证明{}为等差数列，并求数列{an}的通现公式；
（3）设bn＝[lgan]，[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[1]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，求数列bn的前10项和T10．
【分析】（1）根据a1＝1，（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝（n3﹣n）分别令n＝2与n＝3即可求出a2与a3的值；
（2）由（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝（n3﹣n）可得﹣＝（n≥2），从而{}是以＝为首项，公差为的等差数列，进一步可得Sn＝n（n+1）（2n+1），所以利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求出a再检验a1的值是否满足上式即可；
（3）易知bn＝[lgn2]，所以b1＝b2＝b3＝0；b4＝b5＝b6＝b7＝b8＝b9＝0；b10＝2，从而利用分组求和法求出T10即可．
解：（1）令n＝2，得S2﹣3S1＝2，又a1＝S1＝1，所以a2＝4；令n＝3，得2S3﹣4S2＝8，所以a3＝4+2（1+4）﹣（1+4）＝9；
（2）证明：由（n﹣1）Sn﹣（n+1）Sn﹣1＝（n3﹣n），得﹣＝（n≥2），
所以{}是以＝为首项，公差为的等差数列，
所以＝+（n﹣1）＝n+，则Sn＝n（n+1）（2n+1），
所以当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（n+1）（2n+1）﹣（n﹣1）n（2n﹣1）＝n2，
且当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝n2；
（3）由（2）可知bn＝[lgn2]，所以b1＝b2＝b3＝0，b4＝b5＝b6＝b7＝b8＝b9＝0，b10＝2，
故T10＝3×0+6×1+2＝8．