高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第四节万有引力与航天学案

第四节　万有引力与航天

一、开普勒行星运动定律

答案：椭圆　一个焦点　面积　半长轴　公转周期

【基础练1】　(2020·河北唐山期末)某行星绕一恒星运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，行星在B点的速度比在A点的速度大。则该恒星位于　(　　)

A．O点　　　B．B点　　　C．E点　　　D．F点

解析：选C。根据开普勒第一定律，恒星应该位于椭圆的焦点上，故A、B错误；根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，则行星在离恒星较近的位置速率较大，在远离恒星的位置速率较小，因为行星在B点的速度比在A点的速度大，则恒星位于E点，故C正确，D错误。

二、万有引力定律

答案：质量m1和m2的乘积　它们之间的距离r的二次方　G　质量分布均匀

【基础练2】　(2020·惠州市第三次调研)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)

A. B.

C. D．

解析：选C。忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式，在地球表面：＝mg

在离地面的高度为H处：＝mg′

解得：g′＝。

三、宇宙速度

答案： 　

【基础练3】　(多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是(　　)

A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2

B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度

C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度

D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度

解析：选CD。根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，C正确。

【基础练4】　(2020·河南郑州高一检测)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)

A．7.9 km/s   B．16.7 km/s

C．2.9×104 km/s   D．5.8×104 km/s

解析：选D。中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的飞行器的环绕速度。飞行器的轨道半径近似认为是该中子星的半径，且中子星对飞行器的万有引力充当向心力，由G＝m，得v＝ ，

又M＝ρV＝ρ，得v＝r＝1×104×

  m/s

≈5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s。

考点一　开普勒行星运动规律的理解及应用

　(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、v、S分别表示卫星的轨道半径、周期、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有(　　)

A．TA>TB　　　　　　　　 B．vA>vB

C．SA＝SB   D.＝

[解析]　根据开普勒第三定律＝k知，轨道半径越大，周期越大，所以TA>TB，故A、D正确；由v＝知，＝＝× ＝ <1，即vB>vA，故B错误；根据开普勒第二定律可知，应是同一卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，故C错误。

[答案]　AD

【对点练1】　(多选)(2020·重庆巴蜀中学期末)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(　　)

A．从P到M所用的时间等于

B．从Q到N阶段，速率逐渐变大

C．从P到Q阶段，角速度逐渐变小

D．从M到N所用时间大于

解析：选BCD。由开普勒第二定律用对称性可知，海王星从P运动到Q所用时间与从Q回到P所用时间相等，各为，但从近日点到远日点即P到Q，海王星的速率逐渐减小、角速度在减小，故从P到M与从M到Q虽通过的路程相同，但所用的时间一定是从M到Q长，即从P到M所用时间小于、从M到Q所用时间大于，再由对称性可知，从Q到N速率逐渐变大，从M到N的时间一定大于半个周期，A错误，B、C、D正确。

【对点练2】　(2020·绵阳市第三次诊断)在地球同步卫星的轨道平面内运行的低轨道卫星，其轨道半径为同步卫星轨道半径的，则该低轨道卫星运行周期为(　　)

A．1 h  B．3 h

C．6 h D．12 h

解析：选B。根据开普勒第三定律＝

解得T卫＝T同＝×24 h＝3 h。

考点二　万有引力定律的理解及应用

1．地球表面的重力与万有引力

地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力。

(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；

(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；

(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω。

2．地球表面上的重力加速度

(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝G，得g＝G。

(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝，得g′＝

所以＝。

　(2020·高考全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)

A．0.2 B．0.4

C．2.0 D．2.5

[解析]　设物体的质量为m，地球的质量为M地，地球半径为R地，地球对该物体的引力大小为F地，火星的质量为M火，火星半径为R火，火星对该物体的引力大小为F火，根据万有引力定律F地＝，F火＝，根据题意知，R地＝2R火，M地＝10M火，联立解得＝0.4，故B正确，A、C、D错误。

[答案]　B

【对点练3】　(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)

解析：选D。在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图象是D。

【对点练4】　(2020·丰台区二模)某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，该星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为(　　)

A．1∶36  B．1∶6

C．36∶1 D．6∶1

解析：选C。在地球表面附近重力与万有引力近似相等，则有G＝mg，解得g＝G，所以＝·＝36∶1，C正确，A、B、D错误。

【对点练5】　(2020·济南市5月高考模拟)1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是(　　)

A．牛顿计算出了地球对月球的万有引力的数值，从而完成了月—地检验

B．牛顿计算出了月球对月球表面物体的万有引力的数值，从而完成了月—地检验

C．牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验

D．牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验

解析：选D。牛顿当时还没有测量出引力常量，后来卡文迪许测出的引力常量，所以牛顿并没有计算出地球对月球的万有引力的数值和月球对月球表面物体的万有引力的数值，故A、B错误；对任一物体在星球表面受到的重力等于星球对物体的万有引力，即＝mg，根据题意无法知道地球质量与月球质量的关系以及地球半径与月球半径的关系，故无法求出月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的大小关系，故C错误；设物体质量为m，地球质量为M，地球半径为R，月球轨道半径r＝60R，物体在月球轨道上运动时的加速度为a，由牛顿第二定律G＝ma，地球表面物体重力等于万有引力G＝mg，联立解得＝，故D正确。

考点三　天体质量和密度的估算

求天体质量和密度常用的估算方法

　深空是在地球大气极限以外很远的空间。若深空中有一行星X，其自转周期为3 h，行星X的同步卫星的轨道半径是行星X半径的3.5倍，已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，则行星X与地球的平均密度之比约为(行星X与地球均视为球体)(　　)

A．2　　　 B．4

C．8 D．16

[解析]　设中心天体的平均密度为ρ，半径为R，则中心天体的质量M＝πρR3，设同步卫星的轨道半径为r、周期为T，由万有引力提供向心力有G＝mr，解得ρ＝，可得行星X与地球的平均密度之比＝×＝8。

[答案]　C

【对点练6】　2019年1月3日，嫦娥四号成为全世界第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器。为了减小凹凸不平的月球表面可能造成的不利影响，嫦娥四号采取了近乎垂直的着陆方式。嫦娥四号着陆前，在半径为r的圆形轨道上运行n圈所用时间为t，引力常量为G，则可求得月球的质量为(　　)

A B．

C. D．

解析：选A。由题意可知，嫦娥四号的周期为T＝

由万有引力提供向心力得G＝mr＝mr

解得M＝。

　(多选)(2020·湖南长郡中学期中) 通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　)

A．卫星的速度和角速度

B．卫星的质量和轨道半径

C．卫星的质量和角速度

D．卫星的运行周期和轨道半径

[解析]　由引力提供向心力＝mr2得M＝，因卫星质量m可约去，可见与卫星质量无关，故B、C错误，D正确；由r＝代入可得M＝，故A正确。

[答案]　AD

【对点练7】　(2020·佛山市上学期调研)2019年NASA发现距地球31光年的“超级地球”——GJ357d，质量约为地球质量的6倍，半径是地球半径的2倍，绕母星公转一周的时间是55.7天，若已知地球的第一宇宙速度为v0，则根据以上信息可以算出“超级地球”的(　　)

A．第一宇宙速度  B．密度

C．母星的质量 D．公转的线速度

解析：选A。 “超级地球”的第一宇宙速度v＝ ，已知质量约为地球质量的6倍，半径是地球半径的2倍，地球的第一宇宙速度为v0，则“超级地球”的第一宇宙速度v＝v0，故A正确；题干信息只是提供的“超级地球”与地球之间的参数比值，“超级地球”的半径未知，故无法求出自身密度，故B错误；母星的质量M0＝，“超级地球”的环绕半径未知，无法求出母星的质量，故C错误；“超级地球”绕母星的线速度v＝ ，母星质量未知，无法求出公转的线速度，故D错误。

(建议用时：20分钟)

1. 2019年12月16日，我国“一箭双星”将北斗导航系统的第52、53颗卫星送入预定轨道。北斗导航系统的某两颗卫星的圆轨道如图所示，G卫星相对地球静止，M卫星轨道半径是G卫星的，下列说法正确的是(　　)

A．G卫星可能位于潍坊正上方

B．G卫星的线速度是M卫星的倍

C．在相等时间内，G卫星与地心连线扫过的面积与M卫星的相同

D．在相等时间内，G卫星与地心连线扫过的面积是M卫星的倍

解析：选D。G卫星相对地球静止即为地球同步卫星，则G卫星的轨道只能与地球赤道平面共面，故A错误；由公式G＝m，得v＝，则G卫星的线速度是M卫星的倍，故B错误；设相等时间为t，G卫星与地心连线扫过的面积SG＝×πr＝rG，同理M卫星与地心连线扫过的面积SM＝×πr＝rM，则＝×＝，故C错误，D正确。

2．(2020·烟台市高考诊断一模)随着航天技术的发展，人类已经有能力到太空去探索未知天体。假设某宇宙飞船绕一行星表面附近做匀速圆周运动，已知运行周期为T，宇航员在离该行星表面附近h处自由释放一小球，测得其落到行星表面的时间为t，则这颗行星的半径为(　　)

A. B.

C. D．

 解析：选B。由自由落体运动位移公式得：h＝gt2　①

某宇宙飞船绕一行星表面附近做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，有G＝mω2R＝mR　②

在行星表面附近，万有引力等于重力，有G＝mg　③

由①②③式解得R＝。

3．(2020·渭南市教学质量检测)嫦娥五号由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，其中着陆器将进行月面软着陆，轨道器留在近月轨道绕月飞行。设着陆器在月面着陆后以初速度v0竖直向上弹射一小物体，小物体上升的最大高度为h，已知月球的半径为R，则轨道器环月飞行的速度为(　　)

A．v0  B．v0

C．v0 D．v0

 解析：选A。由竖直上抛运动可得2gh＝v，所以月球表面的重力加速度为g＝

由万有引力提供向心力得G＝m

由黄金代换gR2＝GM

联立得v＝＝ ＝v0。

4．(2020·昌平区二模练习)我们可以采用不同方法“称量”地球。例如，卡文迪许在实验室里通过测量铅球之间的作用力，推算出引力常量G，就可以“称量”地球。已知引力常量G，利用下列数据可以“称量”地球质量的是(　　)

A．月球绕地球做圆周运动的周期和速度

B．月球绕地球做圆周运动的周期和月球的半径

C．地球绕太阳做圆周运动的周期和速度

D．地球绕太阳做圆周运动的周期和地球与太阳的距离

解析：选A。根据月球绕地球做圆周运动的周期和速度，由v＝可求解月球到地球的距离r，根据G＝m可求解地球的质量，A正确；根据G＝mr，则已知月球绕地球做圆周运动的周期T和月球的半径R不能求解地球的质量，B错误；已知地球绕太阳做圆周运动的周期和速度，由v＝可求解地球到太阳的距离r，根据G＝m可求解太阳的质量，C错误；根据G＝mr，已知地球绕太阳做圆周运动的周期和地球与太阳的距离，可求解太阳的质量，D错误。

5．(2020·汕头市第一次模拟)设想利用载人飞船探索行星，飞船上备有秒表、质量为m的物体P、测力计等实验器材。该飞船到达很靠近行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆，宇航员测得飞船绕行周期为T，物体P处于行星表面的重力为F。已知引力常量为G，根据这些已知量可计算出(　　)

A．该行星的自转周期

B．宇宙飞船的质量

C．飞船绕行时的轨道半径R＝

D．该行星的平均密度ρ＝

解析：选C。根据题中条件不能求解该行星的自转周期以及宇宙飞船的质量，A、B错误；物体P的质量为m，着陆后测量了物体重力为F，所以行星表面的重力加速度g＝，在靠近该行星表面的圆形轨道绕行时，重力等于万有引力mg＝G

万有引力等于向心力G＝mR

由以上两式解得R＝＝，C正确； 该行星的平均密度为ρ＝＝＝＝，D错误。

6．(2020·衡阳市第一次联考)2019年10月8日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将2019年诺贝尔物理学奖，一半授予美国普林斯顿大学吉姆·皮布尔斯，以表彰他“关于物理宇宙学的理论发现”，另外一半授予瑞士日内瓦大学的米歇尔·麦耶和瑞士日内瓦大学教授兼英国剑桥大学教授迪迪埃·奎洛兹，以表彰他们“发现一颗环绕类日恒星运行的系外行星”。若某一系外行星的半径为R，公转半径为r，公转周期为T，宇宙飞船在以系外行星中心为圆心，半径为r1的轨道上绕其做圆周运动的周期为T1，不考虑其他星球的影响。(已知地球的公转半径为R0，公转周期为T0)则有(　　)

A.＝

B.＝

 C．该系外行星表面重力加速度为

D．该系外行星的第一宇宙速度为

解析：选D。开普勒第三定律＝k，其中k与中心天体有关，系外行星、宇宙飞船、地球做圆周运动的中心天体均不同，故A、B错误；对宇宙飞船：G＝mr1＝man，解得an＝，GM＝，故C错误；对系外行星的近地卫星：G＝m0，解得v1＝＝，D正确。

7．(2020·山西太原高一期末)2019年1月，我国在西昌卫星发射中心成功发射了“中星2D ”卫星。“中星2D ”是我国最新研制的通信广播卫星，可为全国提供广播电视及宽带多媒体等传输任务。“中星2D ”的质量为m、运行轨道距离地面高度为h。已知地球的质量为m地，半径为R，引力常量为G，据以上信息可知“中星2D ”在轨运行时(　　)

A．速度的大小为    B．角速度的大小为

C．加速度大小为   D．周期为2πR

解析：选C。地球对“中星2D”卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有G＝m＝m(R＋h)＝ma，得速度大小为v＝ ，A错误；角速度ω＝＝，B错误；加速度大小a＝，C正确；周期T＝2π(R＋h) ，D错误。

8．(2020·洛阳市一模)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知引力常量，你可以完成以下哪项工作(　　)

A．测出一个石块在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重量

B．测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量

C．从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度

D．测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度

解析：选D。根据h＝gt2得g＝，则月球表面上该石块的重量G＝mg＝m，因质量未知，故A错误；测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，竖直方向h＝gt2，得g＝，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力G＝mg，得M＝，不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；由万有引力提供向心力得G＝m2R，解得M＝，又M＝ρπR3，联立解得ρ＝，故D正确。

9．(多选)(2020·河南省九师联盟模拟)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)

A．该黑洞的质量M＝

B．该黑洞的质量M＝

C．该黑洞的半径R＝

D．该黑洞的半径R＝

解析：选BC。设黑洞的质量为M，环绕天体的质量为m，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力有G＝m，化简可得黑洞的质量为M＝，故B正确，A错误；根据黑洞的质量M和半径R的关系＝，可得黑洞的半径为R＝＝＝，故C正确，D错误。

10．(多选)(2020·辽河油田月考)有一宇宙飞船到了某行星上(假设该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得　(　　)

A．该行星的半径为

B．该行星的平均密度为

C．无法求出该行星的质量

D．该行星表面的重力加速度为

解析：选AB。根据周期与线速度的关系T＝可得，行星的半径为：R＝，故A正确；根据万有引力提供向心力＝mR可得行星的质量为：M＝，由M＝πR3·ρ可得：ρ＝，故B正确，C错误；行星表面的万有引力等于重力，＝m＝mg′，解得：g′＝，故D错误。