天津市滨海新区第四共同体市级名校2021-2022学年中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90º，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是（   ）

A．4 B．6 C．8 D．10

2．如图，，交于点，平分，交于. 若，则 的度数为（        ）

A．35o B．45o C．55o D．65o

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是(　　)

A． B． C． D．

4．如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这几个几何体的摆搭方式可能是(    )

A． B． C． D．

5．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（　　）

A．85° B．105° C．125° D．160°

6．某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（　　）

A．8、8 B．8、8.5 C．8、9 D．8、10

7．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ）

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个

8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(   )

A． B．

C． D．

9．将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是(　　)

A． B． C． D．

10．下列说法正确的是（　　）

A．﹣3是相反数 B．3与﹣3互为相反数

C．3与互为相反数 D．3与﹣互为相反数

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是________．

12．已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．

13．如图，在△ABC中，BC=7，，tanC=1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB 为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围______.

14．如图，CD是⊙O直径，AB是弦，若CD⊥AB，∠BCD=25°，则∠AOD=_____°．

15．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．

16．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是   ．

17．若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．

（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是_____．

（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝_____，对应的碟宽AB是_____．

（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝1．

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．

19．（5分）如图,△ABC,△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上,求证:△CDA≌△CEB．

20．（8分）已知：在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直径．

求证：BD=CD．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，AB=．求反比例函数的解析式；若P（，）、Q（，）是该反比例函数图象上的两点，且时，，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．

22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=BE=2，sin∠ACD= ，求四边形ABCD的面积．

23．（12分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．求AB的长（结果保留根号）；已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）

24．（14分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m)

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【详解】

平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小。

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB，

又∵OC=OA，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD=AB=3，

∴DE=2OD=6.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用三角形中位线定理进行求解.

2、D

【解析】

分析：根据平行线的性质求得∠BEC的度数，再由角平分线的性质即可求得∠CFE 的度数.

详解：

又∵EF平分∠BEC，

.

故选D.

点睛：本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.

3、D

【解析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．

【详解】

∵CD是AB边上的中线，

∴CD＝AD，

∴∠A＝∠ACD，

∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，

∴tan∠A＝，

∴tan∠ACD的值．

故选D．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．

4、A

【解析】
根据左视图的概念得出各选项几何体的左视图即可判断．

【详解】

解：A选项几何体的左视图为

；
B选项几何体的左视图为

；
C选项几何体的左视图为

；
D选项几何体的左视图为

；
故选：A．

【点睛】

本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握左视图的概念．

5、C

【解析】
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．

【详解】

根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．

6、B

【解析】
根据众数和中位数的概念求解．

【详解】

由表可知，8环出现次数最多，有4次，所以众数为8环；

这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数，即中位数为=8.5（环），

故选：B．

【点睛】

本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

7、C

【解析】
由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知 HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④．

【详解】

解：∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB＝BC＝CD，

∵AG＝GE，

∴BG＝BE，

∴∠BEG＝45°，

∴∠BEA＞45°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠HEC＜45°， 

∴HC＜EC，

∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即 DH＞BE，故①错误；

∵BG＝BE，∠B＝90°，

∴∠BGE＝∠BEG＝45°，

∴∠AGE＝135°，

∴∠GAE+∠AEG＝45°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∵∠BEG＝45°，

∴∠AEG+∠FEC＝45°，

∴∠GAE＝∠FEC，

在△GAE 和△CEF 中，

∵AG=CE，

∠GAE=∠CEF,

AE=EF,

∴△GAE≌△CEF（SAS））,

∴②正确；

∴∠AGE＝∠ECF＝135°，

∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，

∴③正确；

∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，

∴∠FEC＜45°，

∴△GBE 和△ECH 不相似，

∴④错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．

8、C

【解析】
根据全等三角形的判定定理进行判断．

【详解】

解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，

故本选项不符合题意；

C、

如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，

∴∠FEC＝∠BDE，

所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，

所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；

D、

如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，

∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，

∴∠FEC＝∠BDE，

∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，

∴△BDE≌△CEF，

所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；

由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．

9、C

【解析】
严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．

【详解】

根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直．

故选C．

【点睛】

本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

10、B

【解析】
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，可据此来判断各选项是否正确．

【详解】

A、3和-3互为相反数，错误；

B、3与-3互为相反数，正确；

C、3与互为倒数，错误；

D、3与-互为负倒数，错误；

故选B．

【点睛】

此题考查相反数问题，正确理解相反数的定义是解答此题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、π

【解析】
取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，根据弧长公式即可得轨迹长.

【详解】

解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，

∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，

∴，

∵为的中位线，

∴，

∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，

∴弧长，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质.解决动点问题的关键是在运动中，把握不变的等量关系(或函数关系)，通过固定的等量关系(或函数关系)，解决动点的轨迹或坐标问题.

12、1．

【解析】

由题意，得

b−1=−1，1a=−4，

解得b=−1，a=−1，

∴ab=(−1) ×(−1)=1，

故答案为1.

13、

【解析】

分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可求得PB的取值范围．

详解：作AD⊥BC于点D，作PE⊥BC于点E．∵在△ABC 中，BC=7，AC=3，tanC=1，∴AD=CD=3，∴BD=4，∴AB=5，由题意可得，当PB=PC时，点C恰好在以点P为圆心，PB为半径圆上．∵AD⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AD，∴△BPE∽△BDA，∴，即，得：BP=．故答案为0＜PB＜．

点睛：本题考查了点与圆的位置关系、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

14、50

【解析】
由CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，根据垂径定理的即可求得

=，又由圆周角定理，可得∠AOD=50°．

【详解】

∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴=，
∵∠BCD=25°=，
∴∠AOD=2∠BCD=50°，
故答案为50

【点睛】

本题考查角度的求解，解题的关键是利用垂径定理.

15、

【解析】

∵投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，

∴其概率是=．

【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

16、．

【解析】

试题分析：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==．故答案为．

考点：列表法与树状图法．

17、1

【解析】

【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．

【详解】∵a，b互为相反数，

∴a+b=1，

∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，

故答案为1．

【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，（2）2，4；（2）①y＝x2﹣2；②在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣2或yp＞2．

【解析】
（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；

（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；

（2）①根据题意得出抛物线必过（2，0），进而代入求出答案；

②根据y＝x2﹣2的对称轴上P（0，2），P（0，﹣2）时，∠APB 为直角，进而得出答案．

【详解】

（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，

如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，

∴MN⊥AB，MN＝AB，

故答案为MN⊥AB，MN＝AB；

（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），

∴m＝m2，

解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），

当m＝2则，2＝x2，

解得：x＝±2，

则AB＝2+2＝4；

故答案为2，4；

（2）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，

∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝1．

∴抛物线必过（2，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），

得，9a﹣4a﹣＝0，

解得：a＝，

∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣2；

②由①知，如图2，y＝x2﹣2的对称轴上P（0，2），P（0，﹣2）时，∠APB 为直角，

∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣2或yp＞2．

【点睛】

此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．

19、见解析.

【解析】

试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．

试题解析：证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CE=CD，BC=AC，

∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

在△CDA与△CEB中，，

∴△CDA≌△CEB．

考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形．

20、证明见解析

【解析】
根据AB=AC，得到，于是得到∠ADB=∠ADC，根据AD是⊙O的直径，得到∠B=∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到∠BAD=∠DAC，于是得到结论．

【详解】

证明：∵AB=AC，

∴，

∴∠ADB=∠ADC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAD=∠DAC，

∴，

∴BD=CD．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．

21、（1）；（2）P在第二象限，Q在第三象限．

【解析】

试题分析：（1）求出点B坐标即可解决问题；

（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；

试题解析：解：（1）由题意B（﹣2，），把B（﹣2，）代入中，得到k=﹣3，∴反比例函数的解析式为．

（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．理由：∵k=﹣3＜0，∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∴P、Q在不同的象限，∴P在第二象限，Q在第三象限．

点睛：此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

22、（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =3 ．

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=2，由直角三角形的性质求出CE和DE，得出AC的长，即可求出四边形ABCD的面积．

试题解析：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴AD∥BC，

∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵sin∠ACD=，∴∠ACD=60°，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=2，∴∠BAC=∠ACD=60°，

∵AB=BE=2，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=2，

∵DE⊥AC，∴∠CDE=90°﹣60°=30°，∴CE= CD=1，∴DE=CE=，AC=AE+CE=3，

∴S平行四边形ABCD =2S△ACD =AC•DE=3．

23、 (1) ;(2)此校车在AB路段超速，理由见解析.

【解析】
（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD和BD的长度，计算结果，即可．（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可．

【详解】

解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°＝＝，

解得AD＝24．

在  Rt△BDC 中，tan60°＝＝，

解得BD＝8

所以AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（米）．

（2）汽车从A到B用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），

因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时，

所以此校车在AB路段超速．

【点睛】

考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等．

24、路灯的高CD的长约为6.1 m.

【解析】

设路灯的高CD为xm，

∵CD⊥EC，BN⊥EC，

∴CD∥BN，

∴△ABN∽△ACD，∴，

同理，△EAM∽△ECD，

又∵EA＝MA，∵EC＝DC＝xm，

∴，解得x＝6.125≈6.1．

∴路灯的高CD约为6.1m．