山东省淄博市2022年中考数学考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，AB与⊙O相切于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，则劣弧的长是（　　）

A． B． C． D．

2．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）中的x与y的部分对应值如表所示：

下列结论：

（1）abc＜0

（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；

（3）16a+4b+c＜0

（4）x=3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的个数为（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．﹣0.2的相反数是（　　）

A．0.2 B．±0.2 C．﹣0.2 D．2

4．（2016四川省甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（　　）

A．π B．2π C．4π D．8π

5．在下列实数中，﹣3，，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（　　）

A．﹣3 B．0 C． D．﹣1

6．如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（　　）

A．60° B．45° C．35° D．30°

7．的算术平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．2 D．±2

8．据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为（　　）

A．3.9×1010 B．3.9×109 C．0.39×1011 D．39×109

9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D、E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF的度数为(　　)

A．62° B．38° C．28° D．26°

10．若分式有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a≠1 B．a≠0 C．a≠1且a≠0 D．一切实数

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=________________．

12．已知关于x的二次函数y＝x2－2x－2，当a≤x≤a＋2时，函数有最大值1，则a的值为________．

13．已知△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为_______．

14．在平面直角坐标系中，点P到轴的距离为1，到轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标________________.

15．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4 cm，则PA＝____cm．

16．方程=1的解是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A＝∠ADE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．

18．（8分）某蔬菜加工公司先后两次收购某时令蔬菜200吨，第一批蔬菜价格为2000元/吨，因蔬菜大量上市，第二批收购时价格变为500元/吨，这两批蔬菜共用去16万元．

（1）求两批次购蔬菜各购进多少吨？

（2）公司收购后对蔬菜进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润800元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？

19．（8分）为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级500名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图：

（1）求此次抽查了多少名学生的成绩；

（2）通过计算将频数分布直方图补充完整；

（3）若测试成绩不低于40分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数．

20．（8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，

（1）如图1，求证：PQ＝PE；

（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3，求∠C的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6，连接QC交BC于点M，求QM的长．

21．（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是                   斤（用含x的代数式表示）；销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

22．（10分）如图，已知∠AOB与点M、N求作一点P，使点P到边OA、OB的距离相等，且PM=PN（保留作图痕迹，不写作法）

23．（12分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.

24．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

解：连接OB，OC．∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°．在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°．∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°．又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC的弧长为=π．故选B．

点睛：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

2、B

【解析】
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式为y=-x2+x+3，即可判定正确；

（2）求得对称轴，即可判定此结论错误；

（3）由当x=4和x=-1时对应的函数值相同，即可判定结论正确；

（4）当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c=3，即可判定正确．

【详解】

（1）∵x=-1时y=-，x=0时，y=3，x=1时，y=，

∴，

解得

∴abc＜0，故正确；

（2）∵y=-x2+x+3，

∴对称轴为直线x=-=，

所以，当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故错误；

（3）∵对称轴为直线x=，

∴当x=4和x=-1时对应的函数值相同，

∴16a+4b+c＜0，故正确；

（4）当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c=3，

∴x=3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，故正确；

综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

3、A

【解析】
根据相反数的定义进行解答即可.

【详解】

负数的相反数是它的绝对值，所以﹣0.2的相反数是0.2.故选A.

【点睛】

本题主要考查相反数的定义，熟练掌握这个知识点是解题关键.

4、B

【解析】

试题分析：∵每个小正方形的边长都为1，∴OA=4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′=90°，∴A点运动的路径的长为：=2π．故选B．

考点：弧长的计算；旋转的性质．

5、B

【解析】

|﹣3|=3，||=，|0|=0，|2|=2，|﹣1|=1，

∵3＞2＞＞1＞0，

∴绝对值最小的数是0，

故选：B．

6、A

【解析】

试题解析：连接OD，

∵四边形ABCO为平行四边形,

∴∠B=∠AOC，

∵点A. B. C.D在⊙O上，

由圆周角定理得,

解得,

∵OA=OD，OD=OC，

∴∠DAO=∠ODA，∠ODC=∠DCO，

故选A.

点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

7、C

【解析】
先求出的值，然后再利用算术平方根定义计算即可得到结果．

【详解】

＝4，

4的算术平方根是2，

所以的算术平方根是2，

故选C．

【点睛】

本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

8、A

【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【详解】

39000000000=3.9×1．

故选A．

【点睛】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

9、C

【解析】

分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．

详解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．

    又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．

    又∵CE=AF，∴DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS），  

∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．

    故选C．

点睛：熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．

10、A

【解析】

分析：根据分母不为零，可得答案

详解：由题意，得

，解得

故选A.

点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、4

【解析】

∵点C是线段AD的中点，若CD=1，

∴AD=1×2=2，

∵点D是线段AB的中点，

∴AB=2×2=4，

故答案为4.

12、－1或1

【解析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+2时函数有最大值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：当y=1时，x2-2x-2=1，
解得：x1=-1，x2=3，
∵当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，
∴a=-1或a+2=3，即a=1．
故答案为-1或1．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．

13、

【解析】
设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得S△ABC=2x ,由余弦定理求得 cosC代入化简S△ABC= ,由三角形三边关系求得 ,由二次函数的性质求得S△ABC取得最大值.

【详解】

设AC=x,则AB=2x,根据面积公式得:c= =2x.由余弦定理可得: ,

∴S△ABC=2x=2x= 

由三角形三边关系有 ,解得,

故当时, 取得最大值,
故答案为: .

【点睛】

本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用,考查了二次函数的性质,考查了计算能力,当涉及最值问题时,可考虑用函数的单调性和定义域等问题,属于中档题.

14、（写出一个即可）

【解析】

【分析】根据点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值，进行求解即可．

【详解】设P（x，y），

根据题意，得

|x|=2，|y|=1，

即x=±2，y=±1，

则点P的坐标有（2，1），（2，-1），（-2，1），（2，-1），

故答案为：（2，1），（2，-1），（-2，1），（2，-1）（写出一个即可）.

【点睛】本题考查了点的坐标和点到坐标轴的距离之间的关系．熟知点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值是解题的关键．

15、2－2

【解析】
根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入运算即可．

【详解】

解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，

且AP是较长线段；

则AP=4×=cm，

故答案为：（2－2）cm.

【点睛】

此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，难度一般．

16、x=3

【解析】

去分母得：x﹣1=2，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解，

故答案为3.

【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解．去分母后解出的结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）证明见解析；（2）15.

【解析】
（1）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，可得x2+122=（x+16）2-202，解方程即可解决问题．

【详解】

（1）证明：连结OD，∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

又∵OD=OB，

∴∠B=∠BDO，

∵∠ADE=∠A，

∴∠ADE+∠BDO=90°，

∴∠ODE=90°．

∴DE是⊙O的切线；

（2）连结CD，∵∠ADE=∠A，

∴AE=DE．

∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．

∴EC是⊙O的切线．

∴DE=EC．

∴AE=EC，

又∵DE=10，

∴AC=2DE=20，

在Rt△ADC中，DC=

设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，

在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，

∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，

∴BC=.

【点睛】

考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.

18、（1）第一次购进40吨，第二次购进160吨；（2）为获得最大利润，精加工数量应为150吨，最大利润是1．

【解析】
（1）设第一批购进蒜薹a吨，第二批购进蒜薹b吨．构建方程组即可解决问题．

（2）设精加工x吨，利润为w元，则粗加工（100-x）吨．利润w=800x+400（200﹣x）=400x+80000，再由x≤3（100-x），解得x≤150，即可解决问题．

【详解】

（1）设第一次购进a吨，第二次购进b吨，

，

解得 ，

答：第一次购进40吨，第二次购进160吨；

（2）设精加工x吨，利润为w元，

w=800x+400（200﹣x）=400x+80000，

∵x≤3（200﹣x），

解得，x≤150，

∴当x=150时，w取得最大值，此时w=1，

答：为获得最大利润，精加工数量应为150吨，最大利润是1．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用与一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用与一次函数的应用.

19、（1）50；（2）详见解析；（3）220.

【解析】
(1)利用1组的人数除以1组的频率可求此次抽查了多少名学生的成绩;

(2)根据总数乘以3组的频率可求a,用50减去其它各组的频数即可求得b的值,再用1减去其它各组的频率即可求得c的值,即可把频数分布直方图补充完整;

(3)先得到成绩优秀的频率,再乘以500即可求解.

【详解】

解：（1）4÷0.08=50（名）．

答：此次抽查了50名学生的成绩；

（2）a=50×0.32=16（名），

b=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12（名），

c=1﹣0.08﹣0.16﹣0.32﹣0.2=0.24，

如图所示：

（3）500×（0.24+0.2）

=500×0.44

=220（名）．

答：本次测试九年级学生中成绩优秀的人数是220名．

【点睛】

本题主要考查数据的收集、 处理以及统计图表。

20、（1）证明见解析（2）30°(3) QM=

【解析】

试题分析：

（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；

（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得AE=，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=可得BE=，从而可得AB=，则OP=OA=，结合AE=可得OE=，这样即可得到sin∠OPE=，由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；

（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=，在Rt△EPO中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=，BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.

试题解析：

（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，

∴OP⊥CP于点P，

又∵BQ⊥CP于点Q，

∴OP∥BQ，

∴∠OPB=∠QBP，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠QBP=∠OBP，

又∵PE⊥AB于点E，

∴PQ=PE；

（2）如下图2，连接，∵CP切⊙O于P，

∴

∴

∵PD⊥AB

∴

∴

∴

在Rt中,∠GAB=30°

∴设EF=x，则

在Rt中,tan∠BFE=3

∴

∴

∴

∴

∴在RtPEO中,

∴30°；

(3)如下图3，连接BG，过点O作于K，又BQ⊥CP，

∴，

∴四边形POKQ为矩形，

∴QK=PO,OK//CQ，

∴30°，

∵⊙O 中PD⊥AB于E ，PD=6 ，AB为⊙O的直径，

∴PE= PD= 3，

根据(2)得，在RtEPO中，，

∴，

∴OB=QK=PO=6，

∴在Rt中， ，

∴，

∴QB=9，

在△ABG中，AB为⊙O的直径，

∴AGB=90°，

∵BAG=30°，

∴BG=6，ABG=60°，

过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，

∴BN=BQ·cos∠GBQ=3，GN=BQ·sin∠GBQ=，

∴QN=QB+BN=12，

∴在Rt△QGN中，QG=，

∵∠ABG=∠CBQ=60°，

∴BM是△BQG的角平分线，

∴QM：GM=QB：GB=9：6，

∴QM=.

点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、BG的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G作GN⊥QB并交QB的延长线于点N，解出BN和GN的长，这样即可在Rt△QGN中求得QG的长，最后在△BQG中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM的长了.

21、（1）100+200x；（2）1．

【解析】

试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；

（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．

试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；

（2）根据题意得：，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．

考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．

22、见解析

【解析】
作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，它们的交点即是要求作的点P.

【详解】

解：①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P．

点P即为所求．

【点睛】

本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作法，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的的作图步骤是解答本题的关键.

23、甲建筑物的高AB为（30－30）m，乙建筑物的高DC为30m

【解析】
如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，

∵=tan∠DBC，

∴CD=BC•tan60°=30m，

∴乙建筑物的高度为30m；

在Rt△AFD中，∠DAF=45°，

∴DF=AF=BC=30m，

∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，

∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．

24、证明见解析.

【解析】

试题分析：先由平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，再利用垂直的定义得到∠AEB=∠GFD=90°，根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，从而得到AB=DC，所以有DG=DC．

试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，∵AE⊥BC，FG⊥CD，∴∠AEB=∠GFD=90°，在△AEB和△GFD中，∵∠B=∠D，BE=DF，∠AEB=∠GFD，∴△AEB≌△GFD，∴AB=DC，∴DG=DC．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．