期河南省南阳市南召县2021-2022学年中考数学押题试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，最大的数是（　　）

A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣2

2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），则点A1，C1的坐标分别是  （　　）

A．A1（4，4），C1（3，2） B．A1（3，3），C1（2，1）

C．A1（4，3），C1（2，3） D．A1（3，4），C1（2，2）

3．点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，BC的中点，点F是BD的中点．若AB=10，则EF=（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

5．下列计算正确的是（    ）

A．a²+a²=a4 B．（-a2）3=a6

C．（a+1）2=a2+1 D．8ab2÷（-2ab）=-4b

6．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（　　）cm

A．1 B．2 C．3 D．4

7．一组数据：3，2，5，3，7，5，x，它们的众数为5，则这组数据的中位数是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7

8．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（    ）米

A． B． C．+1 D．3

9．整数a、b在数轴上对应点的位置如图，实数c在数轴上且满足，如果数轴上有一实数d，始终满足，则实数d应满足（    ）.

A． B． C． D．

10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为　　

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．观察下列各等式：

……

根据以上规律可知第11行左起第一个数是__．

12．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，、两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若，当__时，是等腰三角形．

13．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为_____．

14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为_____．

15．若两个关于 x，y 的二元一次方程组与有相同的解， 则 mn 的值为_____．

16．若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

18．（8分）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

19．（8分）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB＝20米，BC＝40米，求AD的长．（≈1.732，≈1.414，结果精确到0.01米）

20．（8分）先化简，再求值：，其中m＝2.

21．（8分）    某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据统计图的信息解决下列问题：

本次调查的学生有多少人？补全上面的条形统计图；扇形统计图中C对应的中心角度数是　   　；若该校有600名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约多少盒？

22．（10分）如图，已知，请用尺规过点作一条直线，使其将分成面积比为两部分．（保留作图痕迹，不写作法）

23．（12分）如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的长．

24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，E为BC边上一动点（不与B、C重合），AE、BD交于点F．

（1）当AE平分∠BAC时，求证：∠BEF=∠BFE；

（2）当E运动到BC中点时，若BE=2，BD=2.4，AC=5，求AB的长．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【详解】

解：根据有理数比较大小的方法，可得

-2＜-1＜1＜1，

∴在1、-1、1、-2这四个数中，最大的数是1．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

2、A

【解析】

分析：根据B点的变化，确定平移的规律，将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，然后确定A、C平移后的坐标即可.

详解：由点B（﹣4，1）的对应点B1的坐标是（1，2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，

则点A（﹣1，3）的对应点A1的坐标为（4，4）、点C（﹣2，1）的对应点C1的坐标为（3，2），

故选A．

点睛：此题主要考查了平面直角坐标系中的平移，关键是根据已知点的平移变化总结出平移的规律.

3、A

【解析】
作出反比例函数的图象（如图），即可作出判断：

∵－3＜1，

∴反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜1时，y＞1；当x＞1时，y＜1．

∴当x1＜x2＜1＜x3时，y3＜y1＜y2．故选A．

4、A

【解析】
先利用直角三角形的性质求出CD的长，再利用中位线定理求出EF的长.

【详解】

∵∠ACB=90°,D为AB中点

∴CD=

∵点E、F分别为BC、BD中点

∴.

故答案为：A.

【点睛】

本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理，解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.

5、D

【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

A、原式=2a2，不符合题意；

B、原式=-a6，不符合题意；

C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；

D、原式=-4b，符合题意，

故选：D．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6、C

【解析】
由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题．

【详解】

如图，由题意得：

DA′＝DA,EA′＝EA，

∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF

＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE)

＝AB＋BC＋AC

＝1＋1＋1＝3(cm)

故选C.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系.

7、C

【解析】

分析：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数；中位数是指将数据按大小顺序排列起来形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据．根据定义即可求出答案．

详解：∵众数为5，  ∴x=5， ∴这组数据为：2,3,3,5,5,5,7，  ∴中位数为5， 故选C．

点睛：本题主要考查的是众数和中位数的定义，属于基础题型．理解他们的定义是解题的关键．

8、C

【解析】

由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°

据勾股定理则BC=m；

∴AC+BC=（1+）m.

答：树高为（1+）米．

故选C.

9、D

【解析】
根据a≤c≤b，可得c的最小值是﹣1，根据有理数的加法，可得答案．

【详解】

由a≤c≤b，得：c最小值是﹣1，当c=﹣1时，c+d=﹣1+d，﹣1+d≥0，解得：d≥1，∴d≥b．

故选D．

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用a≤c≤b得出c的最小值是﹣1是解题的关键．

10、C

【解析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=1．

故选C．

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、-1．

【解析】
观察规律即可解题.

【详解】

解：第一行=12=1,第二行=22=4,第三行=32=9...

∴第n行=n2,第11行=112=121,

又∵左起第一个数比右侧的数大一,

∴第11行左起第一个数是-1.

【点睛】

本题是一道规律题,属于简单题，认真审题找到规律是解题关键.

12、或．

【解析】
根据题意，用时间t表示出DQ和PC，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，①当时，画出对应的图形，可知点在的垂直平分线上，QE=，AE=BP，列出方程即可求出t；②当时，过点作于，根据勾股定理求出PQ，然后列出方程即可求出t．

【详解】

解：由运动知，，，

，，

，，

是等腰三角形，且，

①当时，过点P作PE⊥AD于点E

点在的垂直平分线上， QE=，AE=BP

，

，

，

②当时，如图，过点作于，

，

，，

，

四边形是矩形，

，，

，

在中，，

，

，

点在边上，不和重合，

，

，

此种情况符合题意，

即或时，是等腰三角形．

故答案为：或．

【点睛】

此题考查的是等腰三角形的定义和动点问题，掌握等腰三角形的定义和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

13、 (x﹣1)(x﹣2)

【解析】
根据方程的两根，可以将方程化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果．

【详解】

解：已知方程的两根为：x1＝1，x2＝2，可得：

（x﹣1）（x﹣2）＝0，

∴x2+bx+c＝（x﹣1）（x﹣2），故答案为：（x﹣1）（x﹣2）.

【点睛】

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数），若方程的两根是x1和x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）

14、4π﹣1

【解析】

分析：连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．

详解：

连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，

∴∠COD=45°，
∴OC=CD=4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
==4π-1．

故答案是：4π-1.

点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．

15、1

【解析】
联立不含m、n的方程求出x与y的值，代入求出m、n的值，即可求出所求式子的值．

【详解】

联立得：，

①×2+②，得：10x=20，

解得：x=2，

将x=2代入①，得：1-y=1，

解得：y=0，

则，

将x=2、y=0代入，得：，

解得：，

则mn=1，

故答案为1．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

16、AC⊥BD

【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．

【详解】

∵四边形EFGH是矩形，

∴∠FEH=90°，

又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，

∴EF是三角形ABD的中位线，

∴EF∥BD，

∴∠FEH=∠OMH=90°，

又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，

∴EH是三角形ACD的中位线，

∴EH∥AC，

∴∠OMH=∠COB=90°，

即AC⊥BD．

故答案为：AC⊥BD．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出图形并熟练掌握矩形性质及三角形中位线定理是解题关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）y=2x，OA=，

（2）是一个定值，，

（3）当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

【解析】（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=．

（2）是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时；

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．①①

如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC=OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=，

∴点F（，0），

设点B（x，），

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

∴，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴点B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5       

（求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得

k=，b=10，

∴，

∴，

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.

设OE=x，则AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得，

∴

∴（）

∴顶点为（，）

如答图3，

当时，OE=x=，此时E点有1个；

当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当时，E点只有1个

当时，E点有2个

18、（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．

【解析】
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；

（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10-a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．

【详解】

（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得

，

解得，

答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．

（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得

，

解得：，

因为a是整数，

所以a＝6，7，8；

则（10﹣a）＝4，3，2；

三种方案：

①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元；

②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元；

③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；

购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．

【点睛】

此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．

19、AD＝38.28米．

【解析】
过点B作BE⊥DA，BF⊥DC，垂足分别为E、F，已知AD＝AE+ED，则分别求得AE、DE的长即可求得AD的长．

【详解】

过点B作BE⊥DA，BF⊥DC，垂足分别为E，F，

由题意知，AD⊥CD

∴四边形BFDE为矩形

∴BF＝ED

在Rt△ABE中，AE＝AB•cos∠EAB

在Rt△BCF中，BF＝BC•cos∠FBC

∴AD＝AE+BF＝20•cos60°+40•cos45°

＝20×+40×＝10+20

＝10+20×1.414

＝38.28(米)．

即AD＝38.28米．

【点睛】

解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

20、，原式.

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值.

【详解】

原式，

当m＝2时，原式.

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21、（1）150人；（2）补图见解析；（3）144°；（4）300盒．

【解析】
(1)根据喜好A口味的牛奶的学生人数和所占百分比，即可求出本次调查的学生数.

（2）用调查总人数减去A、B、D三种喜好不同口味牛奶的人数，求出喜好C口味牛奶的人数，补全统计图.再用360°乘以喜好C口味的牛奶人数所占百分比求出对应中心角度数.

(3)用总人数乘以A、B口味牛奶喜欢人数所占的百分比得出答案.

【详解】

解：（1）本次调查的学生有30÷20%＝150人；

（2）C类别人数为150﹣（30+45+15）＝60人，

补全条形图如下：

（3）扇形统计图中C对应的中心角度数是360°×＝144°

故答案为144°

（4）600×（）＝300（人），

答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B口味的牛奶共约300盒．

【点睛】

本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得出必要的信息是解题的关键.

22、详见解析

【解析】
先作出AB的垂直平分线，而AB的垂直平分线交AB于D，再作出AD的垂直平分线，而AD的垂直平分线交AD于E，即可得到答案.

【详解】

如图

作出AB的垂直平分线，而AB的垂直平分线交AB于D，再作出AD的垂直平分线，而AD的垂直平分线交AD于E，故AE＝AD，AD＝BD，故AE＝AB，而BE＝AB，而△AEC与△CEB在AB边上的高相同，所以△CEB的面积是△AEC的面积的3倍，即S△AEC∶S△CEB＝1∶3.

【点睛】

本题主要考查了三角形的基本概念和尺规作图，解本题的要点在于找到AB的四分之一点，即可得到答案.

23、（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；

（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．

试题解析：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB．

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO．∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；

（2）连结BE．如图2，

∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，

∴AC=1，则BC=1．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，

∴△PAC∽△AOC，∴AC2=OC•PC，解得PC=9，

∴OP=PC+OC=2．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=，

∵AC=BC，OA=OE，即OC为△ABE的中位线．

∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=3．

∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，

∴，即，解得BD=．

24、（1）证明见解析；（1）2

【解析】

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠1，再根据等角的余角相等求出∠BEF=∠AFD，然后根据对顶角相等可得∠BFE=∠AFD，等量代换即可得解；

    （1）根据中点定义求出BC，利用勾股定理列式求出AB即可．

详解：（1）如图，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠1．

    ∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠1+∠BEF=∠1+∠AFD=90°，∴∠BEF=∠AFD．

    ∵∠BFE=∠AFD（对顶角相等），∴∠BEF=∠BFE；

    （1）∵BE=1，∴BC=4，由勾股定理得：AB===2．

点睛：本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．