山东省荷泽市定陶县重点名校2022年中考数学全真模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．200米 B．200米 C．220米 D．100米

2．分式方程=1的解为（　　）

A．x=1 B．x=0 C．x=﹣ D．x=﹣1

3．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（　　）

A．1 B． C． D．

4．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3

5．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（   ）．

A．  B．  C．  D．

6．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中的值是（    ）．

A． B． C． D．

7．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（　　）

A． B． C． D．

8．以下各图中，能确定的是（    ）

A． B． C． D．

9．下列运算正确的是（　　）

A．x•x4=x5 B．x6÷x3=x2 C．3x2﹣x2=3 D．（2x2）3=6x6

10．如图，在正方形ABCD中，AB＝，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线A﹣D﹣C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．的系数是_____，次数是_____．

12．在△ABC中，AB=1，BC=2，以AC为边作等边三角形ACD，连接BD，则线段BD的最大值为_____．

13．一组数据4，3，5，x，4，5的众数和中位数都是4，则x=_____．

14．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．

15．计算：2（a－b）＋3b＝___________．

16．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为_____．

17．如图，二次函数y=a（x﹣2）2+k（a＞0）的图象过原点，与x轴正半轴交于点A，矩形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣2），点P为x轴上任意一点，连结PB、PC．则△PBC的面积为_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）    已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H

（1）观察猜想

如图1，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是　   　；∠AHB＝　   　．

（2）探究证明

如图2，当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°时，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若BC＝9，FC＝6，将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请直接写出点B到直线AE的距离．

19．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．

（1）求证：AB为⊙C的切线．

（2）求图中阴影部分的面积．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．

21．（10分）如图，已知的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作，垂足为，与交于点，设，的度数分别是，，且．

（1）用含的代数式表示；

（2）连结交于点，若，求的长．

22．（10分）如图所示：△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，垂足为H．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）垂直平分线l交AC于点D，求证：AB=2DH．

23．（12分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

24．（14分）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.1．）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．

【详解】

∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，

∴BD＝CD＝100米，

∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，

∴AC＝2×100＝200米，

∴AD＝＝100米，

∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，

故选D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

2、C

【解析】
首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可．

【详解】

解：去分母得：

x2-x-1=（x+1）2，

整理得：-3x-2=0，

解得：x=-，

检验：当x=-时，（x+1）2≠0，

故x=-是原方程的根．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．

3、D

【解析】

解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=2BC=2，∴===，∴=．∵∠ABI=∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴=．∵AB=AC，∴AI=BI=2．∵∠ACB=∠FGE，∴AC∥FG，∴==，∴QI=AI=．故选D．

点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．

4、C

【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．

考点：分式有意义的条件．

5、B

【解析】
朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.

【详解】

依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=

故选B.

【点睛】

此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.

6、D

【解析】
根据正方体平面展开图的特征得出每个相对面,再由相对面上的两个数互为相反数可得出x的值．

【详解】

解：“3”与“-3”相对,“y”与“-2”相对,“x”与“-8”相对, 故x=8,故选D．

【点睛】

本题主要考查了正方体相对面上的文字,解决本题的关键是要熟练掌握正方体展开图的特征.

7、D

【解析】
两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．

【详解】

因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，

所以P(飞镖落在黑色区域)==.

故答案选：D.

【点睛】

本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点.

8、C

【解析】
逐一对选项进行分析即可得出答案．

【详解】

A中，利用三角形外角的性质可知，故该选项错误；

B中，不能确定的大小关系，故该选项错误；

C中，因为同弧所对的圆周角相等，所以，故该选项正确；

D中，两直线不平行，所以，故该选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．

9、A

【解析】

根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A、x•x4=x5，原式计算正确，故本选项正确；

B、x6÷x3=x3，原式计算错误，故本选项错误；

C、3x2﹣x2=2x2，原式计算错误，故本选项错误；

D、（2x2）3=8x，原式计算错误，故本选项错误．

故选A．

10、B

【解析】

∵在正方形ABCD中, AB=，

∴AC＝4，AD＝DC＝，∠DAP＝∠DCA＝45o，

当点Q在AD上时，PA＝PQ，

∴DP=AP=x,

∴S＝ ；

当点Q在DC上时，PC＝PQ

CP＝4－x,

∴S＝；

所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,

故选B.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在AP、DC上这两种情况．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、    1   

【解析】
根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．

【详解】

根据单项式系数和次数的定义可知，﹣的系数是，次数是1．

【点睛】

本题考查了单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．

12、3

【解析】
以AB为边作等边△ABE，由题意可证△AEC≌△ABD，可得BD=CE，根据三角形三边关系，可求EC的最大值，即可求BD的最大值．

【详解】

如图：以AB为边作等边△ABE，
，
∵△ACD，△ABE是等边三角形，
∴AD=AC，AB=AE=BE=1，∠EAB=∠DAC=60o,
∴∠EAC=∠BAD，且AE=AB，AD=AC，
∴△DAB≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，
若点E，点B，点C不共线时，EC＜BC+BE；
若点E，点B，点C共线时，EC=BC+BE．
∴EC≤BC+BE=3，
∴EC的最大值为3，即BD的最大值为3.
故答案是：3

【点睛】

考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．

13、1

【解析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出答案．

【详解】

∵一组数据1，3，5，x，1，5的众数和中位数都是1，

∴x=1，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了众数的知识，解答本题的关键是掌握众数的定义．

14、a＞﹣．

【解析】

试题分析：已知关于x的方程2x2+x﹣a=0有两个不相等的实数根，所以△=12﹣4×2×（﹣a）=1+8a＞0，解得a＞﹣．

考点：根的判别式.

15、2a+b．

【解析】
先去括号，再合并同类项即可得出答案．

【详解】

原式=2a-2b+3b

=2a+b．

故答案为：2a+b．

16、

【解析】
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．

【详解】

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴

∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=

故答案为

【点睛】

考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.

17、4

【解析】
根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案．

【详解】

∵二次函数的对称轴为直线x=2， ∴点A的坐标为(4，0)，∵点C的坐标为(0，－2)，

∴点B的坐标为(4，－2)， ∴BC=4，则．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1），45°；（2）不成立，理由见解析；（3） .

【解析】
（1）由正方形的性质，可得 ,∠ACB＝∠GEC＝45°，求得△CAE∽△CBF，由相似三角形的性质得到，∠CAB＝＝45°，又因为∠CBA＝90°，所以∠AHB＝45°.

（2）由矩形的性质，及∠ACB＝∠ECF＝30°，得到△CAE∽△CBF，由相似三角形的性质可得∠CAE＝∠CBF，,则∠CAB＝60°，又因为∠CBA＝90°，

求得∠AHB＝30°，故不成立.

（3）分两种情况讨论：①作BM⊥AE于M，因为A、E、F三点共线，及∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，进而求得AC和EF ，根据勾股定理求得AF，则AE＝AF﹣EF，再由（2）得： ,所以BF＝3﹣3，故BM＝ .

②如图3所示：作BM⊥AE于M，由A、E、F三点共线，得：AE＝6+2，BF＝3+3，则BM＝.

【详解】

解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴ ,∠ACB＝∠GEC＝45°，   

∴∠ACE＝∠BCF，

∴△CAE∽△CBF，

∴∠CAE＝∠CBF，，

∴，∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝45°，

∵∠CBA＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

故答案为，45°；

（2）不成立；理由如下：

∵四边形ABCD和EFCG均为矩形，且∠ACB＝∠ECF＝30°，

∴，∠ACE＝∠BCF，

∴△CAE∽△CBF，

∴∠CAE＝∠CBF，,

∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝∠CBF+∠EAB＝60°，

∵∠CBA＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°﹣60°＝30°；

（3）分两种情况：

①如图2所示：作BM⊥AE于M，当A、E、F三点共线时，

由（2）得：∠AFB＝30°，∠AFC＝90°，

在Rt△ABC和Rt△CEF中，∵∠ACB＝∠ECF＝30°，

∴AC＝，EF＝CF×tan30°＝6× ＝2 ，

在Rt△ACF中，AF＝ ,

∴AE＝AF﹣EF＝6 ﹣2，

由（2）得： ,

∴BF＝ （6﹣2）＝3﹣3，

在△BFM中，∵∠AFB＝30°，

∴BM＝BF＝ ；

②如图3所示：作BM⊥AE于M，当A、E、F三点共线时，

同（2）得：AE＝6+2，BF＝3+3，

则BM＝BF＝；

综上所述，当A、E、F三点共线时，点B到直线AE的距离为．

【点睛】

本题考察正方形的性质和矩形的性质以及三点共线，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，知道分类讨论三点共线问题是解题的关键.本题属于中等偏难.

19、 (1)证明见解析；(2)1-π.

【解析】
（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；

（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．

【详解】

（1）过C作CF⊥AB于F．

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，∴BC＝2，由勾股定理得：AB1．

∵△ACB的面积S，∴CF2，∴CF为⊙C的半径．

∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；

（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE1﹣π．

【点睛】

本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．

20、（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（﹣6，4）．

【解析】

试题分析：利用关于点对称的性质得出的坐标进而得出答案；
利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．

试题解析：(1)△A1BC1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．

21、（1）；（2）

【解析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，可以证明AD∥OC，根据平行线的性质可得，则根据等腰三角形的性质可得，利用，化简计算即可得到答案；
（2）连接CF，根据，可得，利用中垂线和等腰三角形的性质可证四边形是平行四边形，得到△AOF为等边三角形，由并可得四边形是菱形，可证是等边三角形，有∠FAO=60°，再根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：（1）如图示，连结，

∵是的切线，∴．

又，∴，

∴，

∴．

∵，

∴．∴．

∵，

∴．

∴，即．

（2）如图示，连结，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴四边形是菱形，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∵，

∴的长．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、菱形的判定和性质、弧长的计算，掌握切线的性质定理、弧长公式是解题的关键．

22、 (1)见解析；（2）证明见解析.

【解析】
（1）利用线段垂直平分线的作法，分别以A，B为端点，大于为半径作弧，得出直线l即可；
（2）利用利用平行线的性质以及平行线分线段成比例定理得出点D是AC的中点，进而得出答案．

【详解】

解：(1)如图所示：直线l即为所求；

(2)证明：∵点H是AB的中点，且DH⊥AB，

∴DH∥BC，

∴点D是AC的中点，

∵

∴AB=2DH.

【点睛】

考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的性质.

23、（1）20%；（2）能.

【解析】
（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)(1+x)，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可．

（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.

【详解】

(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．

答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，

所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．

24、建筑物AB的高度约为5.9米

【解析】
在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度；

【详解】

在Rt△CED中，∠CED=58°，

∵tan58°=，

∴DE= ，

在Rt△CFD中，∠CFD=22°，

∵tan22°= ，

∴DF= ，

∴EF=DF﹣DE=－，

同理：EF=BE﹣BF= ，

∴＝－，

解得：AB≈5.9（米），

答：建筑物AB的高度约为5.9米．

【点睛】

考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．