山东省青岛五校联考2022年中考数学考试模拟冲刺卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算：的结果是(         )

A． B．． C． D．

2．下列说法中不正确的是（　　）

A．全等三角形的周长相等    B．全等三角形的面积相等

C．全等三角形能重合    D．全等三角形一定是等边三角形

3．如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为(   )

A．5元，2元 B．2元，5元

C．4.5元，1.5元 D．5.5元，2.5元

4．sin60°的值为（　　）

A． B． C． D．

5．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．一样大

6．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 3，图中阴影部分的面积是（     ）

A．π B． C．2π D．3π

8．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）

A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5

9．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）

A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm

10．在，，，这四个数中，比小的数有（   ）个．

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，则cos∠AOA′=__．

12．已知双曲线经过点（－1，2），那么k的值等于_______.

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．

14．分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝_____．

15．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为_____．

16．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22﹣x1x2=8，求m的值．

18．（8分）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．

（1）求AD的长．

（2）求树长AB．

19．（8分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．

20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

求证：四边形ABCD是菱形；若AB＝，BD＝2，求OE的长．

21．（8分）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．

（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？

（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？

22．（10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；

（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值．

23．（12分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.1°，∠PBA=26.1．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）

（参考数据：sin38.1°=0.62，cos38.1°=0.78，tan38.1°=0.80，sin26.1°=0.41，cos26.1°=0.89，tan26.1°=0.10）

24．解方程（2x+1）2=3（2x+1）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．

【详解】

解：原式=

=

=

故选；B

【点睛】

本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

2、D

【解析】
根据全等三角形的性质可知A，B，C命题均正确，故选项均错误；

D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.

故选D.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质，两三角形全等，其对应边和对应角都相等.

3、A

【解析】
可设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19元，②1本笔记本的费用﹣1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可．

【详解】

设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，依题意有：

，解得：．

故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元．

故选A．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组．

4、B

【解析】

解：sin60°=．故选B．

5、C

【解析】

如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成，

左视图是由3个小正方形组成，

俯视图是由5个小正方形组成，

故三种视图面积最小的是左视图，

故选C．

6、D

【解析】
∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；

当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．

故选B．

7、D

【解析】
根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．

【详解】

∵△ABC 为等边三角形，

∴∠A=60°，

∴∠BOC=2∠A=120°，

∴图中阴影部分的面积= =3π．

故选D．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．

8、B

【解析】
根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．

【详解】

∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−，
解得，m=-1，
故选B．

9、D

【解析】
解答此题要延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，再用勾股定理进行计算．

【详解】

延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，

运用勾股定理得：

BC2=（15-3）2+（1-4）2=122+162=400，

所以BC=1．

则剪去的直角三角形的斜边长为1cm．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算．

10、B

【解析】
比较这些负数的绝对值，绝对值大的反而小.

【详解】

在﹣4、﹣、﹣1、﹣这四个数中，比﹣2小的数是是﹣4和﹣.故选B.

【点睛】

本题主要考查负数大小的比较，解题的关键时负数比较大小时，绝对值大的数反而小.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、．

【解析】
依据点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，即可得到A'O=1，AA'=2，AO=，进而得出cos∠AOA′的值．

【详解】

如图所示，点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，

∴A'O=1，AA'=2，

∴AO=，

∴cos∠AOA′=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

12、－1

【解析】
分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将点（－1,2）代入，得：，解得：k＝－1．

13、2

【解析】
根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．

【详解】

由题意可得，

DE=DB=CD=AB，

∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，

∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，

∴∠DEC=∠ACE，

∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，

∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=CD，

∴AC=DE，

∵AC∥DE，AC=CD，

∴四边形ACDE是菱形，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，

∴AC=2，

∴AE=2．

故答案为2．

【点睛】

本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

14、ab（a+b）1．

【解析】
a3b+1a1b1+ab3＝ab（a1+1ab+b1）＝ab（a+b）1．

故答案为ab（a+b）1．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．

15、（2，）

【解析】

过C作CH于H,由题意得2AO=AD’,所以∠D’AO=60°，AO=1，AD’=2，勾股定理知OD’=，BH=AO所以C’(2，).

故答案为（2，）.

16、

【解析】
根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．

【详解】

根据图示可得，

故答案是：．

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．

三、解答题（共8题，共72分）

17、 (1)；（2）m=﹣．

【解析】
（1）根据已知和根的判别式得出△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，求出不等式的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，把x1+xx12+x22﹣x1x2=8变形为（x1+x2）2﹣3x1x2=8，代入求出即可．

【详解】

（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，

∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，

解得：

即m的取值范围是

（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，

∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，

∵x12+x22﹣x1x2=8，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2=8，

∴（﹣2）2﹣3×2m=8，

解得：

【点睛】

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式的内容和根与系数的关系的内容是解此题的关键．

18、（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）过点A作AE⊥CB于点E，设AE=x，分别表示出CE、DE，再由CD=10，可得方程，解出x的值，在Rt△ADE中可求出AD；

（2）过点B作BF⊥AC于点F，设BF=y，分别表示出CF、AF，解出y的值后，在Rt△ABF中可求出AB的长度．

试题解析：（1）如图，过A作AH⊥CB于H，设AH=x，CH=x，DH=x．

∵CH―DH=CD，∴x―x=10，∴x=．

∵∠ADH=45°，∴AD=x=．

（2）如图，过B作BM ⊥AD于M．

∵∠1=75°，∠ADB=45°，∴∠DAB=30°．

设MB=m，∴AB=2m，AM=m，DM=m．

∵AD=AM＋DM，∴=m＋m．∴m=．∴AB=2m=．

19、（1）y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．

【解析】
（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．

（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．

【详解】

（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣2）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣2）．

又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣2）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣1．

∵x﹣2≥0，∴x≥2．

又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴2≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）．

（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣1=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．

∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．

【点睛】

本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．

20、（1）见解析；（1）OE＝1．

【解析】
（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
（1）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠DCA，

∵AC为∠DAB的平分线，

∴∠OAB＝∠DAC，

∴∠DCA＝∠DAC，

∴CD＝AD＝AB，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD＝AB，

∴▱ABCD是菱形；

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，

∴OE＝OA＝OC，

∵BD＝1，

∴OB＝BD＝1，

在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，

∴OA＝＝1，

∴OE＝OA＝1．

【点睛】

此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键

21、（1）甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y最小值为2090万元．

【解析】
（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；

（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80-m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论.

【详解】

（1）设乙种套房提升费用为x万元，则甲种套房提升费用为（x﹣3）万元，

则，

解得x=1．

经检验：x=1是分式方程的解，

答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；

（2）设甲种套房提升a套，则乙种套房提升（80﹣a）套，

则2090≤25a+1（80﹣a）≤2096，

解得48≤a≤2．

∴共3种方案，分别为：

方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．

方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，

方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套．

设提升两种套房所需要的费用为y万元，则

y=25a+1（80﹣a）=﹣3a+2240，

∵k=﹣3，

∴当a取最大值2时，即方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y最小值为2090万元．

【点睛】

本题考查了一次函数的性质的运用，列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用．解答时建立方程求出甲，乙两种套房每套提升费用是关键，是解答第二问的必要过程．

22、（1）AE=DF，AE⊥DF，理由见解析；（2）成立，CE:CD=或2；（3）

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，由SAS先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=a即可；②当AE=AC时，设正方形的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=a，根据正方形的性质知∠ADC=90°，然后根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；

（3）由（1）（2）知：点P的路径是一段以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最大，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．

试题解析：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC， 

∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°-90°=90°，

∴AE⊥DF； 

（2）（1）中的结论还成立，

有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得，

，

则；  

②如图2，当AE=AC时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE:CD=2a:a=2； 

即CE:CD=或2； 

（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是以AD为直径的圆，

如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，

此时CP的长度最大，

∵在Rt△QDC中，

∴，           

即线段CP的最大值是.   

点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，能综合运用性质进行推挤是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大.

23、49.2米

【解析】
设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．

【详解】

解：设PD=x米，

∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．

在Rt△PAD中，，∴．

在Rt△PBD中，，∴．

又∵AB=80.0米，∴，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米．

∴DB=2x=49.2米．

答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．

24、x1=-，x2=1

【解析】

试题分析：分解因式得出（2x+1）（2x+1﹣3）=0，推出方程2x+1=0，2x+1﹣3=0，求出方程的解即可．

试题解析：解：整理得：（2x+1）2－3（2x+1）=0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）=0，即2x+1=0，2x+1﹣3=0，解得：x1=﹣，x2=1．

点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方程，题目比较典型，难度不大．