江苏省仪征市扬子中学2021-2022学年中考五模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k的值为（　　）

A．4 B．2 C．2 D．

2．如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（ ）

A． B． C． D．

3．某同学将自己7次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．50和48 B．50和47 C．48和48 D．48和43

4．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(    )

A． B． C．1 D．

5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（    ） 

A． B． C． D．

6．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是(　　)

A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n

7．某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的主视图可以是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为(    )

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

9．下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（   ）

A．y=3x2+2 B．y=3（x﹣1）2 C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=2x2

10．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 （）

A． B． C． D．

11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC的大小是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

12．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．计算（﹣3）+（﹣9）的结果为______．

14．已知函数是关于的二次函数，则__________．

15．对于函数，我们定义（m、n为常数）．

例如，则．

已知：．若方程有两个相等实数根，则m的值为__________．

16．一组数据1，4，4，3，4，3，4的众数是_____．

17．将数字37000000用科学记数法表示为_____．

18．如图，已知，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且如果，，那么AE的长为______．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，已知△ABC，分别以AB,AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，连结BD,CE交于点F，设AB=m，BC=n.

（1）求证：∠BDA=∠ECA．

（2）若m=，n=3，∠ABC=75°，求BD的长.

（3）当∠ABC=____时，BD最大，最大值为____（用含m，n的代数式表示）

（4）试探究线段BF,AE,EF三者之间的数量关系。

20．（6分）校园手机现象已经受到社会的广泛关注．某校的一个兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题在该校校园内进行了随机调查．并将调查数据作出如下不完整的整理；

（1）本次调查共调查了　   　人；（直接填空）请把整理的不完整图表补充完整；若该校有3000名学生，请您估计该校持“反对”态度的学生人数．

21．（6分）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：

方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；

方案二：售价不变，但发资料做广告．已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p倍，且p =．

试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！

22．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE，AC

（1）求证：四边形ACDE为平行四边形；

（2）连接CE交AD于点O，若AC=AB=3，cosB=，求线段CE的长．

23．（8分）小丽和哥哥小明分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，遇到哥哥后改为步行，到达图书馆恰好用35分钟，小明匀速骑自行车直接回家，骑行10分钟后遇到了妹妺，再继续骑行5分钟，到家两人距离家的路程y（m）与各自离开出发的时间x（min）之间的函数图象如图所示：

（1）求两人相遇时小明离家的距离；

（2）求小丽离距离图书馆500m时所用的时间．

24．（10分）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

25．（10分）如图，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中≌，可知，求得______．如图，在矩形的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．

求证：．

若，求的度数．

26．（12分）某市为了解本地七年级学生寒假期间参加社会实践活动情况，随机抽查了部分七年级学生寒假参加社会实践活动的天数（“A﹣﹣﹣不超过5天”、“B﹣﹣﹣6天”、“C﹣﹣﹣7天”、“D﹣﹣﹣8天”、“E﹣﹣﹣9天及以上”），并将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上的信息，回答下列问题：

（1）补全扇形统计图和条形统计图；

（2）所抽查学生参加社会实践活动天数的众数是　   　（选填：A、B、C、D、E）；

（3）若该市七年级约有2000名学生，请你估计参加社会实践“活动天数不少于7天”的学生大约有多少人？

27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P沿射线BD运动，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得线段PQ．

(1)当点Q落到AD上时，∠PAB＝____°，PA＝_____，长为_____；

(2)当AP⊥BD时，记此时点P为P0，点Q为Q0，移动点P的位置，求∠QQ0D的大小；

(3)在点P运动中，当以点Q为圆心，BP为半径的圆与直线BD相切时，求BP的长度；

(4)点P在线段BD上，由B向D运动过程(包含B、D两点)中，求CQ的取值范围，直接写出结果．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、A

【解析】

【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．

【详解】作BD⊥AC于D，如图，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AB=2，

∴BD=AD=CD=，

∵AC⊥x轴，

∴C（，2），

把C（，2）代入y=得k=×2=4，

故选A．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k是解题的关键.

2、C

【解析】

试题分析：∵该几何体上下部分均为圆柱体，∴其左视图为矩形，故选C．

考点：简单组合体的三视图．

3、A

【解析】
由折线统计图，可得该同学7次体育测试成绩，进而求出众数和中位数即可.

【详解】

由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，

7次测试成绩的众数为50，中位数为48，

故选：A．

【点睛】

本题考查了众数和中位数，解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息.

4、C

【解析】
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

【详解】

试题分析：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH=45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH=MH=AM=×2=，

∵CM平分∠ACB，

∴BM=MH=，

∴AB=2+，

∴AC=AB=（2+）=2+2，

∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴，即，

∴ON=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

5、D

【解析】
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.

【详解】

如图，连接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，

∴AC= ，CF=3，

∠ACD=∠GCF=45°，

∴∠ACF=90°，

由勾股定理得，AF=，

∵CH⊥AF，

∴，

即，

∴CH=.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

6、D

【解析】

试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．

解：根据给出的3个图形可以知道：

第1个图形中三角形的个数是4，

第2个图形中三角形的个数是8，

第3个图形中三角形的个数是12，

从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．

故选D．

考点：规律型：图形的变化类．

7、B

【解析】

从几何体的正面看可得下图，故选B．

8、A

【解析】
设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程.

【详解】

设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个， 根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等可得=.

故选A．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．

9、D

【解析】

分析：根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解：

A、y=3x2的图象向上平移2个单位得到y=3x2+2，故本选项错误；

B、y=3x2的图象向右平移1个单位得到y=3（x﹣1）2，故本选项错误；

C、y=3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=3（x﹣1）2+2，故本选项错误；

D、y=3x2的图象平移不能得到y=2x2，故本选项正确．

故选D．

10、A

【解析】

从左面看，得到左边2个正方形，中间3个正方形，右边1个正方形．故选A．

11、C

【解析】

连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C．

12、B

【解析】
根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.

【详解】

∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,

∴∠BOC+∠AOB=220°,

∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角和圆心角的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、-1

【解析】

试题分析：利用同号两数相加的法则计算即可得原式=﹣（3+9）=﹣1，

故答案为﹣1．

14、1

【解析】
根据一元二次方程的定义可得：，且，求解即可得出m的值．

【详解】

解：由题意得：，且，

解得：，且，

∴

故答案为：1．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”．

15、

【解析】

分析：根据题目中所给定义先求，再利用根与系数关系求m值.

详解：由所给定义知，,若

=0,

解得m=.

点睛：一元二次方程的根的判别式是,

△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,

△=0说明方程有两个相等实数解,

△<0说明方程无实数解.

实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.

16、1

【解析】
本题考查了统计的有关知识，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

【详解】

在这一组数据中1是出现次数最多的，故众数是1．

故答案为1．

【点睛】

本题为统计题，考查了众数的定义，是基础题型．

17、3.7×107

【解析】
根据科学记数法即可得到答案.

【详解】

数字37000000用科学记数法表示为3.7×107.

【点睛】

本题主要考查了科学记数法的基本概念，解本题的要点在于熟知科学记数法的相关知识.

18、

【解析】
由DE∥BC不难证明△ABC△ADE,再由，将题中数值代入并根据等量关系计算AE的长.

【详解】

解：由DE∥BC不难证明△ABC△ADE,

∵，CE=4,

∴，

解得：AE=

故答案为.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形的判定和性质是解题关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、135°    m+n     

【解析】

试题分析：

（1）由已知条件证△ABD≌△AEC，即可得到∠BDA=∠CEA；

（2）过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，由已知条件易得∠EBG=60°，BE=2，这样在Rt△BEG中可得EG=，BG=1，结合BC=n=3，可得GC=4，由长可得EC=，结合△ABD≌△AEC可得BD=EC=；

（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=，此时BD最大=EC最大=；

（4）由△ABD≌△AEC可得∠AEC=∠ABD，结合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE2，从而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.

试题解析：

（1）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠DAC=90°，

∴AE=AB，AC=AD，∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠BAD，

∴△EAC≌△BAD，

∴∠BDA=∠ECA；

（2）如下图，过点E作EG⊥CB交CB的延长线于点G，

∴∠EGB=90°，

∵在等腰直角△ABE，∠BAE=90°，AB=m= ，

∴∠ABE=45°，BE=2，

∵∠ABC=75°，

∴∠EBG=180°-75°-45°=60°，

∴BG=1，EG=，

∴GC=BG+BC=4，

∴CE=，

∵△EAC≌△BAD，

∴BD=EC=；

（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此当E、B、C三点共线时，EC最大=BE+BC=，

∵BD=EC，

∴BD最大=EC最大=，此时∠ABC=180°-∠ABE=180°-45°=135°，

即当∠ABC=135°时，BD最大=；

（4）∵△ABD≌△AEC，

∴∠AEC=∠ABD，

∵在等腰直角△ABE中，∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE+∠CEB=90°，

∴∠BFE=180°-90°=90°，

∴EF2+BF2=BE2，

又∵在等腰Rt△ABE中，BE2=2AE2，

∴2AE2=EF2+BF2.

点睛：(1)解本题第2小题的关键是过点E作EG⊥CB的延长线于点G，即可由已知条件求得BE的长，进一步求得BG和EG的长就可在Rt△EGC中求得EC的长了，结合（1）中所证的全等三角形即可得到BD的长了；（2）解第3小题时，由题意易知，当AB和BC的值确定后，BE的值就确定了，则由题意易得当E、B、C三点共线时，EC=EB+BC=是EC的最大值了.

20、（1）50；（2）见解析；（3）2400.

【解析】
（1）用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数；

（2）求无所谓的人数和赞成的频率即可把整理的不完整图表补充完整；

（3）根据题意列式计算即可．

【详解】

解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，

故调查的人数为：40÷0.8＝50人；

故答案为：50；

（2）无所谓的频数为：50﹣5﹣40＝5人，

赞成的频率为：1﹣0.1﹣0.8＝0.1；

统计图为：

（3）0.8×3000＝2400人，

答：该校持“反对”态度的学生人数是2400人．

【点睛】

本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

21、方案二能获得更大的利润；理由见解析

【解析】
方案一：由利润=（实际售价-进价）×销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；

方案二：由利润=（售价-进价）×500p-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润．

【详解】

解：设涨价x元，利润为y元，则

方案一：涨价x元时，该商品每一件利润为：50+x−40，销售量为：500−10x，

∴，

∵当x=20时，y最大=9000，

∴方案一的最大利润为9000元；

方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p，广告费用为：1000m元，

∴，

∴方案二的最大利润为10125元；

∴选择方案二能获得更大的利润.

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值.

22、（1）证明见解析；（2）4．

【解析】
（1）已知四边形 ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，又因AE=AB，可得AE=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形 ACDE 是平行四边形；（2）连接 EC，易证△BEC 是直角三角形，解直角三角形即可解决问题.

【详解】

（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵AE=AB，

∴AE=CD，∵AE∥CD，

∴四边形 ACDE 是平行四边形．

（2）如图，连接 EC．

∵AC=AB=AE，

∴△EBC 是直角三角形，

∵cosB==，BE=6，

∴BC=2，

∴EC===4．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23、（1）两人相遇时小明离家的距离为1500米；（2）小丽离距离图书馆500m时所用的时间为分．

【解析】
（1）根据题意得出小明的速度，进而得出得出小明离家的距离；

（2）由（1）的结论得出小丽步行的速度，再列方程解答即可．

【详解】

解：（1）根据题意可得小明的速度为：4500÷（10+5）＝300（米/分），

300×5＝1500（米），

∴两人相遇时小明离家的距离为1500米；

（2）小丽步行的速度为：（4500﹣1500）÷（35﹣10）＝120（米/分），

设小丽离距离图书馆500m时所用的时间为x分，根据题意得，

1500+120（x﹣10）＝4500﹣500，

解得x＝．

答：小丽离距离图书馆500m时所用的时间为分．

【点睛】

本题由函数图像获取信息，以及一元一次方程的应用，由函数图像正确获取信息是解答本题的关键．

24、证明见解析.

【解析】

试题分析：由可得则可证明，因此可得

试题解析：即,在和中，

考点：三角形全等的判定．

25、阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°

【解析】
阅读发现：只要证明，即可证明．

拓展应用：欲证明，只要证明≌即可．

根据即可计算．

【详解】

解：如图中，四边形ABCD是正方形，

，，

≌，

，

，

，

，

，

，

故答案为

为等边三角形，

，．

为等边三角形，

，．

四边形ABCD为矩形，

，．

．

，，

．

在和中，

，

≌．

；

≌，

，

．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．

26、（1）见解析;（2）A；（3）800人．

【解析】
(1)用A组人数除以它所占的百分比求出样本容量,利用360°乘以对应的百分比即可求得扇形圆心角的度数,再求得时间是8天的人数,从而补全扇形统计图和条形统计图；

(2)根据众数的定义即可求解;

(3)利用总人数2000乘以对应的百分比即可求解.

【详解】

解：（1）∵被调查的学生人数为24÷40%=60人，

∴D类别人数为60﹣（24+12+15+3）=6人，

则D类别的百分比为×100%=10%，

补全图形如下：

（2）所抽查学生参加社会实践活动天数的众数是A，

故答案为：A；

（3）估计参加社会实践“活动天数不少于7天”的学生大约有2000×（25%+10%+5%）=800人．

【点睛】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

27、 (1)45，，π；(2)满足条件的∠QQ0D为45°或135°；(3)BP的长为或；(4)≤CQ≤7.

【解析】
(1)由已知，可知△APQ为等腰直角三角形，可得∠PAB，再利用三角形相似可得PA，及弧AQ的长度；

(2)分点Q在BD上方和下方的情况讨论求解即可．

(3)分别讨论点Q在BD上方和下方的情况，利用切线性质，在由(2)用BP0表示BP，由射影定理计算即可；

(4)由(2)可知，点Q在过点Qo，且与BD夹角为45°的线段EF上运动，有图形可知，当点Q运动到点E时，CQ最长为7，再由垂线段最短，应用面积法求CQ最小值．

【详解】

解：(1)如图，过点P做PE⊥AD于点E

由已知，AP＝PQ，∠APQ＝90°

∴△APQ为等腰直角三角形

∴∠PAQ＝∠PAB＝45°

设PE＝x，则AE＝x，DE＝4﹣x

∵PE∥AB

∴△DEP∽△DAB

∴=

∴=

解得x＝

∴PA＝PE＝

∴弧AQ的长为•2π•＝π．

故答案为45，，π．

(2)如图，过点Q做QF⊥BD于点F

由∠APQ＝90°，

∴∠APP0+∠QPD＝90°

∵∠P0AP+∠APP0＝90°

∴∠QPD＝∠P0AP

∵AP＝PQ

∴△APP0≌△PQF

∴AP0＝PF，P0P＝QF

∵AP0＝P0Q0

∴Q0D＝P0P

∴QF＝FQ0

∴∠QQ0D＝45°．

当点Q在BD的右下方时，同理可得∠PQ0Q＝45°，

此时∠QQ0D＝135°，

综上所述，满足条件的∠QQ0D为45°或135°．

(3)如图当点Q直线BD上方，当以点Q为圆心，BP为半径的圆与直线BD相切时

过点Q做QF⊥BD于点F，则QF＝BP

由(2)可知，PP0＝BP

∴BP0＝BP

∵AB＝3，AD＝4

∴BD＝5

∵△ABP0∽△DBA

∴AB2＝BP0•BD

∴9＝BP×5

∴BP＝

同理，当点Q位于BD下方时，可求得BP＝

故BP的长为或

(4)由(2)可知∠QQ0D＝45°

则如图，点Q在过点Q0，且与BD夹角为45°的线段EF上运动，

当点P与点B重合时，点Q与点F重合，此时，CF＝4﹣3＝1

当点P与点D重合时，点Q与点E重合，此时，CE＝4+3＝7

∴EF＝==5

过点C做CH⊥EF于点H

由面积法可知

CH＝==

∴CQ的取值范围为：≤CQ≤7

【点睛】

本题是几何综合题，考查了三角形全等、勾股定理、切线性质以及三角形相似的相关知识，应用了分类讨论和数形结合的数学思想．