江苏省无锡市积余中学2022年中考四模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列计算正确的有（     ）个

①（﹣2a2）3＝﹣6a6   ②（x﹣2）（x+3）＝x2﹣6    ③（x﹣2）2＝x2﹣4 ④﹣2m3+m3＝﹣m3      ⑤﹣16＝﹣1．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

3．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )

A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数

4．某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：

下列说法正确的是（ ）

A．这10名同学体育成绩的中位数为38分

B．这10名同学体育成绩的平均数为38分

C．这10名同学体育成绩的众数为39分

D．这10名同学体育成绩的方差为2

5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．4

6．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

7．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b2﹣4c＞1；②b+c+1=1；③3b+c+6=1；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜1．

其中正确的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

8．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加1．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（　　）

A．350 B．351 C．356 D．358

9．已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（     ）

A．13 B．11或13 C．11 D．12

10．已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（　　）

A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．________.

12．如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于__________．

13．将绕点逆时针旋转到使、、在同一直线上，若，，，则图中阴影部分面积为________.

14．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD=  ___________°．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， BD平分∠ABC交AC于点D，DE平分∠BDC交BC于点E，则＝      ．

16．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a），如图，若曲线y＝（x＞0）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是_______．

17．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则字母a的取值范围是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）计算：（π﹣3.14）0﹣2﹣|﹣3|．

19．（5分）某服装店用4000元购进一批某品牌的文化衫若干件，很快售完，该店又用6300元钱购进第二批这种文化衫，所进的件数比第一批多40%，每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，请解答下列问题：

（1）求购进的第一批文化衫的件数；

（2）为了取信于顾客，在这两批文化衫的销售中，售价保持了一致．若售完这两批文化衫服装店的总利润不少于4100元钱，那么服装店销售该品牌文化衫每件的最低售价是多少元？

20．（8分）为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间(单位：小时)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图(：，：，：，：)，根据图中信息，解答下列问题：

(1)这项工作中被调查的总人数是多少？

(2)补全条形统计图，并求出表示组的扇形统计图的圆心角的度数；

(3)如果李青想从组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率．

21．（10分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了部分学生对五类校本课程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个不完整统计图.请根据图中所提供的信息，完成下列问题：

(1)本次被调查的学生的人数为          ；

(2)补全条形统计图

(3)扇形统计图中，类所在扇形的圆心角的度数为          ；

(4)若该中学有2000名学生，请估计该校最喜爱两类校本课程的学生约共有多少名.

22．（10分）如图，已知⊙O,请用尺规做⊙O的内接正四边形ABCD，（保留作图痕迹，不写做法）

23．（12分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y=2与y轴交于点C． 

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； 

（2）求△ABC的面积.

24．（14分）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．

（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；

（1）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（1）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S1．若tan∠CAF=，求的值．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解．

【详解】

①（﹣2a2）3=﹣8a6，错误；

②（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，错误；

③（x﹣2）2=x2﹣4x+4，错误

④﹣2m3+m3=﹣m3，正确；

⑤﹣16=﹣1，正确．

计算正确的有2个．

故选C．

【点睛】

考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．

2、C

【解析】

解：连接BD．在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=2．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=2．在Rt△BED中，BD=．故选C．

点睛：本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．

3、D

【解析】
根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【详解】

由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.

故本题选：D.

【点睛】

本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；

第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=39；

平均数==38.4

方差=[（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2×（40﹣38.4）2]=1.64；

∴选项A，B、D错误；

故选C．

考点：方差；加权平均数；中位数；众数．

5、B

【解析】

分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．

详解：

如图所示，连接OC、OB

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC=60°，

∵OC=OB，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OBM=60°，

∴OM=OBsin∠OBM=4×＝2.

故选B.

点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．

6、C

【解析】

试题分析：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．

考点：1矩形；2平行线的性质.

7、B

【解析】

分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜1；故①错误。

当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误。

∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=1。故③正确。

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，

∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜1。故④正确。

综上所述，正确的结论有③④两个，故选B。

8、B

【解析】
根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101，根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在该页写的数.

【详解】

解：小昱所写的数为 1，3，5，1，…，101，…；阿帆所写的数为 1，8，15，22，…，

设小昱所写的第n个数为101，

根据题意得：101=1+（n-1）×2，

整理得：2（n-1）=100，即n-1=50，

解得：n=51，

则阿帆所写的第51个数为1+（51-1）×1=1+50×1=1+350=2．

故选B.

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．

9、B

【解析】

试题解析：x2-8x+15=0，

分解因式得：（x-3）（x-5）=0，

可得x-3=0或x-5=0，

解得：x1=3，x2=5，

若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=1；

若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，

综上，△ABC的周长为11或1．

故选B.

考点：1.解一元二次方程-因式分解法；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质．

10、D

【解析】
直线不经过第三象限，则经过第二、四象限或第一、二、四象限，当经过第二、四象限时，函数为正比例函数，k=0

当经过第一、二、四象限时， ,解得0<k<2，

综上所述，0≤k<2。故选D

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】
先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．

【详解】

解：原式=2×=1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握运算法则是关键．

12、20.

【解析】

分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算．

解答:连接AC,BD在Rt△ABD中，BD= ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10, ∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD,EF=BD=5,同理，FG∥BD,

FG=BD=5,GH∥AC,GH=AC=5, ∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长=5×4=20，故答案为20.

点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.

13、

【解析】

分析：易得整理后阴影部分面积为圆心角为110°，两个半径分别为4和1的圆环的面积．

详解：由旋转可得△ABC≌△A′BC′．∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，

∴BC=1cm，AC=1cm，∠A′BA=110°，∠CBC′=110°，

∴阴影部分面积=（S△A′BC′+S扇形BAA′）-S扇形BCC′-S△ABC=×（41-11）=4πcm1．

故答案为4π．

点睛：本题利用旋转前后的图形全等，直角三角形的性质，扇形的面积公式求解．

14、1

【解析】

∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°， 
∴∠A=∠C=1°， 
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， 
∴AD=BD， 
∴∠ABD=∠A=1°；
故答案是1．

15、

【解析】

试题分析：因为△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°

所以∠ABC=∠ACB=72°

因为BD平分∠ABC交AC于点D

所以∠ABD=∠CBD=36°=∠A

因为DE平分∠BDC交BC于点E

所以∠CDE=∠BDE=36°=∠A

所以AD=BD=BC

根据黄金三角形的性质知，

,，

所以

考点：黄金三角形

点评：黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，

16、

【解析】
因为A点的坐标为（a，a），则C（a﹣1，a﹣1），根据题意只要分别求出当A点或C点在曲线上时a的值即可得到答案.

【详解】

解：∵A点的坐标为（a，a），

∴C（a﹣1，a﹣1），

当C在双曲线y=时，则a﹣1=，

解得a=+1；

当A在双曲线y=时，则a=，

解得a=，

∴a的取值范围是≤a≤+1．

故答案为≤a≤+1．

【点睛】

本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于根据题意找到关键点，然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.

17、﹣2≤a＜﹣1．

【解析】
先确定不等式组的整数解，再求出a的范围即可．

【详解】

∵关于x的不等式组恰有3个整数解，

∴整数解为1，0，﹣1，

∴﹣2≤a＜﹣1，

故答案为：﹣2≤a＜﹣1．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和整数解确定a的取值范围是解此题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、﹣1．

【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

原式

=1﹣3+4﹣3，

=﹣1．

【点睛】

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

19、（1）50件；（2）120元．

【解析】
（1）设第一批购进文化衫x件，根据数量=总价÷单价结合第二批每件文化衫的进价比第一批每件文化衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据第二批购进的件数比第一批多40%，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其内的最小值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设第一批购进文化衫x件，

根据题意得： +10=，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

答：第一批购进文化衫50件；

（2）第二批购进文化衫（1+40%）×50=70（件），

设该服装店销售该品牌文化衫每件的售价为y元，

根据题意得：（50+70）y﹣4000﹣6300≥4100，

解得：y≥120，

答：该服装店销售该品牌文化衫每件最低售价为120元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

20、（1）50人；（2）补全图形见解析，表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为108°；（3）.

【解析】

分析：(1)、根据B的人数和百分比得出样本容量；(2)、根据总人数求出C组的人数，根据A组的人数占总人数的百分比得出扇形的圆心角度数；(3)、根据题意列出树状图，从而得出概率．

详解：（1）被调查的总人数为19÷38%=50人；

（2）C组的人数为50﹣（15+19+4）=12（人），

补全图形如下：

表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为360°×=108°；

（3）画树状图如下，

共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个， ∴P（恰好选中甲）=.

点睛：本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型．理解频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键．

21、 (1)300；(2)见解析；(3)108°；(4)约有840名.

【解析】
（1）根据A种类人数及其占总人数百分比可得答案；
（2）用总人数乘以B的百分比得出其人数，即可补全条形图；
（3）用360°乘以C类人数占总人数的比例可得；
（4）总人数乘以C、D两类人数占样本的比例可得答案．

【详解】

解：（1）本次被调查的学生的人数为69÷23%=300（人），
故答案为：300；
（2）喜欢B类校本课程的人数为300×20%=60（人），
补全条形图如下：

（3）扇形统计图中，C类所在扇形的圆心角的度数为360°×=108°，
故答案为：108°；
（4）∵2000×=840，
∴估计该校喜爱C，D两类校本课程的学生共有840名．

【点睛】

本题考查条形统计图、扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

22、见解析

【解析】
根据内接正四边形的作图方法画出图，保留作图痕迹即可.

【详解】

任作一条直径，再作该直径的中垂线，顺次连接圆上的四点即可.

【点睛】

此题重点考察学生对圆内接正四边形作图的应用，掌握圆内接正四边形的作图方法是解题的关键.

23、（1）y=2x﹣5，；（2）．

【解析】
试题分析：（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）用矩形面积减去周围三个小三角形的面积，即可求出三角形ABC面积．

试题解析：（1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，∴反比例解析式为，把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（，﹣4），把A与B坐标代入y=kx+b中得：，解得：k=2，b=﹣5，则一次函数解析式为y=2x﹣5；

（2）

如图，

S△ABC=

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数及其应用；反比例函数及其应用．

24、（1）48°（1）证明见解析（3）

【解析】
（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（1）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得 ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；
（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=1x-a，根据勾股定理列方程得：（1x-a）1=x1+a1，则a=x，代入面积公式可得结论．

【详解】

（1）连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠BCD=90°，

∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ACB=∠G=48°；

（1）∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，

由（1）得：∠G=∠ACB，

∴∠BCG=∠DAC，

∴，

∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，

∴，

∴，

∴∠BAD=1∠DAC，

∵∠COF=1∠DAC，

∴∠BAD=∠COF；

（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，

∵tan∠CAF== ，

∴AF=1x，

∵OC=OA，由（1）得：∠COF=∠OAG，

∵∠OFC=∠AGO=90°，

∴△COF≌△OAG，

∴OG=CF=x，AG=OF，

设OF=a，则OA=OC=1x﹣a，

Rt△COF中，CO1=CF1+OF1，

∴（1x﹣a）1=x1+a1，

a=x，

∴OF=AG=x，

∵OA=OB，OG⊥AB，

∴AB=1AG=x，

∴．

【点睛】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（1）根据外角的性质和圆的性质得：；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．