2022年广州中考数学模拟试卷3（含答案解析）

这是一份2022年广州中考数学模拟试卷3（含答案解析），共33页。试卷主要包含了2，则下列结论有等内容，欢迎下载使用。
2022年广州中考数学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•广陵区期末）下列实数中，属于有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2021秋•黄冈期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
3．（3分）（2019•株洲）关于x的分式方程﹣＝0的解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．（3分）（2019秋•长白县期末）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：
①a*b＝0，则a＝0且b＝0
②a*b＝b*a
③a*（b+c）＝a*b+a*c
④a*b＝（﹣a）*（﹣b）
正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）（2022春•江岸区校级月考）下列是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行
D．点到直线的距离就是这个点到这条直线所作的垂线段
6．（3分）（2021秋•九龙坡区期末）有4张正面分别标有数字﹣2、﹣3、0、3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．先将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为m，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，得到的数记为n，则使m+n＜0的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2020•立山区二模）如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　）

A．π B．π C．π D．π
8．（3分）（2018秋•满城区期末）对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（　　）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
9．（3分）（2022•坪山区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　）

A． B． C． D．2
10．（3分）（2021•方城县模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a和k的值分别为（　　）

A．a＝2.5，k＝5 B．a＝3，k＝6 C．a＝2，k＝4 D．a＝2，k＝6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•宁远县期末）若实数x，y满足等式：y＝﹣2，则xy＝　 　．
12．（3分）（2021•渭南模拟）方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　 　．
13．（3分）Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，若BD＝8cm，∠B＝15°，则AC＝　 　．
14．（3分）（2021•碑林区校级开学）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y＝上的三个点，若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3由大到小为 　 　．
15．（3分）（2021秋•厦门期末）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D．要使得⊙O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 　 　．（写出所有正确答案的序号）
①∠BAC＞60°；②45°＜∠ABC＜60°；③BD＞AB；④AB＜DE＜AB．
16．（3分）（2020秋•温州期中）如图，BC是半径为5的圆的直径，点A是的中点，D，E在另外的半圆上，且＝，连接AD，DE分别交直径BC于点M，N，若CN＝2BM，则MN＝　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2021春•兴宁区校级月考）解下列方程组：．
18．（4分）（2021秋•黄埔区校级期中）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求证：AB＝CD．

19．（6分）（2021秋•阳新县期末）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
20．（6分）（2021•益阳模拟）芒果在海南是常见水果，品种很多，象牙芒、白玉芒、青皮芒、吕宋芒、鸡蛋芒、龙井大芒和秋芒等都为我国大陆稀有．芒果肉质细腻，气味香甜，口感适宜，含有丰富的维生素，有“热带果王”之称．某电商将海南A、B两村村民的特产“象牙芒”在抖音平台进行销售（每箱象牙芒规格一致），该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的象牙芒箱数用x表示，进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A村卖出的象牙芒箱数为400≤x＜500的数据有：400，490，420，420，430
B村卖出的象牙芒箱数为400≤x＜500的数据有：400，430，480，460
象牙芒箱数
x＜300
300≤x＜400
400≤x＜500
500≤x＜600
x≥600
A村
0
3
5
5
2
B村
1
a
4
5
b
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
A村
488
m
590
B村
474
460
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　．
（2）你认为A，B两村中哪个村的象牙芒卖得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）在该电商平台进行销售的A、B两村村民共210户，若该电商平台把每月的象牙芒销售量在x＜500范围内的村民列为重点扶贫对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点扶贫对象？
21．（8分）（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
22．（10分）（2021•广东模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）用尺规作图的方法，作出AB边的中垂线，交AB边于点E、BC边于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；
（2）连接AF，若∠BAD＝140°，求∠DAF的度数．

23．（10分）（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

24．（12分）（2020•嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

25．（12分）（2022•宜良县校级模拟）已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

（1）如图1，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图2，若PQ＝PC，求t的值；
（3）如图3，将△PQC沿BC翻折至△P'QC处，当t为何值时，四边形QPCP'为菱形？


2022年广州中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•广陵区期末）下列实数中，属于有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据有理数和无理数的定义判断即可．
【解答】解：A.是无理数，故A不符合题意；
B.是有理数，故B符合题意；
C.是无理数，故C不符合题意；
D.是无理数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•黄冈期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C三点将圆三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合，…，若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【考点】数轴．
【专题】数形结合；实数；运算能力；推理能力．
【分析】根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解．
【解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按A，B，C的顺序 排列：
A.2020÷3＝673…1，所以此时点A正好落在数轴上；
B.2021÷3＝673…2，所以此时点B正好落在数轴上；
C.2022÷3＝674，所以此时点C正好落在数轴上；
D.2023÷3＝674…1，所以此时点A正好落在数轴上．
故选：B．
【点评】本题主要考查数轴，找规律，找到圆的滚动规律是解题的关键．
3．（3分）（2019•株洲）关于x的分式方程﹣＝0的解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣6﹣5x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（3分）（2019秋•长白县期末）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：
①a*b＝0，则a＝0且b＝0
②a*b＝b*a
③a*（b+c）＝a*b+a*c
④a*b＝（﹣a）*（﹣b）
正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】完全平方公式；实数的运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据新定义的运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断．
【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，
∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，
∴a、b互为相反数，因此①不符合题意，
a*b＝（a+b）2，b*a＝（b+a）2，
因此②符合题意，
a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2，故③不符合题意，
∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）2，
∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，
∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）
故④符合题意，
因此正确的个数有2个，
故选：B．
【点评】考查完全平方公式的特点和应用，新定义一种运算关键是转化为常见的运算进行计算即可．
5．（3分）（2022春•江岸区校级月考）下列是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行
D．点到直线的距离就是这个点到这条直线所作的垂线段
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】利用平行线的性质及判定、平行线的定义、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、平面内不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
D、点到直线的距离就是这个点到这条直线所作的垂线段的长度，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定、平行线的定义、点到直线的距离的定义等知识，难度不大．
6．（3分）（2021秋•九龙坡区期末）有4张正面分别标有数字﹣2、﹣3、0、3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．先将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为m，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，得到的数记为n，则使m+n＜0的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中使m+n＜0的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中使m+n＜0的结果有6种，
∴使m+n＜0的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2020•立山区二模）如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　）

A．π B．π C．π D．π
【考点】弧长的计算；切线的性质；正多边形和圆．
【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．
【解答】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180＝540°，
则正五边形ABCDE的一个内角＝＝108°；
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠OAB＝∠OCB＝108°﹣90°＝18°，
∴∠AOC＝144°
所以劣弧AC的长度为＝π．
故选：B．

【点评】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中．
8．（3分）（2018秋•满城区期末）对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（　　）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【分析】画出抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．
【解答】解：由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），
如图所示：

∵m为整数，
由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，作出函数的图象是解题的关键．
9．（3分）（2022•坪山区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　）

A． B． C． D．2
【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由勾股定理求出AC的长，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AF于点H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∵tan∠ACB＝＝3，
设CD＝x，
∴AD＝3x，
∴BC＝3x+x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝1，AD＝3，
∴AC＝＝＝，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝32，
∴a＝，
∴AH＝，
∴AF＝2AH＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．（3分）（2021•方城县模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a和k的值分别为（　　）

A．a＝2.5，k＝5 B．a＝3，k＝6 C．a＝2，k＝4 D．a＝2，k＝6
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】根据矩形性质得出AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，即可得出点C的坐标，则矩形平移后A的坐标是（2，6﹣a），C的坐标是（6，4﹣a），得出k＝2（6﹣a）＝6（4﹣a），求出a，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出k．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∴B（2，4），C（6，4），
∴矩形平移后A的坐标是（2，6﹣a），C的坐标是（6，4﹣a），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴k＝2（6﹣a）＝6（4﹣a），
解得a＝3，
∴矩形平移后A的坐标是（2，3），
∴k＝2×3＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•宁远县期末）若实数x，y满足等式：y＝﹣2，则xy＝　﹣4　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得：x＝2，
则y＝﹣2，
∴xy＝2×（﹣2）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）（2021•渭南模拟）方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　x1＝﹣1，x2＝2　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，若BD＝8cm，∠B＝15°，则AC＝　4cm　．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由线段AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，E为垂足，根据线段垂直平分线的性质，可求得DB＝AD，继而求得∠DAE＝∠B＝15°，则可求得∠ADC的度数，然后由含30°的直角三角形的性质，求得答案．
【解答】解：如图，连接AD，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝8cm，
∴∠DAE＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAE+∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AD＝4（cm）．
故答案为：4cm．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质．注意求得∠ADC＝30°是关键．
14．（3分）（2021•碑林区校级开学）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y＝上的三个点，若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3由大到小为 　y2＜y1＜y3　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4．
∵m＞0，
∴反比例函数y＝的图象在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，且第三象限的值总比第一象限的值小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（3分）（2021秋•厦门期末）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D．要使得⊙O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 　②④　．（写出所有正确答案的序号）
①∠BAC＞60°；②45°＜∠ABC＜60°；③BD＞AB；④AB＜DE＜AB．
【考点】圆周角定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】结合等腰三角形的性质及圆周角定理对所给条件逐个进行分析判断．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，
①当∠BAC＞60°时，若∠BAC＝90°时，此时点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；
②当∠ABC≤45°时，点E与点A重合，不符合题意，
当∠ABC≥60°时，点E与点O不关于AD对称，
当45°＜∠ABC＜60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；
③当AB≤BD＜AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；
④AB＜DE＜AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；
故答案为：②④．
【点评】本题考查了圆周角定理，理解等腰三角形的性质，确定符合题意的∠BAC和∠ABC的临界点是正确判断的关键．
16．（3分）（2020秋•温州期中）如图，BC是半径为5的圆的直径，点A是的中点，D，E在另外的半圆上，且＝，连接AD，DE分别交直径BC于点M，N，若CN＝2BM，则MN＝　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
【专题】数学建模思想；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】由BC是圆的直径，再由A是弧BC中点，可以先证明△ABC是等腰直角三角形，由于，可以证明∠DAE＝∠ACB＝45°，由于∠BAC＝90°，则∠BAM+∠CAN＝45°，此题是一个“90°夹45°角”的模型，将△ABM绕A点逆时针旋转90°至△ACR，再证△AMN≌△ARN，设BM＝x，在直角△CRN中，利用勾股定理列出方程，即可解决．
【解答】解：∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵点A是的中点，
∴，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵，
∴∠DAE＝∠ACB＝∠ABC＝45°，
如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴将△ABM绕A点逆时针旋转90°至△ACR，
∴△ABM≌△ACR，
∴∠ACR＝∠ABM＝45°，AM＝AR，∠BAM＝∠CAR，BM＝CR，
∴∠NCR＝∠ACB+∠ACR＝90°，
连接NR，
∴∠RAN＝∠CAR+∠CAN＝∠BAM+CAN＝90°﹣∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠RAN，
在△AMN与△ARN中，
，
∴△AMN≌△ARN，
∴MN＝NR，
设BM＝x，则CR＝BM＝x，
∵CN＝2BM，
∴CN＝2x，
∴NR＝MN＝BC﹣BM﹣CN＝10﹣x﹣2x＝10﹣3x，
在Rt△NCR中，
CN2+CR2＝NR2，
∴x2+4x2＝（10﹣3x）2，
∴或x＝，
∵MN＝10﹣3x＞0，
∴MN＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，利用勾股定理列方程的思想，解题的关键是在于挖掘出“∠BAC中夹了一个45°的角∠DAE“这个条件，此模型辅助线就是旋转三角形，另外，AB＝AC，且AB，AC共顶点，由共顶点的等线段，也要联想到旋转，这些都是本题的解题突破口．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2021春•兴宁区校级月考）解下列方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程组利用加减消元法解答即可．
【解答】解：原方程组可化为：，
②﹣①得，7y＝7，
解得，y＝1，
把y＝1代入①得，x＝﹣2，
所以原方程组的解为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法两种方法，两种方法的目的都是把方程中的一个未知数消去，转化为一元一次方程来求解．
18．（4分）（2021秋•黄埔区校级期中）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠1＝∠2，求证：AB＝CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【分析】由∠1＝∠2知∠AOB＝∠COD，再结合OA＝OC、OB＝OD，利用“SAS”判定△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AOD＝∠2+∠AOD，即∠AOB＝∠COD，
在△AOB和△COD中，
∵，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19．（6分）（2021秋•阳新县期末）先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝（﹣）•
＝•﹣•
＝﹣
＝
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
∴x＝3，
∴原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20．（6分）（2021•益阳模拟）芒果在海南是常见水果，品种很多，象牙芒、白玉芒、青皮芒、吕宋芒、鸡蛋芒、龙井大芒和秋芒等都为我国大陆稀有．芒果肉质细腻，气味香甜，口感适宜，含有丰富的维生素，有“热带果王”之称．某电商将海南A、B两村村民的特产“象牙芒”在抖音平台进行销售（每箱象牙芒规格一致），该电商平台从A、B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的象牙芒箱数用x表示，进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A村卖出的象牙芒箱数为400≤x＜500的数据有：400，490，420，420，430
B村卖出的象牙芒箱数为400≤x＜500的数据有：400，430，480，460
象牙芒箱数
x＜300
300≤x＜400
400≤x＜500
500≤x＜600
x≥600
A村
0
3
5
5
2
B村
1
a
4
5
b
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
A村
488
m
590
B村
474
460
560
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中a＝　4　，b＝　1　，m＝　490　．
（2）你认为A，B两村中哪个村的象牙芒卖得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
（3）在该电商平台进行销售的A、B两村村民共210户，若该电商平台把每月的象牙芒销售量在x＜500范围内的村民列为重点扶贫对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点扶贫对象？
【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据频数统计，中位数、众数的意义求解即可；
（2）从平均数、中位数、众数比较得出答案；
（3）求出每月的象牙芒销售量在x＜500范围内的村民所占得百分比即可．
【解答】解：（1）将A村的15户销售箱数从小到大排列，处在中间位置的一个数是490，因此中位数是490，即m＝490，
由于B村的中位数是460，因此有1+a+3＝8，解得a＝4，则b＝5﹣4＝1，
故答案为：4，1，490；
（2）A村较好，理由为：A村的平均数、中位数、众数均比B村的高；
（3）210×＝119（户），
答：两村共有119户村民会被列为重点扶贫对象．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、频数分布表，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确解答的前提．
21．（8分）（2021•广州）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，
依题意得：31+2x+x＝100，
解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
依题意得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3＝30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）（2021•广东模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．
（1）用尺规作图的方法，作出AB边的中垂线，交AB边于点E、BC边于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；
（2）连接AF，若∠BAD＝140°，求∠DAF的度数．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；
（2）先利用平行四边形的性质和平行线的性质求出∠B＝40°，再根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，则∠FAB＝∠B＝40°，然后计算∠DAB﹣∠FAB即可．
【解答】解：（1）如图，EF为所作；

（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∴∠B＝180°﹣140°＝40°，
∵EF垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠B＝40°，
∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAB＝140°﹣40°＝100°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
23．（10分）（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】代数几何综合题；与圆有关的计算；图形的相似；几何直观；推理能力．
【分析】（1）点M是AB的中点，则点M（1，4），则圆的半径AM＝＝，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，即可求解；
（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵点M是AB的中点，则点M（1，4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；

（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3，5）、（5，3）；

（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5，0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上所述，OP为5或10或．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质、一次函数的性质、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（12分）（2020•嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；二次函数的应用；运算能力；推理能力；模型思想；应用意识．
【分析】（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；
（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m；
②东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，证明△MPN∽△NHE，得出，则NH＝5MP．分不同情况：（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，分别求出t的范围可得出答案．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），
把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．
（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，
化简得（x﹣0.4）2＝0.36，
解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，
∴OD＝1m．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．
由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．

当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．
当h1﹣h2＝0时，t＝0.65（s），
东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，
设MD＝h1，NF＝h2，
当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，

∴MD∥NF，PN∥EG，
∴∠M＝∠HNE，∠MNP＝∠NEH，
∴△MPN∽△NHE，
∴，
∵PN＝0.5，HE＝2.5，
∴NH＝5MP．
（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，
MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，
NH＝2.2﹣1.3＝0.9．
∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，
整理得（t﹣0.5）2＝0.16，
解得（舍去），（s），
当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，
∴．
（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，
NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，
∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），
整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，
解得，（舍去），（s），
当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，
∴．
（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．
综上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解．
25．（12分）（2022•宜良县校级模拟）已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

（1）如图1，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图2，若PQ＝PC，求t的值；
（3）如图3，将△PQC沿BC翻折至△P'QC处，当t为何值时，四边形QPCP'为菱形？

【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【分析】（1）先由勾股定理求出BA的长，若PQ⊥BC，则PQ∥AC，根据平行线分线段成比例定理得＝，根据这一相等关系列方程求出t的值即可；
（2）作PR⊥BC于点R，由PQ＝PC，根据等腰三角形的“三线合一”得QR＝CR＝CQ＝（6﹣t），则BR＝t+（6﹣t）＝3+t，因为PR∥BC，＝，根据这一相等关系列方程求出t的值即可；
（3）由翻折得P′Q＝PQ，P′C＝PC，当PP＝PC时，则P′Q＝P′C＝PQ＝PC，此时四边形QPCP'为菱形，由（2）得t＝2，所以当t的值为2时，四边形QPCP'为菱形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，
∴BA＝＝＝6（cm），
∴AP＝t，BQ＝t，
∵BP＝6﹣t，
∴PQ⊥BC，
∴∠PQB＝∠ACB＝90°，
∴PQ∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝3，
∴t的值为3．
（2）如图2，作PR⊥BC于点R，
∵PQ＝PC，
∴QR＝CR＝CQ＝（6﹣t），
∴BR＝t+（6﹣t）＝3+t，
∵∠PRB＝∠ACB＝90°，
∴PR∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝2，
∴t的值为2．
（3）如图3，由翻折得P′Q＝PQ，P′C＝PC，
当PP＝PC时，则P′Q＝P′C＝PQ＝PC，
∴四边形QPCP'是菱形，
由（2）得，此时t＝2，
∴当t的值为2时，四边形QPCP'为菱形．



【点评】此题考查平行线分线段成比例定理、等腰直角直角形的性质、菱形的判定、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解的关键．