2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第二章 §2.8　函数的图象

§2.8　函数的图象考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．知识梳理1．利用描点法作函数图象的方法步骤2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y＝f(x)eq \o(―――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,01，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(00且a≠1)eq \o(――――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(4)翻折变换①y＝f(x)eq \o(――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq \o(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．常用结论1．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．2．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　×　)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　×　)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　×　)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　×　)教材改编题1．下列图象是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是(　　)答案　C解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．2．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.答案　e－x＋1解析　f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－20部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分．图①　　　　　　　图②(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.思维升华　图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．跟踪训练1　作出下列函数的图象：(1)y＝eq \f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x＋3|.解　(1)y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．题型二　函数图象的识别例2　(1)(2022·百师联盟联考)函数f(x)＝eq \f(x·cos x,e|x|)的图象大致为(　　)答案　D解析　由题意知，f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(－x·cos－x,e|－x|)＝eq \f(－x·cos x,e|x|)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除C；f(1)＝eq \f(cos 1,e)>0，排除A；f(2)＝eq \f(2cos 2,e2)<0，排除B.(2)(2022·泉州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex－1－1，x≤1，,log2x，x>1，))则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)答案　B解析　函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex－1－1，x≤1，,log2x，x>1，))所以y＝g(x)＝f(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(e－x－1，x≥0，,log21－x，x<0，))所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故选项A，C错误；当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，故选项D错误，选项B正确．教师备选(2022·长春模拟)函数f(x)＝cos πx＋ln|2x|的大致图象是(　　)答案　C解析　因为f(x)＝cos πx＋ln|2x|(x≠0)，所以f(－x)＝cos(－πx)＋ln|－2x|＝cos πx＋ln|2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；f(1)＝cos π＋ln 2＝－1＋ln 2<0，故排除选项B；f(2)＝cos 2π＋ln 4＝1＋2ln 2>0，故排除选项D.思维升华　识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．跟踪训练2　(1)函数f(x)＝eq \f(3x－3－x,x4)的大致图象为(　　)答案　B解析　易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝eq \f(3－x－3x,－x4)＝－eq \f(3x－3－x,x4)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－eq \f(1,3)＝eq \f(8,3)>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合．(2)如图可能是下列哪个函数的图象(　　)A．y＝2x－x2－1B．y＝eq \f(2xsin x,4x＋1)C．y＝(x2－2x)exD．y＝eq \f(x,ln x)答案　C解析　函数的定义域为R，排除D；当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－eq \f(3,2)<0，排除A；B中，当sin x＝0时，y＝0，∴y＝eq \f(2x·sin x,4x＋1)有无数个零点，排除B.题型三　函数图象的应用命题点1　研究函数的性质例3　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案　C解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．命题点2　函数图象在不等式中的应用例4　若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝logax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．答案　(1,2]解析　如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝logax的图象．由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝logax的图象的下方，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>1，,loga2≥1，))解得10，))若方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，1]解析　方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f(x)＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f(x)＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点．因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－x，x≤0，,log2x－x，x>0，))所以y＝f(x)＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,log2x，x>0，))作出函数y＝f(x)＋x与y＝－x＋a的大致图象如图所示．数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)＋2x－a有两个不同的零点．教师备选已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________________．答案　(－2，－1)∪(1,2)解析　∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．当x∈(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)．思维升华　当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．答案　(1，＋∞)解析　函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．答案　(－1,0)∪(1，eq \r(2)]解析　由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，eq \r(2)]．课时精练1．函数f(x)＝eq \f(sin 3x,ln|x|)的图象大致是(　　)答案　A解析　根据题意，函数f(x)＝eq \f(sin 3x,ln|x|)，其定义域为{x|x≠0且x≠±1}，有f(－x)＝－eq \f(sin 3x,ln|x|)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除B，D，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq \f(sin \f(π,2),ln \f(π,6))<0，所以排除C.2．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案　C解析　∵y＝lg eq \f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，∴y＝lg xeq \o(――――――――――→,\s\up7(向左平移3个单位长度　))y＝lg(x＋3)eq \o(――――――――――→,\s\up7(向下平移1个单位长度　))y＝lg(x＋3)－1.3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是(　　)A．f(x)＝(4x－4－x)|x|B．f(x)＝(4x－4－x)log2|x|C．f(x)＝eq \f(4x＋4－x,|x|)D．f(x)＝(4x＋4－x)log2|x|答案　D解析　由图知，f(x)为偶函数，故排除A，B；对于C，f(x)>0不符合图象，故排除C；对于D，f(－x)＝(4x＋4－x)log2|x|＝f(x)为偶函数，且在区间(0,1)上，f(x)<0，符合题意．4．(2022·沈阳质检)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(5,4) C．－1 D．－2答案　C解析　∵f(－1)＝0，∴ln(－1＋a)＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点(－1,3)，∴2×(－1)＋b＝3，∴b＝5，∴f(－3)＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.5．(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(　　)图①　　　　　　　　图②A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)答案　B解析　观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|)．6．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)答案　B解析　方法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．方法二　由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数f(x)＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.7．(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值答案　AC解析　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．8．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－e－x＋1，x<0，))方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增C．当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根D．当m∈(－1,0)时，方程有3个不同的实数根答案　BC解析　对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，显然函数f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(3,2)对称；对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图，对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根；对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根．9．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．答案　(－4,2)解析　y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，故y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)．10．若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.答案　1解析　f(x)＝eq \f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)，关于点(1，a)对称，故a＝1.11．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))则对任意x1，x2∈R，若x2>0>x1>－x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．答案　f(x1)x1>－x2，∴f(x1)0,00，n>1C．m<0,01答案　B解析　令f(x)＝0，得emx＝n，即mx＝ln n，解得x＝eq \f(1,m)ln n，由图象知x＝eq \f(1,m)ln n>0，当m>0时，n>1，当m<0时，0