2022天津河北区高三下学期一模考试数学试题含答案

河北区2021－2022学年度高三年级总复习质量检测（一）

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.

第Ⅰ卷（选择题共45分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么

球的表面积公式

球的体积公式其中表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，，则集合（）

A B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的()

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知， ， ，则（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.则根据直方图这400名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）

A. 60 B. 90 C. 130 D. 150

5. 函数的图像大致为（）

A B.

C D.

6. 一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）

A.  B.

C.  D.

8. 已知双曲线的离心率为，为坐标原点，过右焦点的直线与的两条渐近线的交点分别为、，且为直角三角形，若，则的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.

3.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.

10. 是虚数单位，则的值为__________.

11. 在的展开式中，的系数等于__．

12. 袋子中有5个大小相同小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______.

13. 经过点的直线被圆：截得的弦长为，则直线的方程为__________.

14. 已知，，且，则的最大值为__________.

15. 已知是边长为2的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为_______．

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在中，内角，，对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

18. 如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面的夹角的余弦值.

20. 设数列的前项和，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列前n项和为，求；

（3）利用第二问结果，设是整数，问是否存在正整数n，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

21. 已知椭圆：的一个顶点恰好是抛物线：的焦点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明是等腰三角形.

23. 已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求的值；

（3）证明：.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】D

【10题答案】

【答案】1

【11题答案】

【答案】7

【12题答案】

【答案】    ①. ##0.3    ②. ##0.5

【13题答案】

【答案】或

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

∵，

由正弦定理得，，

化简得.

由余弦定理得，.

又，∴.

【小问2详解】

由，得.

∴，.

∴

【18题答案】

【小问1详解】

∵，为的中点，∴.

又，，平面，平面，

∴平面，∴.

又，，平面，平面，

∴平面.

【小问2详解】

由（1）可知平面.又.

以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，.

∴.

设平面的法向量为.

∵，，

∴即

不妨取，得.

设直线与平面所成的角为，

则.

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【小问3详解】

设平面的法向量为.

∵，，

∴即

取，得.

设平面与平面的夹角为，如图示，平面与平面的夹角为锐角（或直角），

则

∴平面与平面的夹角的余弦值为.

【20题答案】

【答案】（1）;（2）（3）当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.

【详解】（1）令n＝1得，；当n时，，

所以

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

.

（3）若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数,   ∴必是的因数,  ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立

【21题答案】

【小问1详解】

由题意得，抛物线的焦点坐标为，

∴.

∵，又，

解得.

∴椭圆的方程为.

【小问2详解】

证明：（2）由（1）可得，，，，

直线的方程为.

直线的方程为.

设直线的方程为（，且）.

由消去，整理得.

∵，

∴，即.

∴，.

∴直线的方程为.

由得.

由得.

∴轴.

又的中点的坐标为，

∴轴.∴的中线.

故是等腰三角形.

【23题答案】

【详解】（1）函数的定义域为

由，当时，，

当时，令，则；令，则

所以当时，函数在单调递增

当时，函数在单调递减，在单调递增

（2）由
，所以，即

令，则，所以

由（1）可知，当时，在单调递增，

所以，所以

（3）

，

容易判断在单调递减，且由（2）可知，，则

所以若，；若，

所以可知函数在单调递增，在单调递减

所以，，又，

所以，所以