2022岳阳高三下学期教学质量监测（三）数学试题含答案

岳阳市2022届高三教学质量监测（三）

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数为虚数单位），则（    ）

A.      B.        C.        D.

2.（    ）

A.        B.       C.     D.

3.已知，则（    ）

A.     B.     C.     D.

4.“直线与直线没有公共点”是“”的（    ）

A.充分不必要条件               B.必要不充分条件

C.充分必要条件                 D.既不充分也不必要条件

5.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中指出：“绿水青山就是金山银山，良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量为P（单位：毫升/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物（    ）

A.5%       B.3%          C.2%         D.1%

6.在2022年卡塔尔世界杯足球赛小组赛中，甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环赛（即每两支球队中都要且只能比赛一场），每场比赛的计分方法是：胜者记3分，负者记0分，平局两队各记1分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲队6分，乙队5分，丙队4分，丁队1分，则（    ）

A.甲胜乙   B.乙胜丙      C.乙平丁     D.丙平丁

7.已知圆＝1经过坐标原点，则圆上的点到直线的距离的最大值为（    ）

A.        B.        C.      D.

8.已知双曲线的两个焦点分别为，点M，N在C上，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A.     B.       C.      D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.若函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列关于函数的说法中，错误的是（    ）

A.数）的图象关于直线对称    

B.函数）的图象关于点（对称

C.函数）的单调递增区间为 

D.函数）是偶函数

10.已知随机变量密度函数若，则（    ）

A.                B.在上是增函数  

C.                    D.

11.已知则（    ）

A.                      B.   

C.        D.

12.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，，F是垂足，G在BD上，DG＝2BG，则下列结论正确的是（    ）

A.    

B.直线DE与直线AG所成角的余弦值为

C.直线DE与平面ABCD所成角余弦值为  

D.若平面AFG平面ABE＝l，则

三、填空题：每小题5分，共20分．

13.已知是两个单位向量，，则       ．

14.过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为           ．

15.已知函数，若，使得，则的值为       ．

16.在梯形ABCD中，，将沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D－ABC，则三棱锥D－ABC体积的最大值为            ；此时该三棱锥的外接球的表面积为           ．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共六个小题，共70分．

17.（本题满分10分）

在中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

（1）若，求的面积；

（2）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由．

18. （本题满分12分）

已知数列的前n项和为，且，        ．请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和，求证：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19. （本题满分12分）

如图，在三棱柱中，平面ABC，，，且D为线段AB的中点．

（1）证明：

（2）若到直线AC的距离为，求二面角的余弦值．

20. （本题满分12分）

2022年北京冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）、109个小项．某高中学校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别相关，在高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的联表：

    已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中．

  （1）完成联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；

（2）从上述喜欢冰雪运动的学生中采用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人，调查其喜欢的冰雪运动小项目，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：

其中

21. （本题满分12分）

已知函数

（1） 若，求a的值；

（2） 当时，从下面①和②两个结论中任选其一进行证明：

①

②

22. （本题满分12分）

在圆上任取点，过点作轴的垂线，是垂足，点满足：．

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点的轨迹交于、两点，点是点关于轴的对称点，试在轴上找一定点，使、、三点共线，并求与面积之比的取值范围．

2022届岳阳市高考数学模拟试题

参考答案

三、填空题

13.    14.或    15. 78     16.    5

四、解答题：

17.（1）解：由，得，

因为，即．

又因为，所以．

在△ABC中，由正弦定理，

所以， ．

所以

．

（2）不成立，理由如下：

假设，由余弦定理，，即

，

所以，因为，所以，

解得：或－2（舍），此时．

不满足，所以假设不成立．

18. （1）解：因为，所以，即，

所以数列{}是首项为，公差为1的等差数列，其公差

若选①，由，得，即，

所以，解得，

所以，即数列{}的通项公式为；

若选②，由，，成等比数列，得，

则，所以，

所以；

若选③，因为，

所以，所以，

所以；

（2）解：由题可知，所以①，

所以②，

两式相减得

所以

所以，又，

所以{}是递增数列，，故．

19.（1）证明：因为在三棱柱中，⊥平面ABC，AB平面ABC，所以⊥BC． 又，，所以，从而

因为，所以BC⊥平面

又平面，所以．

（2）过点B作交AC于H，连，

因为在三棱柱中，⊥平面ABC，所以⊥平面ABC，而AB平面ABC，

故．又，所以AC⊥平面．

因为平面，所以，即为点到直线AC的距离．

又，，所以，

由⊥平面ABC知，，又由（1）知，从而以B为坐标原点，分别以，BC所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示．由题设知C（0，0，2），D（，0，0），（2，4，0），（0，4，0）

设平面又的法向量，则

令，则

同理可得平面的一个法向量为

则，由图知二面角为钝角．

故二面角的余弦值为－．

20.（1）由题设可知，从200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，故喜欢冰雪运动的学生有160人，不喜欢冰雪运动的有人，故a＝100，b＝60，c＝20，d＝20，得到如下的2×2联表：

故没有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关．

（2）按分层抽样，设抽取女生x名，男生y名，则，解得，，即抽取的喜欢冰雪运动8人中女生有3人，男生有5人．故X的可能取值为0，1，2，3

；；；

从而X的分布列如下：

21.（1） 由得，又

当时，恒成立，所以f（x）在R上为单调递减函数，又由，故当

时，这与矛盾，故此时结论不成立．

当时，令，得，从而当时，f（x）为单调递减函数，当

时，f（x）为单调递增函数，故有为f（x）的极小值，又且，故，，经检验结论成立．

综上：．

（2）选择①作答：

当，时，

设：

当时，，，又由（1）知，故；

当时，，设，

则，即：h（x）在（1，＋∞）上单调递增，

，所以在（1，＋∞）上单调递增，．

综上：当时，

选择②作答：

当，时，

设：

当时，故；

当时，，设，

则，即：h（x）在（1，＋∞）上单调递增，

，所以在（1，＋∞）上单调递增，．

综上：当时，

22.解（1）设M（x，y）， P（，）则，，，

由可得，所以，

因为点P（，）在圆上，所以，

所以，所以，即点M的轨迹方程为．

（2） 若，则点M的轨迹为椭圆，设直线l：

代入椭圆方程整理得：，

，

设A（，），B（，）则C（，－），则，

直线BC的方程为：，

令得

所以在x轴上存在定点，使B、C、N三点共线，

，令，

因为，，

所以，

又因为，

所以，所以，即，

解得：，