2022年苏州市昆山市市级名校中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．若代数式，，则M与N的大小关系是（   ）

A． B． C． D．

2．对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是10元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m1．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/m1，根据题意列方程，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC的大小是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

5．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（   ）．

A． B． C． D．

6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（　　）

A．1 B． C．2 D．

7．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是(    )

A． B． C． D．

8．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（    ）

A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处

9．如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（    ）

A． B． C． D．

10．的值为（ ）

A． B．- C．9 D．-9

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为      cm．

12．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．

13．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．

14．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则的值为_____．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．

16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是CB边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连结EF、FC、CE．若AD＝2，∠CFE＝90°，则CE＝_____．

17．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是      ．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．

19．（5分）菱形的边长为5，两条对角线、相交于点，且，的长分别是关于的方程的两根，求的值．

20．（8分）先化简，再求值：（x﹣3）÷（﹣1），其中x=﹣1．

21．（10分）已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．

（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；

（2）若E是弧AB的中点，求证：；

（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．

22．（10分）为了进一步改善环境,郑州市今年增加了绿色自行车的数量,已知A型号的自行车比B型号的自行车的单价低30元,买8辆A型号的自行车与买7辆B型号的自行车所花费用相同. 

(1)A,B两种型号的自行车的单价分别是多少? 

(2)若购买A,B两种自行车共600辆,且A型号自行车的数量不多于B型号自行车的一半,请你给出一种最省钱的方案,并求出该方案所需要的费用.

23．（12分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．

（I）AC的长等于_____．

（II）若AC边与网格线的交点为P，请找出两条过点P的直线来三等分△ABC的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的_____（不要求证明）．

24．（14分）当=，b=2时，求代数式的值．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

∵，

∴，

∴.

故选C.

2、C

【解析】

判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可：

∵a=1，b=，c=，

∴．

∴此方程有两个不相等的实数根．故选C．

3、A

【解析】

解：设去年居民用水价格为x元/cm1，根据题意列方程：

，故选A．

4、C

【解析】

连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C．

5、D

【解析】

从正面看，共2列，左边是1个正方形，

右边是2个正方形，且下齐．

故选D.

6、B

【解析】
连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．

【详解】

解：连接AG、GE、EC，

则四边形ACEG为正方形，故=．

故选：B．

【点睛】

本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键．

7、C

【解析】

△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

解：（1）当0＜x≤1时，如图，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；

∵MN⊥AC，

∴MN∥BD；

∴△AMN∽△ABD，

∴=，

即，=，MN=x；

∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），

∵＞0，

∴函数图象开口向上；

（2）当1＜x＜2，如图，

同理证得，△CDB∽△CNM，=，

即=，MN=2-x；

∴y=

AP×MN=x×（2-x），

y=-x2+x；

∵-＜0，

∴函数图象开口向下；

综上答案C的图象大致符合．

故选C．

本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．

8、D

【解析】

如图：

∵AB=5,, ∴D=4, ∵, ∴,∴AC=4,

∵在RT△AD中，D,AD=8, ∴A=,故答案为D.

9、C

【解析】
先根据俯视图判断出几何体的形状，再根据主视图是从正面看画出图形即可．

【详解】

解：由俯视图可知，几何体共有两排，前面一排从左到右分别是1个和2个小正方体搭成两个长方体，
后面一排分别有2个、3个、1个小正方体搭成三个长方体，
并且这两排右齐，故从正面看到的视图为：

．
故选：C．

【点睛】

本题考查几何体三视图，熟记三视图的概念并判断出物体的排列方式是解题的关键．

10、A

【解析】

【分析】根据绝对值的意义进行求解即可得.

【详解】表示的是的绝对值，

数轴上表示的点到原点的距离是，即的绝对值是，

所以的值为 ，

故选A.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，

∵AC为切线，

∴OC⊥AC，

在△AOC中，∵OA=2，OC=1，

∴∠OAC=30°，∠AOC=60°，

在Rt△AOD中，∵∠DAO=30°，

∴OD=OA=，

在Rt△BDP中，∵∠BDP=∠ADO=60°，

∴DP=BD=（2-）=1-，

在Rt△DPN中，∵∠PDN=30°，

∴PN=DP=-，

而MN=OD=，

∴PM=PN+MN=1-+=，

即P点纵坐标的最大值为．

【点睛】

本题是圆的综合题，先求出OD的长度，最后根据两点之间线段最短求出PN+MN的值．

12、1

【解析】
由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．

【详解】

解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，

∴d＝R﹣r＝5﹣2＝1cm，

故答案为1．

【点睛】

此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

13、1

【解析】

分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．

详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，

故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=1．

故答案为1．

点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．

14、1．

【解析】

试题分析：∵，是方程的两实数根，∴由韦达定理，知，，∴===1，即的值是1．故答案为1．

考点：根与系数的关系．

15、1．

【解析】

试题分析：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB===13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．

考点：旋转的性质．

16、

【解析】
根据直角三角形的中点性质结合勾股定理解答即可.

【详解】

解：，点F是AD的中点，

.

故答案为： .

【点睛】

此题重点考查学生对勾股定理的理解。熟练掌握勾股定理是解题的关键.

17、

【解析】
试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即.

考点：概率

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）相切；（2）．

【解析】

试题分析：（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．

试题解析：（1）MN是⊙O切线．

理由：连接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，

∴∠BCM=∠BOC，

∵∠B=90°，

∴∠BOC+∠BCO=90°，

∴∠BCM+∠BCO=90°，

∴OC⊥MN，

∴MN是⊙O切线．

（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，

∴∠AOC=120°，

在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，

∴BO=OC=2，BC=2

∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=．

考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．

19、．

【解析】
由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−(2m−1)，AO∙BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，即可求得m的值．

【详解】

解：∵，的长分别是关于的方程的两根，

设方程的两根为和，可令，，

∵四边形是菱形，

∴，

在中：由勾股定理得：，

∴，则，

由根与系数的关系得：，，

∴，

整理得：，

解得：，

又∵，

∴，解得，

∴．

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

20、﹣x+1，2．

【解析】
先将括号内的分式通分，再将乘方转化为乘法，约分，最后代入数值求解即可.

【详解】

原式=（x﹣2）÷（﹣）

=（x﹣2）÷

=（x﹣2）•

=﹣x+1，

当x=﹣1时，原式=1+1=2．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.

21、（2）；（2）详见解析；（2）当是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．

【解析】
（2）先求出OCOB=2，设OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=2求出x，即可得出结论；

（2）先判断出，进而得出∠CBE=∠BCE，再判断出△OBE∽△EBC，即可得出结论；

（3）分两种情况：①当CD=CE时，判断出四边形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，建立方程求解即可；

②当CD=DE时，判断出∠DAE=∠DEA，再判断出∠OAE=OEA，进而得出∠DEA=∠OEA，即：点D和点O重合，即可得出结论．

【详解】

（2）∵C是半径OB中点，∴OCOB=2．

∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD．设OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．

在Rt△OCD中，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=2，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；

（2）如图2，连接AE，CE．

∵DE是AC垂直平分线，∴AE=CE．

∵E是弧AB的中点，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．

连接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．

∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BO•BC；

（3）△DCE是以CD为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：

①当CD=CE时．

∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四边形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，设菱形的边长为a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；

②当CD=DE时．

∵DE是AC垂直平分线，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．

连接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴点D和点O重合，此时，点C和点B重合，∴CD=2．

综上所述：当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解答本题的关键．

22、（1）A型自行车的单价为210元,B型自行车的单价为240元.(2) 最省钱的方案是购买A型自行车200辆,B型自行车的400辆,总费用为138000元.

【解析】

分析：（1）设A型自行车的单价为x元，B型自行车的单价为y元，构建方程组即可解决问题．

（2）设购买A型自行车a辆，B型自行车的（600-a）辆．总费用为w元．构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题．

详解：(1)设A型自行车的单价为x元,B型自行车的单价为y元, 

由题意, 

解得, 

型自行车的单价为210元,B型自行车的单价为240元. 

(2)设购买A型自行车a辆,B型自行车的辆.总费用为w元. 

由题意, 

, 

随a的增大而减小, 

, 

, 

∴当时,w有最小值,最小值, 

∴最省钱的方案是购买A型自行车200辆,B型自行车的400辆,总费用为138000元.

点睛：本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程组或一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．

23、     作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′   

【解析】
（1）根据勾股定理计算即可；

（2）利用平行线等分线段定理即可解决问题.

【详解】

（I）AC==，

故答案为：；

（II）如图直线l1，直线l2即为所求；

理由：∵a∥b∥c∥d，且a与b，b与c，c与d之间的距离相等，

∴CP=PP′=P′A，

∴S△BCP=S△ABP′=S△ABC．

故答案为作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24、,6﹣3．

【解析】

原式=

=，

当a=，b=2时，

原式．