还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月）
成套系列资料，整套一键下载
江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月）+数学+Word版含答案练习题
展开
这是一份江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月）+数学+Word版含答案练习题，共11页。
2022届高三年级模拟试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2022．5
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝( )
A. {－1，0} B. {0，1} C. {－1，0，1} D. ∅
2. 已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝4－3i，则|z|＝( )
A. B. C. D.
3. 为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为( )
A. 9 B. 18 C. 24 D. 27
4. 函数f(x)＝(x－)cos x的部分图象大致是( )
5. 我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1).当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg 5≈0.698 97，则5100是( )
A. 71位数 B. 70位数 C. 69位数 D. 68位数
6. 在(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n).若f(0，1)＋f(1，0)＝8，则a的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象与y轴的交点为M(0，1)与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最小正周期为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知函数f(x)＝若∀x≥1，f(x＋2m)＋mf(x)>0，则实数m的取值范围是( )
A. (－1，＋∞) B. (－，＋∞) C. (0，＋∞) D. (－，1)
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设P＝a＋，a∈R，则下列说法正确的是( )
A. P≥2
B. “a>1”，是“P≥2”的充分不必要条件
C. “P>3”是“a>2”的必要不充分条件
D. ∃a∈(3，＋∞)，使得P<3
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若a≠0，则点O在圆C外
B. 圆C与x轴相切
C. 若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1
D. 点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( )
A. 事件B与事件C互斥 B. P(A)＝
C. 事件A与事件B独立 D. 记C的对立事件为，则P(B|)＝
12. 在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，AB＝AD＝，则下列说法正确的是( )
A. BE∥平面PAC
B. PA⊥平面PBC
C. 在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为
D. 记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当cos θ∈(0，)时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量与向量n＝(3，2)的数量积为________．
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式：an＝________．
① 数列{an}是无穷等比数列；② 数列{an}不单调；③ 数列{|an|}单调递减．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为________．
16. 19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性，根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为________；若P10(n)＝P10(1)，k∈N*，k≤9，则k的值为________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin C＝c cos A＋c.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝b，＝，求sin∠ADC.
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2.
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．
① a3＝3a1；② {}为等差数列；③ an＋2－an＝2.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19. (本小题满分12分)
如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E.以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°(如图②).
(1) 求证：PE⊥CD；
(2) 若点F在线段PC上，且二面角FADC的大小为30°，求三棱锥FACD的体积．
20. (本小题满分12分)
空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：
空气质量指数AQI
空气质量等级
[0，50]
优
(50，100]
良
(100，150]
轻度污染
(150，200]
中度污染
(200，300]
重度污染
(300，＋∞)
严重污染
下列频数分布表是某场馆记录了一个月(30天)的情况：
空气质量指数AQI
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
频数/天
3
6
15
6
(1) 利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)
(2) 如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周(7天)中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；(参考数据：0.77≈0.082 4，结果精确到0.01)
(3) 为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：
更换滤芯数量/个
3
4
5
概率
0.2
0.3
0.5
已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n(n≥8，且n∈N*)个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．(不考虑往年剩余滤芯和下一年需求)
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，g(x)＝xex－，e为自然对数的底数．
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 记函数g(x)在(0，＋∞)上的最小值为m，求证：e
22. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．
(1) 若点A的坐标为(1，)，求AP的长；
(2) 若AB＝2AP，求点P的坐标．
2022届高三年级模拟试卷(南京三模)
数学参考答案及评分标准
1. A 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. D 8. B 9. BC 10. ABD 11. BCD 12. BD
13. －1 14. (－)n(答案不唯一，只要等比数列的公比满足－1＜q＜0)
15. 16. lg 5
17. 解：(1) 在△ABC中，＝.由a sin C＝c cos A＋c，得sin A sin C＝sin C cos A＋sin C．(2分)
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A＝cos A＋1，即sin (A－)＝.
因为A∈(0，π)，所以A－∈(－，)，所以A－＝，所以A＝.(4分)
(2) 如图，在△ABC中，(b)2＝c2＋b2－2bc cos ，即c2－bc－6b2＝0，
解得c＝3b或c＝－2b(舍去).(6分)
因为＝，所以AD＝4b，BD＝b.
在△ACD中，CD2＝b2＋(4b)2－2b×4b cos ＝13b2，得CD＝b.(8分)
因为＝，所以sin ∠ADC＝＝＝.(10分)
18. 解：若条件选①②.
(解法1)因为{}为等差数列，所以2×＝S1＋，(2分)
即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3.
因为a2＝2，所以a1＋a3＝4.(4分)
因为a3＝3a1，解得a1＝1.(6分)
因为－S1＝－1＝，所以{}是首项为1，公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝，即Sn＝.(8分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n.(10分)
因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n，n∈N*，
所以an＋2－an＝n＋2－n＝2.
综上，①②Þ③成立．(12分)
(解法2)因为{}为等差数列，可设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，(2分)
所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b.
因为a3＝3a1，所以a＝b.(i)(4分)
因为a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2.(ii)(6分)
由(i)(ii)，得a＝b＝，所以Sn＝n2＋n.(8分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n.(10分)
因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n，n∈N*，所以an＋2－an＝n＋2－n＝2，所以①②Symbol^C@③成立．(12分)
若条件选①③.
由an＋2－an＝2，得a3－a1＝2.因为a3＝3a1，所以a1＝1，a3＝3.(4分)
因为an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列．
因此，当n为奇数时，an＝1＋(－1)×2＝n；(6分)
当n为偶数时，an＝2＋(－1)×2＝n；所以an＝n，n∈N*.(8分)
所以an＋1－an＝n＋1－n＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以Sn＝，从而＝.(10分)
因为－＝－＝，所以{}为等差数列，所以①③Þ②成立．(12分)
若条件选②③.
(解法1)因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2.(i)(2分)
因为{}为等差数列，所以2×＝S1＋，(4分)
即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3.(8分)
因为a2＝2，所以a1＋a3＝4.(ii)(10分)
由(i)(ii)，得a1＝1，a3＝3，所以a3＝3a1.
所以②③Þ①成立．(12分)
(解法2)因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2.(i)(2分)
因为{}为等差数列，设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，(4分)
所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b，
所以a3－a1＝4a.(ii)(6分)
由(i)(ii)，得a＝.(8分)
又a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2，所以b＝.(10分)
所以a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，满足a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)
(解法3)因为{}为等差数列，所以设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn.(2分)
于是an＝＝＝2an－a＋b.(6分)
因为an＋2－an＝2，所以4a＝2，得a＝.(8分)
又a2＝3a＋b＝2，所以b＝.(10分)
从而a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，所以a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)
19. 解：(1) (解法1)在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE.
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°，即平面PAE⊥平面AECD.(2分)
又因为平面PAE∩平面AECD＝AE，PE⊂平面PAE，所以PE⊥平面AECD.
因为CD⊂平面AECD，所以PE⊥CD.(4分)
(解法2)在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE，AE⊥CE，
所以∠PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角．
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°，所以∠PEC＝90°，即PE⊥CE.(2分)
又PE⊥AE，AE∩CE＝E，AE⊂平面AECD，CE⊂平面AECD，所以PE⊥平面AECD.
因为CD⊂平面AECD，所以PE⊥CD.(4分)
(2) (解法1)由(1)得PE⊥平面AECD，AE⊥EC，
故以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系．
易得A(1，0，0)，C(0，2，0)，D(1，3，0)，P(0，0，)，
所以＝(0，2，－)，＝(－1，0，)，＝(0，3，0).(5分)
设＝λ＝(0，2λ，－λ)，λ∈[0，1]，
则＝＋＝(－1，2λ，－λ).(6分)
设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，得x＝－λ，则平面FAD的一个法向量为n＝(－λ，0，1).(8分)
又因为平面AECD的一个法向量为m＝(0，0，1)，且二面角FDAC的大小为30°，
所以|cos 〈m，n〉|＝＝||＝，
整理得9λ2－18λ＋8＝0，即(3λ－2)(3λ－4)＝0，
解得λ＝或λ＝(舍去)，故＝.(10分)
因为S△ACD＝×3×1＝，
所以VFACD＝VPACD＝S△ACD×PE＝.(12分)
(解法2)在△PEC中，过F作FG∥EC，交PE于点G.
因为EC∥AD，所以FG∥AD，因此A，D，F，G共面．
在平行四边形ABCD中，易知AD⊥AE.
由(1)得PE⊥平面AECD，
因为AD⊂平面AECD，所以AD⊥PE.
又PE∩AE＝E，AE，PE⊂平面PAE，所以AD⊥平面PAE.
因为AG⊂平面PAE，所以AD⊥AG.
所以∠GAE为二面角FADC的平面角，所以∠GAE＝30°.(8分)
在Rt△AEG中，∠AEG＝90°，∠GAE＝30°，AE＝1，所以EG＝.(10分)
因为FG∥AD，FG⊄平面AECD，AD⊂平面AECD，所以FG∥平面AECD.
因此VFACD＝VGACD＝×(×3×1)×＝.(12分)
20. 解：(1) 该场馆平均AQI的值为×(25×3＋75×6＋125×15＋175×6)＝×(1×3＋3×6＋5×15＋7×6)＝115.(2分)
(2) 该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为＝0.3.(3分)
设未来7天中空气质量等级达到“优或良”的天数为ξ，则ξ～B(7，0.3).(4分)
于是P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－(1－0.3)7－C(1－0.3)6×0.3＝1－0.77－7×0.76×0.3＝1－4×0.77≈0.67，所以未来7天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.67.(6分)
(3) 设2套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为Y，则Y的可能取值为6，7，8，9，10.(7分)
因为2套净化系统相互独立，所以P(Y＝9)＝0.3×0.5＋0.5×0.3＝0.3；P(Y＝10)＝0.5×0.5＝0.25；(9分)
若促销期购买8个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为8＋0.3×2＋0.25×4＝9.6千元；
若促销期购买9个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为9＋0.25×2＝9.5千元；
若促销期购买不少于10个滤芯，则一年更换滤芯所需的费用不低于10千元，
因为10＞9.6＞9.5，所以每年在促销期购买9个滤芯最合理．(12分)
21. (1) 解：由f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，得f′(x)＝(x2＋x)ex.(2分)
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0.
因为当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1，0).(4分)
(2) 证明：g(x)＝xex－＝(1－)ex＋，x＞0，所以g′(x)＝[(x2－x＋1)ex－3]＝.
由(1)得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝e－3＜0，f(2)＝3e2－3＞0，且f(x)的图象不间断，
所以存在唯一x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，即g′(x0)＝0，即(x－x0＋1)ex0－3＝0 (*).(6分)
所以当x∈(0，x0)时，f(x)＜0，即g′(x)＜0，所以g(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，
因此m＝g(x)min＝g(x0)＝ (**).(8分)
由(*)式得ex0＝，代入(**)式得m＝＝.
因为x0∈(1，2)，且函数y＝在(1，2)上单调递减，
所以m＝∈(2，3).下面只需证明m>e.(10分)
(证法1)由(*)式得(x0－1)ex0＝xex0－3，代入(**)式得m＝＝x0ex0.
因为x0∈(1，2)，且函数y＝xex在(1，2)上单调递增，所以m＝x0ex0＞e.(12分)
(证法2)因为x(ex－1)≥0，所以xex≥x，所以(x－1)ex－1≥x－1，
所以(x－1)ex≥e(x－1)(当且仅当x＝1时取等号).
所以g(x)＝(1－)ex＋≥＞e，所以m＝g(x)min＞e.
综上，e＜m＜3.(12分)
22. 解：(1) (解法1)由y＝x2，得y′＝x，所以A处切线的斜率为，(2分)
所以切线PA的方程为y－＝(x－1)，即y＝x－.
联立方程组解得x＝，y＝，即P(，)，(3分)
所以AP＝|1－|＝.(4分)
(解法2)设切线PA的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx－k＋.
联立方程组消元y，得x2－4kx＋(4k－1)＝0.
由Δ＝16k2－4(4k－1)＝0，解得k＝，所以切线PA的方程为y＝x－.(2分)
联立方程组解得x＝，y＝，即P(，)，(3分)
所以AP＝|1－|＝.(4分)
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，t－5)，则y1＝x，y2＝x.
由y＝x2，得y′＝x，所以A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1).
将P(t，t－5)代入，得t－5－y1＝x1(t－x1)，即x－2tx1＋4(t－5)＝0.(6分)
同理可得x－2tx2＋4(t－5)＝0.
所以x1，x2是方程x2－2tx＋4(t－5)＝0的两个解，
故x1＋x2＝2t ①，x1x2＝4(t－5) ②，(7分)
所以直线AB的斜率k＝＝＝t.
由AB＝2AP，得|x1－x2|＝2|x1－t|，(9分)
由①得|x1－x2|＝2|x1－t|，所以＝，化简得x＝t2.
因为x1≠t，所以x1＝－t ③.(11分)
由①②③，得3t2＋4t－20＝0，解得t1＝2，t2＝－.
所以点P的坐标为(2，－3)或(－，－).(12分)
2022届高三年级模拟试卷
数 学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
2022．5
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝( )
A. {－1，0} B. {0，1} C. {－1，0，1} D. ∅
2. 已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝4－3i，则|z|＝( )
A. B. C. D.
3. 为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为( )
A. 9 B. 18 C. 24 D. 27
4. 函数f(x)＝(x－)cos x的部分图象大致是( )
5. 我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1).当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg 5≈0.698 97，则5100是( )
A. 71位数 B. 70位数 C. 69位数 D. 68位数
6. 在(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n).若f(0，1)＋f(1，0)＝8，则a的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象与y轴的交点为M(0，1)与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C.若△OBC的面积为3(其中O为坐标原点)，则函数f(x)的最小正周期为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知函数f(x)＝若∀x≥1，f(x＋2m)＋mf(x)>0，则实数m的取值范围是( )
A. (－1，＋∞) B. (－，＋∞) C. (0，＋∞) D. (－，1)
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设P＝a＋，a∈R，则下列说法正确的是( )
A. P≥2
B. “a>1”，是“P≥2”的充分不必要条件
C. “P>3”是“a>2”的必要不充分条件
D. ∃a∈(3，＋∞)，使得P<3
10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若a≠0，则点O在圆C外
B. 圆C与x轴相切
C. 若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1
D. 点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
11. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则( )
A. 事件B与事件C互斥 B. P(A)＝
C. 事件A与事件B独立 D. 记C的对立事件为，则P(B|)＝
12. 在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，AB＝AD＝，则下列说法正确的是( )
A. BE∥平面PAC
B. PA⊥平面PBC
C. 在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为
D. 记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当cos θ∈(0，)时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量与向量n＝(3，2)的数量积为________．
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的数列{an}的通项公式：an＝________．
① 数列{an}是无穷等比数列；② 数列{an}不单调；③ 数列{|an|}单调递减．
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为________．
16. 19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性，根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为________；若P10(n)＝P10(1)，k∈N*，k≤9，则k的值为________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin C＝c cos A＋c.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝b，＝，求sin∠ADC.
18. (本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2.
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．
① a3＝3a1；② {}为等差数列；③ an＋2－an＝2.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19. (本小题满分12分)
如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E.以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°(如图②).
(1) 求证：PE⊥CD；
(2) 若点F在线段PC上，且二面角FADC的大小为30°，求三棱锥FACD的体积．
20. (本小题满分12分)
空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：
空气质量指数AQI
空气质量等级
[0，50]
优
(50，100]
良
(100，150]
轻度污染
(150，200]
中度污染
(200，300]
重度污染
(300，＋∞)
严重污染
下列频数分布表是某场馆记录了一个月(30天)的情况：
空气质量指数AQI
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
频数/天
3
6
15
6
(1) 利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)
(2) 如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周(7天)中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；(参考数据：0.77≈0.082 4，结果精确到0.01)
(3) 为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：
更换滤芯数量/个
3
4
5
概率
0.2
0.3
0.5
已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n(n≥8，且n∈N*)个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由．(不考虑往年剩余滤芯和下一年需求)
21. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，g(x)＝xex－，e为自然对数的底数．
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 记函数g(x)在(0，＋∞)上的最小值为m，求证：e
22. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．
(1) 若点A的坐标为(1，)，求AP的长；
(2) 若AB＝2AP，求点P的坐标．
2022届高三年级模拟试卷(南京三模)
数学参考答案及评分标准
1. A 2. D 3. B 4. C 5. B 6. C 7. D 8. B 9. BC 10. ABD 11. BCD 12. BD
13. －1 14. (－)n(答案不唯一，只要等比数列的公比满足－1＜q＜0)
15. 16. lg 5
17. 解：(1) 在△ABC中，＝.由a sin C＝c cos A＋c，得sin A sin C＝sin C cos A＋sin C．(2分)
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A＝cos A＋1，即sin (A－)＝.
因为A∈(0，π)，所以A－∈(－，)，所以A－＝，所以A＝.(4分)
(2) 如图，在△ABC中，(b)2＝c2＋b2－2bc cos ，即c2－bc－6b2＝0，
解得c＝3b或c＝－2b(舍去).(6分)
因为＝，所以AD＝4b，BD＝b.
在△ACD中，CD2＝b2＋(4b)2－2b×4b cos ＝13b2，得CD＝b.(8分)
因为＝，所以sin ∠ADC＝＝＝.(10分)
18. 解：若条件选①②.
(解法1)因为{}为等差数列，所以2×＝S1＋，(2分)
即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3.
因为a2＝2，所以a1＋a3＝4.(4分)
因为a3＝3a1，解得a1＝1.(6分)
因为－S1＝－1＝，所以{}是首项为1，公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝，即Sn＝.(8分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n.(10分)
因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n，n∈N*，
所以an＋2－an＝n＋2－n＝2.
综上，①②Þ③成立．(12分)
(解法2)因为{}为等差数列，可设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，(2分)
所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b.
因为a3＝3a1，所以a＝b.(i)(4分)
因为a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2.(ii)(6分)
由(i)(ii)，得a＝b＝，所以Sn＝n2＋n.(8分)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n.(10分)
因为a1＝1满足an＝n，所以an＝n，n∈N*，所以an＋2－an＝n＋2－n＝2，所以①②Symbol^C@③成立．(12分)
若条件选①③.
由an＋2－an＝2，得a3－a1＝2.因为a3＝3a1，所以a1＝1，a3＝3.(4分)
因为an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列．
因此，当n为奇数时，an＝1＋(－1)×2＝n；(6分)
当n为偶数时，an＝2＋(－1)×2＝n；所以an＝n，n∈N*.(8分)
所以an＋1－an＝n＋1－n＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以Sn＝，从而＝.(10分)
因为－＝－＝，所以{}为等差数列，所以①③Þ②成立．(12分)
若条件选②③.
(解法1)因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2.(i)(2分)
因为{}为等差数列，所以2×＝S1＋，(4分)
即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3.(8分)
因为a2＝2，所以a1＋a3＝4.(ii)(10分)
由(i)(ii)，得a1＝1，a3＝3，所以a3＝3a1.
所以②③Þ①成立．(12分)
(解法2)因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2.(i)(2分)
因为{}为等差数列，设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，(4分)
所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b，
所以a3－a1＝4a.(ii)(6分)
由(i)(ii)，得a＝.(8分)
又a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2，所以b＝.(10分)
所以a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，满足a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)
(解法3)因为{}为等差数列，所以设＝an＋b，得Sn＝an2＋bn.(2分)
于是an＝＝＝2an－a＋b.(6分)
因为an＋2－an＝2，所以4a＝2，得a＝.(8分)
又a2＝3a＋b＝2，所以b＝.(10分)
从而a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，所以a3＝3a1.所以②③Þ①成立．(12分)
19. 解：(1) (解法1)在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE.
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°，即平面PAE⊥平面AECD.(2分)
又因为平面PAE∩平面AECD＝AE，PE⊂平面PAE，所以PE⊥平面AECD.
因为CD⊂平面AECD，所以PE⊥CD.(4分)
(解法2)在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE，AE⊥CE，
所以∠PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角．
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90°，所以∠PEC＝90°，即PE⊥CE.(2分)
又PE⊥AE，AE∩CE＝E，AE⊂平面AECD，CE⊂平面AECD，所以PE⊥平面AECD.
因为CD⊂平面AECD，所以PE⊥CD.(4分)
(2) (解法1)由(1)得PE⊥平面AECD，AE⊥EC，
故以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系．
易得A(1，0，0)，C(0，2，0)，D(1，3，0)，P(0，0，)，
所以＝(0，2，－)，＝(－1，0，)，＝(0，3，0).(5分)
设＝λ＝(0，2λ，－λ)，λ∈[0，1]，
则＝＋＝(－1，2λ，－λ).(6分)
设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，得x＝－λ，则平面FAD的一个法向量为n＝(－λ，0，1).(8分)
又因为平面AECD的一个法向量为m＝(0，0，1)，且二面角FDAC的大小为30°，
所以|cos 〈m，n〉|＝＝||＝，
整理得9λ2－18λ＋8＝0，即(3λ－2)(3λ－4)＝0，
解得λ＝或λ＝(舍去)，故＝.(10分)
因为S△ACD＝×3×1＝，
所以VFACD＝VPACD＝S△ACD×PE＝.(12分)
(解法2)在△PEC中，过F作FG∥EC，交PE于点G.
因为EC∥AD，所以FG∥AD，因此A，D，F，G共面．
在平行四边形ABCD中，易知AD⊥AE.
由(1)得PE⊥平面AECD，
因为AD⊂平面AECD，所以AD⊥PE.
又PE∩AE＝E，AE，PE⊂平面PAE，所以AD⊥平面PAE.
因为AG⊂平面PAE，所以AD⊥AG.
所以∠GAE为二面角FADC的平面角，所以∠GAE＝30°.(8分)
在Rt△AEG中，∠AEG＝90°，∠GAE＝30°，AE＝1，所以EG＝.(10分)
因为FG∥AD，FG⊄平面AECD，AD⊂平面AECD，所以FG∥平面AECD.
因此VFACD＝VGACD＝×(×3×1)×＝.(12分)
20. 解：(1) 该场馆平均AQI的值为×(25×3＋75×6＋125×15＋175×6)＝×(1×3＋3×6＋5×15＋7×6)＝115.(2分)
(2) 该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为＝0.3.(3分)
设未来7天中空气质量等级达到“优或良”的天数为ξ，则ξ～B(7，0.3).(4分)
于是P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－(1－0.3)7－C(1－0.3)6×0.3＝1－0.77－7×0.76×0.3＝1－4×0.77≈0.67，所以未来7天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.67.(6分)
(3) 设2套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为Y，则Y的可能取值为6，7，8，9，10.(7分)
因为2套净化系统相互独立，所以P(Y＝9)＝0.3×0.5＋0.5×0.3＝0.3；P(Y＝10)＝0.5×0.5＝0.25；(9分)
若促销期购买8个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为8＋0.3×2＋0.25×4＝9.6千元；
若促销期购买9个滤芯，则一年更换滤芯所需费用的期望为9＋0.25×2＝9.5千元；
若促销期购买不少于10个滤芯，则一年更换滤芯所需的费用不低于10千元，
因为10＞9.6＞9.5，所以每年在促销期购买9个滤芯最合理．(12分)
21. (1) 解：由f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，得f′(x)＝(x2＋x)ex.(2分)
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0.
因为当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(－1，0).(4分)
(2) 证明：g(x)＝xex－＝(1－)ex＋，x＞0，所以g′(x)＝[(x2－x＋1)ex－3]＝.
由(1)得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝e－3＜0，f(2)＝3e2－3＞0，且f(x)的图象不间断，
所以存在唯一x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，即g′(x0)＝0，即(x－x0＋1)ex0－3＝0 (*).(6分)
所以当x∈(0，x0)时，f(x)＜0，即g′(x)＜0，所以g(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，f(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，
因此m＝g(x)min＝g(x0)＝ (**).(8分)
由(*)式得ex0＝，代入(**)式得m＝＝.
因为x0∈(1，2)，且函数y＝在(1，2)上单调递减，
所以m＝∈(2，3).下面只需证明m>e.(10分)
(证法1)由(*)式得(x0－1)ex0＝xex0－3，代入(**)式得m＝＝x0ex0.
因为x0∈(1，2)，且函数y＝xex在(1，2)上单调递增，所以m＝x0ex0＞e.(12分)
(证法2)因为x(ex－1)≥0，所以xex≥x，所以(x－1)ex－1≥x－1，
所以(x－1)ex≥e(x－1)(当且仅当x＝1时取等号).
所以g(x)＝(1－)ex＋≥＞e，所以m＝g(x)min＞e.
综上，e＜m＜3.(12分)
22. 解：(1) (解法1)由y＝x2，得y′＝x，所以A处切线的斜率为，(2分)
所以切线PA的方程为y－＝(x－1)，即y＝x－.
联立方程组解得x＝，y＝，即P(，)，(3分)
所以AP＝|1－|＝.(4分)
(解法2)设切线PA的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx－k＋.
联立方程组消元y，得x2－4kx＋(4k－1)＝0.
由Δ＝16k2－4(4k－1)＝0，解得k＝，所以切线PA的方程为y＝x－.(2分)
联立方程组解得x＝，y＝，即P(，)，(3分)
所以AP＝|1－|＝.(4分)
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，t－5)，则y1＝x，y2＝x.
由y＝x2，得y′＝x，所以A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1).
将P(t，t－5)代入，得t－5－y1＝x1(t－x1)，即x－2tx1＋4(t－5)＝0.(6分)
同理可得x－2tx2＋4(t－5)＝0.
所以x1，x2是方程x2－2tx＋4(t－5)＝0的两个解，
故x1＋x2＝2t ①，x1x2＝4(t－5) ②，(7分)
所以直线AB的斜率k＝＝＝t.
由AB＝2AP，得|x1－x2|＝2|x1－t|，(9分)
由①得|x1－x2|＝2|x1－t|，所以＝，化简得x＝t2.
因为x1≠t，所以x1＝－t ③.(11分)
由①②③，得3t2＋4t－20＝0，解得t1＝2，t2＝－.
所以点P的坐标为(2，－3)或(－，－).(12分)
相关试卷
江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月） 数学试卷： 这是一份江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月） 数学试卷，共11页。
江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月）+数学+Word版含答案练习题： 这是一份江苏省南京市2022届高三下学期第三次模拟考试（5月）+数学+Word版含答案练习题，共11页。
江苏省南京市2020届高三第三次模拟考试（6月） 数学 Word版含答案练习题： 这是一份江苏省南京市2020届高三第三次模拟考试（6月） 数学 Word版含答案练习题，共18页。
