2021泰州中学高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2021泰州中学高一下学期期末考试数学试题含答案，共19页。

江苏省泰州中学2020——2021 学年度第二学期期末考试
高一年级数学
一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂到答题卡相应区域.
1.若复数满足z（2-i）=11+7i （i为虚数单位）， 则Z=（　　）
A.3+5i B.3-5i C. -3+5i D. -3-5i
2.已知向量满足，， 则（　　）
A.3 B. C.7 D.
3.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个， 恰好抽到边缘方块的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为p1，p2，p3，p4且，若这组数据的中位数为6，则p4=（　　）
A.0.5 B. 0.4 C.0.2 D.0.1
5.已知空间三个平面a，β，γ，下列判断正确的是（ ）
A.若a⊥β，a⊥γ，则β//γ B.若a⊥β，a⊥γ，则β⊥γ
C.若a//β，a//γ， 则β⊥γ D.若a//β，a//γ，则β//γ
6.已知点A （3m，-m）是角a的终边上的一点，则.的值为（　　）
A. B. C. D.
7.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品。南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”。由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（　　）
A. B. C. D.
8.在矩形ABCD中，AB=3，BC=2， 设矩形所在平面内一点P满足，记，，，则（　　）
A.存在点P，使得 B.存在点P，使得
C.对任意点P，都有 D.对任意点P，都有
二、多项选择题∶本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请将答案填涂到答题卡相应区域。
9.下列命题为真命题的是（　　）
A.若z1，z2互为共轭复数，则为实数 B.若i为虚数单位，n为正整数，则
C.复数为-2-i的虚部为-1 D.复数的共轭复数为-2-i
10.在直角梯形ABCD中，CD//AB， AB⊥BC，CD=1， AB= BC=2， E为线段BC的中点，则（　　）
A. B.
C. D.
11.下列命题中是真命题的有
（　　）
A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B.在△ABC中，若sin2A=sin2B， 则△ABC是等腰三角形
C.在△ABC中，若acosB-bcosA=c，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若，，则cosC的值为或
12.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A， C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（　　）

A.圆锥SO的侧面积为
B.三棱锥S- ABC体积的最大值为
C.∠SAB 的取值范围是
D.若AB=BC，E为线段AB 上的动点，则SE +CE的最小值为
三、填空题∶本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上，
13.某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是 。
14.已知复数z满足|z-i|=1 （i是虚数单位）， 则的取值范围是_ 。
15.若，则sin（30° -2a）=. 。
16. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是_ 。

四、解答题∶本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 10分）
已知复数z1=a+3i，z2=2-ai（a∈R，i是虚数单位）.
（1）若，在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围∶
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根，求实数m的值
18. （本小题满分12分）
某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100] 共五组后，得到的频率分布表如下所示∶
组号
分组
频数
频率
第1组
[75，80）
①

第2组
[80，85）

0.300
第3组
[85，90）
30
②
第4组
[90，95）
20
0.200
第5组
[95，100]
10
0.100
合计

100
1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.
19. （本小题满分 12分）
已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面，E为B1C1的中点
（1）若G为的中点，求证∶；
（2）证明∶ //平面
20. （本小题满分 12分）
某地实行垃圾分类后，政府决定为A，B，C三个小区建造一座垃圾处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30°方向，M在B的北偏西30°方向，且在C的北偏西60°方向，小区A与B相距2km，B与C相距3km.
（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离∶（结果精确到小数点后两位）
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里λa元（0<λ <1） .现有两种运输湿垃圾的方案∶

方案1∶只用一辆大车运输，从M出发，依次经A，B，C再由C返回到M；
方案2∶先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后并各自返回到A、C，一辆大车从M直接到B再返回到M.试比较哪种方案更合算？请说明理由。（结果精确到小数点后两位，≈1.732，≈2.646）
21. （本小题满分12分）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2b+c= 2acosC且.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积∶
（3）若，求cos（2B- A）的值.
22. （本小题满分 12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD， PA=2.
（1）证明∶平面PBE⊥平面PAB；
（2）求点D到平面PBE的距离∶
（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.


江苏省泰州中学2020——2021 学年度第二学期期末考试
高一年级数学参考答案
一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂到答题卡相应区域.
1.若复数满足z（2-i）=11+7i （i为虚数单位）， 则Z=（　　）
A.3+5i B.3-5i C. -3+5i D. -3-5i
[答案] B
2.已知向量满足，， 则（　　）
A.3 B. C.7 D.
[答案] D
3.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个， 恰好抽到边缘方块的概率为（　　）
A. B. C. D.
[答案] C
4.在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为p1，p2，p3，p4且，若这组数据的中位数为6，则p4=（　　）
A.0.5 B. 0.4 C.0.2 D.0.1
[答案] A
5.已知空间三个平面a，β，γ，下列判断正确的是（ ）
A.若a⊥β，a⊥γ，则β//γ B.若a⊥β，a⊥γ，则β⊥γ
C.若a//β，a//γ， 则β⊥γ D.若a//β，a//γ，则β//γ
[答案] D
6.已知点A （3m，-m）是角a的终边上的一点，则.的值为（　　）
A. B. C. D.
[答案] B
7.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品。南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”。由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（　　）
A. B. C. D.
[答案] C
8.在矩形ABCD中，AB=3，BC=2， 设矩形所在平面内一点P满足，记，，，则（　　）
A.存在点P，使得 B.存在点P，使得
C.对任意点P，都有 D.对任意点P，都有
[答案] C
二、多项选择题∶本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请将答案填涂到答题卡相应区域。
9.下列命题为真命题的是（　　）
A.若z1，z2互为共轭复数，则为实数 B.若i为虚数单位，n为正整数，则
C.复数为-2-i的虚部为-1 D.复数的共轭复数为-2-i
[答案] AC
10.在直角梯形ABCD中，CD//AB， AB⊥BC，CD=1， AB= BC=2， E为线段BC的中点，则（　　）
A. B.
C. D.
[答案] ABD
11.下列命题中是真命题的有
（　　）
A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B.在△ABC中，若sin2A=sin2B， 则△ABC是等腰三角形
C.在△ABC中，若acosB-bcosA=c，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若，，则cosC的值为或
[答案] AC
12.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A， C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（　　）

A.圆锥SO的侧面积为
B.三棱锥S- ABC体积的最大值为
C.∠SAB 的取值范围是
D.若AB=BC，E为线段AB 上的动点，则SE +CE的最小值为
[答案] ABD
三、填空题∶本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上，
13.某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是 。
[答案] 40
14.已知复数z满足|z-i|=1 （i是虚数单位）， 则的取值范围是_ 。
[答案] [1，3]
15.若，则sin（30° -2a）=. 。
[答案]
16. 2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是_ 。

[答案]
[详解]
棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，所以该多面体的表面积为
四、解答题∶本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 10分）
已知复数z1=a+3i，z2=2-ai（a∈R，i是虚数单位）.
（1）若，在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围∶
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根，求实数m的值
[答案]
解∶（1）由题意得，，
因为在复平面内对应的点落在第一象限， 所以，解得......5分
（2）由得，即
，
所以，解得
18. （本小题满分12分）
某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100] 共五组后，得到的频率分布表如下所示∶
组号
分组
频数
频率
第1组
[75，80）
③

第2组
[80，85）

0.300
第3组
[85，90）
30
④
第4组
[90，95）
20
0.200
第5组
[95，100]
10
0.100
合计

100
1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率.
[答案]
解∶（1）第2组的频数为100×0.300= 30人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，....分
频率分布直方图如图所示，

（2） 因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为∶ ∶
第3组∶人，第4组∶人，第5组∶人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答.......分
设第3组的3位学生为，第4组的2位学生为，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有∶，
，共15种情况.
抽到的2位学生不同组的有∶，，共11种情况.
所以抽到的2位学生不同组的概率为
19. （本小题满分 12分）
已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面，E为B1C1的中点
（1）若G为的中点，求证∶；
（2）证明∶ //平面
[详解]
证明∶（1）∵侧棱CC1⊥底面，底面，
∴，

∵三棱柱中，，∴.
∵G为正三角形的边的中点，∴.
又平面平面， ∴ 平面
∵平面，∴.
（2）记，连EO.

∵三棱柱中，是平行四边形，AB1∩A1B=O，∴O为AB的中点，
又∵中，E为B1C1的中点，则EO//AC1.
∵平面A1EB， 平面，∴AC1//平面A1EB.
20. （本小题满分 12分）
某地实行垃圾分类后，政府决定为A，B，C三个小区建造一座垃圾处理站 M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30°方向，M在B的北偏西30°方向，且在C的北偏西60°方向，小区A与B相距2km，B与C相距3km.
（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离∶（结果精确到小数点后两位）
（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里λa元（0<λ <1） .现有两种运输湿垃圾的方案∶

方案1∶只用一辆大车运输，从M出发，依次经A，B，C再由C返回到M；
方案2∶先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后并各自返回到A、C，一辆大车从M直接到B再返回到M.试比较哪种方案更合算？请说明理由。（结果精确到小数点后两位，≈1.732，≈2.646）
[答案]
（1）在△MBC中，∠MBC=60°， ∠MCB=90°，BC=3，∴，
∴.
所以垃圾处理站M与小区C间的距离为5.20公里.............分
（2）在△MBC中，∠MBC=60°， ∠MCB=90°，BC=3，，所以MB=6.
又在中，∠MBA=60°， AB=2，
∴，∴
方案一费用∶ ，
方案二费用∶
当时，方案二合算，此时；
当时，方案一合算，此时；
综上，当时，方案二合算； 当时， 方案一合算.........分
21. （本小题满分12分）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2b+c= 2acosC且.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积∶
（3）若，求cos（2B- A）的值.
[答案]
解∶（1）∵2b+c=2acosC， A+B+C=π，则由正弦定理可得
2sin AcosC = 2sin B +sinC =2sin（A+C）+ sinC = 2sin AcosC + 2cos AsinC+sinC，
所以，sinC（2cosA+1）=0，∵00，可得，
∵0 （2）∵，△ABC的周长为，故，
由余弦定理可得， .
∴bc=1，
因此，△ABC 的面积为；
（3）由正弦定理可得，则，
∵b 所以，，；
因此，
22. （本小题满分 12分）
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD， PA=2.
（1）证明∶平面PBE⊥平面PAB；
（2）求点D到平面PBE的距离∶
（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.

[答案]
（1）证明∶连接BD.
由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60° ，可知△BCD是正三角形。∵E是CD的中点，∴BE⊥CD，又AB//CD，∴
∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥ BE.
又平面PAB，平面PAB， AB∩PA=A， ∴BE⊥ 平面PAB，
又平面PBE，∴平面 PBE⊥平面PAB；............分
（2）解∶∵PA⊥底面 ABCD，平面ABCD，∴PA⊥AB.又 PA=2， AB=1，∴
∵正三角形BCD中，BC=1， E是CD的中点，∴
∵BE⊥平面PAB，平面PAB，∴BE⊥PB，∴
∵，PA⊥底面ABCD，设点D到平面PBE的距离为d，
∴，而
∴，即点D到平面PBE的距离为.........分
（3）解∶延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线.
取AD中点H，连BH，过B作BILPF，垂足为I，连HI.
由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知△ABD是正三角形，∵H是AD的中点，∴. .
∵PA⊥ 底面ABCD，平面ABCD，∴.PA⊥ BH.
又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A，
∴BH⊥平面PAD，又平面PAD，∴.BH⊥PF，
又BI⊥PF，平面BHI，平面BHI， BH∩BI=B，
∵PF⊥平面BHI，而平面BHI，∴PF⊥HI， 则∠BIH为二面角B-PFA的一个平面角.
∵BH⊥平面PAD，平面PAD，∴BH⊥HI.
∵菱形ABCD中，DE//AB，， E为BF的中点，.
在Rt△PBF中，，，PB⊥BF， BI⊥PF，
∴，，又，
∴中，，，即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为。