2022年辽宁省沈阳七中中考数学模拟试卷（十）（含解析）

2022年辽宁省沈阳七中中考数学模拟试卷（十）

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列各数：，，，，其中比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为

A.
B.
C.
D.

3. 袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达亿亩，每年增产的粮食可以养活人将这个数用科学记数法可表示为，则的值是

A.  B.  C.  D.

4. 定义一种新的运算：如果则有，那么的值是

A.  B.  C.  D.

5. 有一个含的直角三角板的直角顶点落在矩形的边上，，点落在矩形内，交于点，，则的大小为

A.  B.  C.  D.

6. 杨倩是获得东京奥运会中国首金的选手，她的十米气步枪比赛的最后五枪的成绩如下单位：环，，，，，则这组数据的众数与中位数分别为

A. 环，环 B. 环，环
C. 环，环 D. 环，环

7. 如图，菱形中，，两个顶点在第一象限，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是

A.  B.  C.  D.

8. 反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则直线不经过的象限

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 下列事件中，为必然事件的是

A. 打开电视机，正在播放新闻
B. 掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上
C. 任意画一个四边形，其内角和是
D. 随机买一张电影票，座位号是偶数号

10. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 不等式组的解集为______．
12. 化简的结果是______．
13. 我国明代数学读本算法统宗一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托如果托为尺，那么索长为______ 尺
    其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，则绳索长几尺
14. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在轴上运动，连接，，则的面积为______．

15. 小明和小丽先后从地出发沿同一直道去地．设小丽出发第分钟时，小丽、小明离地的距离分别为米、米，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是小丽出发至小明到达地这段时间内，两人之间的最近距离为______米．
16. 如图，在菱形中，点，，，分别为，，，的中点，连接，，，，，且和的长是关于的一元二次方程的两根，，分别是边，上一点，将沿翻折得，将沿翻折得，且满足，，共线，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17. 计算：一．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在矩形中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点．
    
    求证：≌；
    连接，与相交于点，若的面积为，求矩形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，甲，乙两个转盘均被分成个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个转盘当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘，当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为，请用画树状图或列表法求点落在平面直角坐标系中第二象限内的概率．

20. 为庆祝建党周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从“北斗卫星”；“时代“；“东风快递”：“智轨快运”；“高铁”五个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
    本次共调查了______名学生；
    请将条形统计图补充完整；
    扇形统计图中，所占的百分比为______，所对应的圆心角的度数为______；
    若该校共有名学生，请估计选择的学生人数．

21. 某电商将进价为元的台灯在抖音上进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件，通过市场调查发现，这种台灯的售价每降低元，日销售量增加件．
    若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，这种台灯的售价应定为多少元？
    小明的线下实体商店也销售同款台灯，标价为每台元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过中的售价，则这种台灯至少需打几折销售？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，是的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，为的直径，连接．
    求证：∽；
    若，，，求的长．
     

23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点坐标为，点的坐标为，点在直线上，动点、同时从点出发，分别沿轴正方向和轴正方向运动，速度分别为每秒个单位和每秒个单位，点到达点时点、同时停止运动，过点做分别交，于点，，连接，设运动时间为秒．
    填空：______，的长为______；
    求证：四边形是平行四边形；
    点是线段上一动点点不与点、重合，当时，求的最大值；
    存在这样的直线，总能平分四边形的面积，请直接写出直线的解析式．

24. 如图，将等腰三角形沿着底边对折得到，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
    求证：四边形是菱形；
    当，时，求证：垂直平分；
    如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，，若，，则当______时，是等腰三角形．

25. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴相交于另一点，作直线．
    求抛物线的解析式；
    设点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，轴交直线于点，求周长的最大值；
    当周长取最大值时，点为直线上一动点，当，求所有满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
其中比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据题中的新定义得：



．
故选：．
利用题中的新定义计算即可得到结果．
此题考查了负整数指数幂以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，

四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
是的外角，，
．
故选：．
由矩形可得，则有，由平角的定义可求得，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】
 

【解析】解：将数据重新排列为、、、、，
所以这组数据的众数为环，中位数为环，
故选：．
根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
 

7.【答案】
 

【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，
则，
，
，
，
，
点的对应点的横坐标是，
故选：．
过点作轴于，过点作轴于，根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限，
，
，
直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据反比例函数的图象分别位于第一、三象限，可以得到，，然后根据一次函数的性质可以得到直线经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出的正负情况．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故A不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意画一个四边形，其内角和是，是必然事件，故C符合题意；
D、随机买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，不可能事件，必然事件的特点，判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：、由抛物线可知，，，，对称轴为直线，由直线可知，，，直线经过点，故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线，直线经过点，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线，直线经过点，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线，直线经过点，故本选项不符合题意；
故选：．
由二次函数的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数的图象得到的字母系数的正负以及与轴的交点相比较看是否一致．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设索长为尺，竿子长尺，
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
设索长为尺，竿子长尺，根据“索比竿子长尺，对折索子来量竿，却比竿子短尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：延长交轴于点，连接，，如图所示：

轴，
，轴，
点在双曲线上，点在双曲线上，
，，
，
的面积为，
故答案为：．
延长交轴于点，连接，，根据轴，可得，根据反比例函数的几何意义可求出和的面积，即可求出的面积．
本题考查了反比例函数的几何意义与两直线平行的位置关系，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设小丽出发第时，两人相距，
则，
当时，取得最小值，此时，
答：小丽出发第时，两人相距最近，最近距离是．
故答案为：．
根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小丽出发至小明到达地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：在菱形中，点，，，分别为，，，的中点，
四边形是矩形，
解一元二次方程得，或，
，，
是以为腰的等腰三角形，
，
设，则，
由翻折得：，
，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，
，
故答案为：．
根据题意得到四边形是矩形，解一元二次方程求得，，利用等腰三角形的性质得出，设，则，由翻折得：，从而得出，利用勾股定理求得，进而求得．
本题考查了解一元二次方程，矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想．得出是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
 

【解析】先算负整数指数幂、零指数幂，去绝对值，把特殊三角函数值代入，再算乘法，最后算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键式掌握负整数指数幂、零指数幂，去绝对值及特殊三角函数值等知识．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
；
为中点，
，
在与中，
，
≌；
解：四边形是矩形，
，，
∽，
，，
，
，
，，
的面积为，
，，
，
矩形的面积．
 

【解析】由平行线的性质得出，，进而可以证明≌；
由矩形的性质得出，，证明∽，由相似三角形的性质得出可以求出，则可得出答案．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 

19.【答案】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，点落在平面直角坐标系第二象限内的结果有种，
则点落在平面直角坐标系第二象限内的概率为．
 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，点落在平面直角坐标系第二象限内的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】   
 

【解析】解：名，
即本次共调查了名学生，
故答案为：；
选择的有名，
选择的有名，
补全的条形统计图如图所示；

扇形统计图中，所占的百分比为，
所对应的圆心角的度数为，
故答案为：，；
人，
答：选择的学生共有人．
根据选择的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数；
根据中的结果，可知选择、的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据选择的人数和调查的学生人数可得所占的百分比，再根据选择的人数，即可计算出扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出选择的学生共有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设这种台灯的售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：这种台灯的售价应定为元．
设这种台灯打折销售，
依题意得：，
解得：．
答：这种台灯至少需打八折销售．
 

【解析】设这种台灯的售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据日利润保持不变，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设这种台灯打折销售，根据打折后的销售价格不超过中的售价，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：∽，，，
，
，
，，
，
，
的长为．
 

【解析】连接，利用切线的性质可得，利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，以及同弧所对的圆周角相等可得，最后利用两角相等的两个三角形相似证明，即可解答；
利用的结论可得，从而可得，进而求出，，然后根据，求出，即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，垂径定理，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及切线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：在直线上，
，
过点作于，

，，
，
，
由勾股定理知：，
故答案为：，；
由题意可知，，，
设，
在直线上，
，
，
即，
，
设，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点在直线上，
，
解得，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
当时，由知，，，
点为线段上的一点，，
设，则，，


，
当时，取得最大值；
直线总能平分四边形的面积，
由知，四边形为平行四边形，
直线过的中点，
，，
，
令，，
，
直线的解析式为．
根据点在直线上求出的值，过点作于，利用勾股定理求出的长度即可；
求出直线的解析式，根据点的坐标求出，又即可证结论；
当时，求出点和点的坐标，设出点的坐标，利用二次函数的性质求出最值即可；
根据直线总能平分平行四边形的面积，则直线过平行四边形的中心点，根据中心点的坐标求出直线的解析式即可．
本题主要考查一次函数的综合知识，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，利用二次函数的性质求出最值，利用平行四边形的性质得出直线过定点等是解题的关键．
 

24.【答案】或或
 

【解析】证明：等腰三角形沿着底边对折得到，
，≌，
，，
，
四边形是菱形；

证明：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
垂直平分；

解：，
，
，
，
，
，
同理：，
∽，
，
是等腰三角形有三种情况：
当时，如图所示：

，，，
≌，
，
，
∽，
，
，
；
当时，如图所示：

则，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
≌，
；
当时，如图所示：

则，
∽，
，
，
∽，
，
；
综上所述，当为或或时，是等腰三角形．
故答案为：或或．
根据等腰三角形以及翻折的性质可得，即可得出结论；
由“”可证≌，根据全等三角形的性质得，，根据菱形的性质可得，则，由等腰三角形三线合一的性质可得垂直平分；
证∽，得，分三种情况：当时，当时，当时，根据相似三角形的性质进而求解即可．
本题是四边形综合题，考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：对，当时，，当时，，
，，
抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
对，
当时，，
解得：或，
点，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
是等腰直角三角形，，
轴，轴，
，，
是等腰直角三角形，
，，
设点，则，
，
，
当，即点的坐标为时，周长的最大值为；
由得，点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
或，
当时，，
解得：，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或
 

【解析】先求得点和点的坐标，然后代入抛物线解析式求得和的值，即可得到抛物线的解析式；
先求得直线的解析式，再设点，得到点和点的坐标，进而得到和，的长，然后求得的周长，最后用二次函数的性质求得周长的最大值；
先求得的面积，然后得在边上的高，即得点的纵坐标，再代入直线的解析式求得点的坐标即可．
本题考查了二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征求得点和点、点的坐标．