2022届广东省深圳市龙文教育重点中学中考数学仿真试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上一动点(不与点B、C重合),连接AP,作射线PD,使∠APD=60°,PD交AC于点D,已知AB=a,设CD=y,BP=x,则y与x函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为弧BD,则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C.- D.
3.3的相反数是( )
A.﹣3 B.3 C. D.﹣
4.有理数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )
A.a>﹣4 B.bd>0 C.|a|>|b| D.b+c>0
5.如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
6.下列实数中是无理数的是( )
A. B.π C. D.
7.在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE,BE分别交于点G、H.∠CBE=∠BAD,有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=AE2;④S△BEC=S△ADF.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.初三(1)班的座位表如图所示,如果如图所示建立平面直角坐标系,并且“过道也占一个位置”,例如小王所对应的坐标为(3,2),小芳的为(5,1),小明的为(10,2),那么小李所对应的坐标是( )
A.(6,3) B.(6,4) C.(7,4) D.(8,4)
9.计算36÷(﹣6)的结果等于( )
A.﹣6 B.﹣9 C.﹣30 D.6
10.下列各式中,互为相反数的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=45°,BC=4,以BC为直径的⊙O与AC相交于点O,则阴影部分的面积为_____.
12.已知a,b为两个连续的整数,且a<<b,则ba=_____.
13.点A(x1,y1)、B(x1,y1)在二次函数y=x1﹣4x﹣1的图象上,若当1<x1<1,3<x1<4时,则y1与y1的大小关系是y1_____y1.(用“>”、“<”、“=”填空)
14.已知:正方形 ABCD.
求作:正方形 ABCD 的外接圆.
作法:如图,
(1)分别连接 AC,BD,交于点 O;
(2)以点 O 为圆心,OA 长为半径作⊙O,⊙O 即为所求作的圆.
请回答:该作图的依据是__________________________________.
15.如图,小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2,B2,C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积,用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积…,由此可得,第8个正△A8B8C8的面积是_____.
16.如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A=52°,则∠1+∠2的度数为_______.
17.如图,已知CD是Rt△ABC的斜边上的高,其中AD=9cm,BD=4cm,那么CD等于_______cm.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,DE交AC于点E,且∠A=∠ADE.求证:DE是⊙O的切线;若AD=16,DE=10,求BC的长.
19.(5分)为了传承祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加,其中,有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无路”.
(1)小明回答该问题时,仅对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择,随机选择其中一个,则小明回答正确的概率是 ;
(2)小丽回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择,若分别随机选择,请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
九宫格
20.(8分)在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(-1,0)和点B(4,5).
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)求直线AB关于x轴对称的直线的函数表达式.
(3)点P是x轴上的动点,过点P作垂直于x轴的直线l,直线l与该抛物线交于点M,与直线AB交于点N.当PM < PN时,求点P的横坐标的取值范围.
21.(10分)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点的位置如图所示.现将△ABC平移,使点A变换为点D,点E、F分别是B、C的对应点.
请画出平移后的△DEF.连接AD、CF,则这两条线段之间的关系是________.
22.(10分)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?
23.(12分)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G.
(1)求四边形OEBF的面积;
(2)求证:OG•BD=EF2;
(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,求AE的长.
24.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,0),点B(0,3),点O为原点.动点C、D分别在直线AB、OB上,将△BCD沿着CD折叠,得△B'CD.
(Ⅰ)如图1,若CD⊥AB,点B'恰好落在点A处,求此时点D的坐标;
(Ⅱ)如图2,若BD=AC,点B'恰好落在y轴上,求此时点C的坐标;
(Ⅲ)若点C的横坐标为2,点B'落在x轴上,求点B'的坐标(直接写出结果即可).
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、C
【解析】
根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°,由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD,进而即可证出△ABP∽△PCD,根据相似三角形的性质即可得出y=- x2+x,对照四个选项即可得出.
【详解】
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,BC=AB=a,PC=a-x.
∵∠APD=60°,∠B=60°,
∴∠BAP+∠APB=120°,∠APB+∠CPD=120°,
∴∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD,
∴,即,
∴y=- x2+x.
故选C.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的性质找出y=-x2+x是解题的关键.
2、A
【解析】
先根据勾股定理得到AB=,再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD,由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB,于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD.
【详解】
∵∠ACB=90°,AC=BC=1,
∴AB=,
∴S扇形ABD=,
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,
∴Rt△ADE≌Rt△ACB,
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=,
故选A.
【点睛】
本题考查扇形面积计算,熟记扇形面积公式,采用作差法计算面积是解题的关键.
3、A
【解析】
试题分析:根据相反数的概念知:1的相反数是﹣1.
故选A.
【考点】相反数.
4、C
【解析】
根据数轴上点的位置关系,可得a,b,c,d的大小,根据有理数的运算,绝对值的性质,可得答案.
【详解】
解:由数轴上点的位置,得
a<﹣4<b<0<c<1<d.
A、a<﹣4,故A不符合题意;
B、bd<0,故B不符合题意;
C、∵|a|>4,|b|<2,∴|a|>|b|,故C符合题意;
D、b+c<0,故D不符合题意;
故选:C.
【点睛】
本题考查了有理数大小的比较、有理数的运算,绝对值的性质,熟练掌握相关的知识是解题的关键
5、D
【解析】
分析:依据AB∥CD,可得∠3+∠5=180°,再根据∠5=∠4,即可得出∠3+∠4=180°.
详解:如图,∵AB∥CD,
∴∠3+∠5=180°,
又∵∠5=∠4,
∴∠3+∠4=180°,
故选D.
点睛:本题考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.
6、B
【解析】
无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【详解】
A、是分数,属于有理数;
B、π是无理数;
C、=3,是整数,属于有理数;
D、-是分数,属于有理数;
故选B.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.
7、C
【解析】
根据题意和图形,可以判断各小题中的结论是否成立,从而可以解答本题.
【详解】
∵在△ABC中,AD和BE是高,
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°,
∵点F是AB的中点,
∴FD=AB,FE=AB,
∴FD=FE,①正确;
∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC,
∵AD⊥BC,
∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,
在△AEH和△BEC中, ,
∴△AEH≌△BEC(ASA),
∴AH=BC=2CD,②正确;
∵∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠CEB,
∴△ABD∽△BCE,
∴,即BC•AD=AB•BE,
∵∠AEB=90°,AE=BE,
∴AB=BE
BC•AD=BE•BE,
∴BC•AD=AE2;③正确;
设AE=a,则AB=a,
∴CE=a﹣a,
∴=,
即 ,
∵AF=AB,
∴ ,
∴S△BEC≠S△ADF,故④错误,
故选:C.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
8、C
【解析】
根据题意知小李所对应的坐标是(7,4).
故选C.
9、A
【解析】
分析:根据有理数的除法法则计算可得.
详解:31÷(﹣1)=﹣(31÷1)=﹣1.
故选A.
点睛:本题主要考查了有理数的除法,解题的关键是掌握有理数的除法法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.2除以任何一个不等于2的数,都得2.
10、A
【解析】
根据乘方的法则进行计算,然后根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.
【详解】
解:A. =9,=-9,故和互为相反数,故正确;
B. =9,=9,故和不是互为相反数,故错误;
C. =-8,=-8,故和不是互为相反数,故错误;
D. =8,=8故和不是互为相反数,故错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了有理数的乘方和相反数的定义,关键是掌握有理数乘方的运算法则.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、6﹣π
【解析】
连接、,根据阴影部分的面积计算.
【详解】
连接、,
,,
,,
为的直径,
,
,
,
,
,
阴影部分的面积
.
故答案为.
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算,掌握直角三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键.
12、1
【解析】
根据已知a<<b,结合a、b是两个连续的整数可得a、b的值,即可求解.
【详解】
解:∵a,b为两个连续的整数,且a<<b,
∴a=2,b=3,
∴ba=32=1.
故答案为1.
【点睛】
此题考查的是如何根据无理数的范围确定两个有理数的值,题中根据的取值范围,可以很容易得到其相邻两个整数,再结合已知条件即可确定a、b的值,
13、<
【解析】
先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴,根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小.
【详解】
由二次函数y=x1-4x-1=(x-1)1-5可知,其图象开口向上,且对称轴为x=1,
∵1<x1<1,3<x1<4,
∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离,
∴y1<y1.
故答案为<.
14、正方形的对角线相等且互相垂直平分;点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上;四边形的四个顶点在同一个圆上,这个圆叫四边形的外接圆.
【解析】
利用正方形的性质得到 OA=OB=OC=OD,则以点O为圆心,OA长为半径作⊙O,点B、C、D都在⊙O 上,从而得到⊙O 为正方形的外接圆.
【详解】
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴OA=OB=OC=OD,
∴⊙O 为正方形的外接圆.
故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分;点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆上;四边形的四个顶点在同一个圆上,这个圆叫四边形的外接圆.
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
15、
【解析】
根据相似三角形的性质,先求出正△A2B2C2,正△A3B3C3的面积,依此类推△AnBnCn的面积是,从而求出第8个正△A8B8C8的面积.
【详解】
正△A1B1C1的面积是,
而△A2B2C2与△A1B1C1相似,并且相似比是1:2,
则面积的比是,则正△A2B2C2的面积是×;
因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是,面积是×()2;
依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是,第n个三角形的面积是()n-1.
所以第8个正△A8B8C8的面积是×()7=.
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质及应用,相似三角形面积的比等于相似比的平方,找出规律是关键.
16、64°
【解析】
解:∵∠A=52°,∴∠ABC+∠ACB=128°.∵BD和CE是△ABC的两条角平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=64°.故答案为64°.
点睛:本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义,掌握三角形内角和等于180°是解题的关键.
17、1
【解析】
利用△ACD∽△CBD,对应线段成比例就可以求出.
【详解】
∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴△ACD∽△CBD,
∴,
∴,
∴CD=1.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)证明见解析;(2)15.
【解析】
(1)先连接OD,根据圆周角定理求出∠ADB=90°,根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE,推出∠EDB=∠EBD,∠ODB=∠OBD,即可求出∠ODE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)首先证明AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC=12,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,可得x2+122=(x+16)2-202,解方程即可解决问题.
【详解】
(1)证明:连结OD,∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
又∵OD=OB,
∴∠B=∠BDO,
∵∠ADE=∠A,
∴∠ADE+∠BDO=90°,
∴∠ODE=90°.
∴DE是⊙O的切线;
(2)连结CD,∵∠ADE=∠A,
∴AE=DE.
∵BC是⊙O的直径,∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切线.
∴DE=EC.
∴AE=EC,
又∵DE=10,
∴AC=2DE=20,
在Rt△ADC中,DC=
设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,
在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2﹣202,
∴x2+122=(x+16)2﹣202,解得x=9,
∴BC=.
【点睛】
考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题.
19、(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)利用概率公式直接计算即可;
(2)画出树状图得到所有可能的结果,再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率.
试题解析:
(1)∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择,∴若随机选择其中一个正确的概率=,故答案为;
(2)画树形图得:
由树状图可知共有4种可能结果,其中正确的有1种,所以小丽回答正确的概率=.
考点:列表法与树状图法;概率公式.
20、(1)(2)(3)
【解析】
(1)根据待定系数法,可得二次函数的解析式;
(2)根据待定系数法,可得AB的解析式,根据关于x轴对称的横坐标相等,纵坐标互为相反数,可得答案;
(3)根据PM<PN,可得不等式,利用绝对值的性质化简解不等式,可得答案.
【详解】
(1)将A(﹣1,1),B(2,5)代入函数解析式,得:
,解得:,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)设AB的解析式为y=kx+b,将A(﹣1,1),B(2,5)代入函数解析式,得:
,解得:,直线AB的解析式为y=x+1,直线AB关于x轴的对称直线的表达式y=﹣(x+1),化简,得:y=﹣x﹣1;
(3)设M(n,n2﹣2n﹣3),N(n,n+1),PM<PN,即|n2﹣2n﹣3|<|n+1|.
∴|(n+1)(n-3)|-|n+1|<1,∴|n+1|(|n-3|-1)<1.
∵|n+1|≥1,∴|n-3|-1<1,∴|n-3|<1,∴-1<n-3<1,解得:2<n<2.
故当PM<PN时,求点P的横坐标xP的取值范围是2<xP<2.
【点睛】
本题考查了二次函数综合题.解(1)的关键是待定系数法,解(2)的关键是利用关于x轴对称的横坐标相等,纵坐标互为相反数;解(3)的关键是利用绝对值的性质化简解不等式.
21、见解析
【解析】
(1)如图:
(2)连接AD、CF,则这两条线段之间的关系是AD=CF,且AD∥CF.
22、10,1.
【解析】
试题分析:可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为m,由题意得出方程求出边长的值.
试题解析:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的 一边的长为m,由题意得化简,得,解得:
当时,(舍去),
当时,,
答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m.
考点:一元二次方程的应用题.
23、(1);(2)详见解析;(3)AE=.
【解析】
(1)由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD;
(2)易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG•OB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论;
(3)首先设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得AE的长.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD
(2)证明:∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OG•OB=OE2,
∵
∴OG•BD=EF2;
(3)如图,过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴
设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH
∵
∴当时,S△BEF+S△COF最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,
【点睛】
本题属于四边形的综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.
24、(1)D(0,);(1)C(11﹣6,11﹣18);(3)B'(1+,0),(1﹣,0).
【解析】
(1)设OD为x,则BD=AD=3,在RT△ODA中应用勾股定理即可求解;
(1)由题意易证△BDC∽△BOA,再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度,再由特殊角的三角函数即可求解;
(3)过点C作CE⊥AO于E,由A、B坐标及C的横坐标为1,利用相似可求解出BC、CE、OC等长度;分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论,由翻折的对称性可知BC=B’C,再利用特殊角的三角函数可逐一求解.
【详解】
(Ⅰ)设OD为x,
∵点A(3,0),点B(0,),
∴AO=3,BO=
∴AB=6
∵折叠
∴BD=DA
在Rt△ADO中,OA1+OD1=DA1.
∴9+OD1=(﹣OD)1.
∴OD=
∴D(0,)
(Ⅱ)∵折叠
∴∠BDC=∠CDO=90°
∴CD∥OA
∴且BD=AC,
∴
∴BD=﹣18
∴OD=﹣(﹣18)=18﹣
∵tan∠ABO=,
∴∠ABC=30°,即∠BAO=60°
∵tan∠ABO=,
∴CD=11﹣6
∴D(11﹣6,11﹣18)
(Ⅲ)如图:过点C作CE⊥AO于E
∵CE⊥AO
∴OE=1,且AO=3
∴AE=1,
∵CE⊥AO,∠CAE=60°
∴∠ACE=30°且CE⊥AO
∴AC=1,CE=
∵BC=AB﹣AC
∴BC=6﹣1=4
若点B'落在A点右边,
∵折叠
∴BC=B'C=4,CE=,CE⊥OA
∴B'E=
∴OB'=1+
∴B'(1+,0)
若点B'落在A点左边,
∵折叠
∴BC=B'C=4,CE=,CE⊥OA
∴B'E=
∴OB'=﹣1
∴B'(1﹣,0)
综上所述:B'(1+,0),(1﹣,0)
【点睛】
本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数,第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.
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