2021-2022学年四川省江油市中考猜题数学试卷含解析

这是一份2021-2022学年四川省江油市中考猜题数学试卷含解析，共24页。试卷主要包含了关于x的方程x2+等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
2．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
3．在﹣3，0，4，这四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．
4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　）

A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
5．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）

A．3m B． m C． m D．4m
6．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是( )

A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应 的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 ( )

A． B．
C． D．
8．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1=0的两个根互为相反数，则k值是（　　）
A．﹣1 B．±2 C．2 D．﹣2
9．已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为(     )
A．﹣3 B．﹣5 C．1或﹣3 D．1或﹣5
10．如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为、，将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（ ）

A．3个； B．4个； C．5个； D．6个．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点B'、M，则k=_____．

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　 ▲ ．

14．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.

15．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A=28°，则∠D=_______．

16．分解因式8x2y﹣2y＝_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC中，BC=6，AB=AC，E，F分别为AB，AC上的点（E，F不与A重合），且EF∥BC．将△AEF沿着直线EF向下翻折，得到△A′EF，再展开．
（1）请判断四边形AEA′F的形状，并说明理由；
（2）当四边形AEA′F是正方形，且面积是△ABC的一半时，求AE的长．

18．（8分）某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题：
（1）这次知识竞赛共有多少名学生？
（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；
（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝1．设点A的坐标为(4，4)则点C的坐标为　 　；若点D的坐标为(4，n)．
①求反比例函数y＝的表达式；
②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；在(2)的条件下，设点E是线段CD上的动点(不与点C，D重合)，过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．

20．（8分）如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，直线经过点，与轴交于点，且，.
求反比例函数和一次函数的表达式；直接写出关于的不等式的解集.
21．（8分）观察规律并填空.

______（用含n的代数式表示，n 是正整数，且 n ≥ 2）
22．（10分）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

23．（12分）已知二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过（0，﹣3）．
（1）n＝ _____________；
（2） 若二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 m 值；
（3） 若二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于 x 轴的直线 y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为 ；
（4） 如图，二次函数 y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过点 A（3，0），连接 AC，点 P 是抛物线位于线段 AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．

24．在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（0，3），B（1，0），现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax2+bx+c经过点C．
（1）如图1，若抛物线经过点A和D（﹣2，0）．
①求点C的坐标及该抛物线解析式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点E（2，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO，若符合条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选D．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.
2、A
【解析】
此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【详解】
解：设CD的长为与正方形DEFG重合部分图中阴影部分的面积为
当C从D点运动到E点时，即时，．
当A从D点运动到E点时，即时，，
与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选A．
【点睛】
本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
3、C
【解析】
试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此，
在﹣3，0，1，这四个数中，﹣3＜0＜＜1，最大的数是1．故选C．
4、A
【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
5、B
【解析】
因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】
解：∵sin∠CAB＝
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
6、B
【解析】
，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.
【详解】
，
，
，
，
因为0.268＜0.732＜1.268，
所以 表示的点与点B最接近，
故选B.
7、B
【解析】
试题解析：∵转盘被等分成6个扇形区域，
而黄色区域占其中的一个，
∴指针指向黄色区域的概率=．
故选A．
考点：几何概率．
8、D
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可．
【详解】
设方程的两根分别为x1，x1，
∵x1+（k1-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，
∴x1+x1，=-（k1-4）=0，解得k=±1，
当k=1，方程变为：x1+1=0，△=-4＜0，方程没有实数根，所以k=1舍去；
当k=-1，方程变为：x1-3=0，△=11＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-1．
故选D．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系．x1，x1是一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x1=− ，x1x1= ，反过来也成立.
9、A
【解析】
分析：根据点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a＋2|，即可解答．
详解：∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a＋2|，a＋2≠3，
解得：a＝−3，
故选A．
点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．
10、B
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．
详解：如图所示：将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有4个．

故选B．
点睛：本题主要考查了全等三角形的性质和轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、（，1）或（﹣，1）
【解析】
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．将P的纵坐标代入函数解析式，求P点坐标即可
【详解】
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得点P的纵坐标是1或-1．
当y=1时， x1-1=1，解得x=±
当y=-1时， x1-1=-1，方程无解
故P点的坐标为（）或（-）
【点睛】
此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
12、12
【解析】
根据题意可以求得点B'的横坐标，然后根据反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点B'、M，从而可以求得k的值．
【详解】
解：作B′C⊥y轴于点C，如图所示，

∵∠BAB′=90°，∠AOB=90°，AB=AB′，
∴∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠B′AC=90°，
∴∠ABO=∠BA′C，
∴△ABO≌△BA′C，
∴AO=B′C，
∵点A（0，6），
∴B′C=6，
设点B′的坐标为（6，），
∵点M是线段AB'的中点，点A（0，6），
∴点M的坐标为（3，），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点M，
∴＝，
解得，k=12，
故答案为：12.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13、
【解析】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。
【分析】如图，

设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：
。
14、75
【解析】
因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°.
所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.
所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.
故答案为75.
15、34°
【解析】
分析：首先根据垂径定理得出∠BOD的度数，然后根据三角形内角和定理得出∠D的度数．
详解：∵直径AB⊥弦CD， ∴∠BOD=2∠A=56°， ∴∠D=90°－56°=34°．
点睛：本题主要考查的是圆的垂径定理，属于基础题型．求出∠BOD的度数是解题的关键．
16、2y（2x+1）（2x﹣1）
【解析】
首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
8x2y-2y=2y（4x2-1）
=2y（2x+1）（2x-1）．
故答案为2y（2x+1）（2x-1）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）四边形AEA′F为菱形．理由见解析；（2）1．
【解析】
（1）先证明AE=AF，再根据折叠的性质得AE=A′E，AF=A′F，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AEA′F为菱形；（2）四先利用四边形AEA′F是正方形得到∠A=90°，则AB=AC=BC=6，然后利用正方形AEA′F的面积是△ABC的一半得到AE2=••6•6，然后利用算术平方根的定义求AE即可．
【详解】
（1）四边形AEA′F为菱形．
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵△AEF沿着直线EF向下翻折，得到△A′EF，
∴AE=A′E，AF=A′F，
∴AE=A′E=AF=A′F，
∴四边形AEA′F为菱形；
（2）∵四边形AEA′F是正方形，
∴∠A=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=BC=×6=6，
∵正方形AEA′F的面积是△ABC的一半，
∴AE2=••6•6，
∴AE=1．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18、 (1)200；（2）72°,作图见解析；（3）.
【解析】
(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;
(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;
(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案.
【详解】
解：（1）这次知识竞赛共有学生=200（名）；
（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），
补图如下：

“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×=72°；
（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是： =．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键.
19、 (1)C(2，2)；(2)①反比例函数解析式为y＝；②直线CD的解析式为y＝﹣x+1；(1)m＝1时，S△OEF最大，最大值为.
【解析】
（1）利用中点坐标公式即可得出结论；
（2）①先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
②由n=1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（1）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．
【详解】
(1)∵点C是OA的中点，A(4，4)，O(0，0)，
∴C，
∴C(2，2)；
故答案为(2，2)；
(2)①∵AD＝1，D(4，n)，
∴A(4，n+1)，
∵点C是OA的中点，
∴C(2，)，
∵点C，D(4，n)在双曲线上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
②由①知，n＝1，
∴C(2，2)，D(4，1)，
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1；
(1)如图，由(2)知，直线CD的解析式为y＝﹣x+1，

设点E(m，﹣m+1)，
由(2)知，C(2，2)，D(4，1)，
∴2＜m＜4，
∵EF∥y轴交双曲线于F，
∴F(m，)，
∴EF＝﹣m+1﹣，
∴S△OEF＝(﹣m+1﹣)×m＝(﹣m2+1m﹣4)＝﹣(m﹣1)2+，
∵2＜m＜4，
∴m＝1时，S△OEF最大，最大值为

【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与m的函数关系式．
20、（1）y=-．y=x-1．（1）x＜2．
【解析】
分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.
详解：（1）∵， 点A（5，2），点B（2，3），
∴
又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，
∴点C的坐标为（2，-1），点D的坐标为（-1，3）．
∵点在反比例函数y=的图象上，
∴
∴反比例函数的表达式为

将A（5，2）、B（2，-1）代入y=kx+b，
，解得：
∴一次函数的表达式为．
（1）将代入，整理得：
∵
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．
观察图形，可知：当x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式＞kx+b的解集为x＜2．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
21、
【解析】
由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．
【详解】

=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
22、（1）;（2）20分钟.
【解析】
（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），
由题意得60=5a+15，
解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y=（k≠0），
由题意得60=，
解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；
（2）把y=15代入y=，得x=20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
23、（2）－2；（2）m=﹣2；（2）（﹣2，5）；（4）当a=时，△PAC的面积取最大值，最大值为
【解析】
（2）将（0，-2）代入二次函数解析式中即可求出n值；
（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
（2）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；
（4）将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2-2a-2），则点Q的坐标为（a，a-2），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC面积的最大值．
【详解】
解:（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣2），
∴n=﹣2．
故答案为﹣2．
（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=（﹣2m）2﹣4×（﹣2）m=4m2+22m=0，
解得：m2=0，m2=﹣2．
∵m≠0，
∴m=﹣2．
（2）∵二次函数解析式为y=mx2﹣2mx﹣2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣=2．
∵该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4，
∴另一交点的横坐标为2×2﹣4=﹣2，
∴另一个交点的坐标为（﹣2，5）．
故答案为（﹣2，5）．
（4）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象经过点A（2，0），
∴0=9m﹣6m﹣2，
∴m=2，
∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（2，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为y=x﹣2．
过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，如图所示．

设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣2），则点Q的坐标为（a，a﹣2），点D的坐标为（a，0），
∴PQ=a﹣2﹣（a2﹣2a﹣2）=2a﹣a2，
∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=PQ•OD+PQ•AD=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+，
∴当a=时，△PAC的面积取最大值，最大值为 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（2）代入点的坐标求出n值；（2）牢记当△=b2-4ac=0时抛物线与x轴只有一个交点；（2）利用二次函数的对称轴求出另一交点的坐标；（4）利用三角形的面积公式找出S△ACP关于a的函数关系式．
24、（1）①y=﹣x2+x+3；②P（ ，）或P'（ ，﹣）；（2） ≤a<1；
【解析】
（1）①先判断出△AOB≌△GBC，得出点C坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用平行线（对称）和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；（2）同（1）②的方法，借助图象即可得出结论．
【详解】
（1）①如图2，∵A（1，3），B（1，1），
∴OA=3，OB=1，
由旋转知，∠ABC=91°，AB=CB，
∴∠ABO+∠CBE=91°，
过点C作CG⊥OB于G，
∴∠CBG+∠BCG=91°，
∴∠ABO=∠BCG，
∴△AOB≌△GBC，
∴CG=OB=1，BG=OA=3，
∴OG=OB+BG=4
∴C（4，1），
抛物线经过点A（1，3），和D（﹣2，1），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
②由①知，△AOB≌△EBC，
∴∠BAO=∠CBF，
∵∠POB=∠BAO，
∴∠POB=∠CBF，
如图1，OP∥BC，
∵B（1，1），C（4，1），
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
∴直线OP的解析式为y=x，
∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
联立解得，或（舍）
∴P（，）；
在直线OP上取一点M（3，1），
∴点M的对称点M'（3，﹣1），
∴直线OP'的解析式为y=﹣x，
∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；
联立解得，或（舍），
∴P'（，﹣）；
（2）同（1）②的方法，如图3，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（4，1），E（2，1），∴，
∴，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+8a+1，
令y=1，
∴ax2﹣6ax+8a+1=1，
∴x1×x2=
∵符合条件的Q点恰好有2个，
∴方程ax2﹣6ax+8a+1=1有一个正根和一个负根或一个正根和1，
∴x1×x2=≤1，
∵a＜1，
∴8a+1≥1，
∴a≥﹣，
即：﹣≤a＜1．



【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，对称的性质，解题的关键是求出直线和抛物线的交点坐标.