2022年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测数学（文、理）试题及答案

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一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【解析】（1）法一：由正弦定理，

，…………4分
即，所以．…………6分
法二：，…………5分
所以．…………6分
（2），…………8分
当且仅当即时等号成立，
因为，在上单调递减， ………10分
所以，即的最大值为． ………12分
18．（12分）
【解析】（1）,,， …………4分
故，得线性回归方程为：．………6分
（2）令，带入，得， ……9分得， 故不需修正． ………12分
19．（12分）
【解析】（1）证明：如图，取中点，连结，
由题可知是边长为的正三角形，
所以且， …………2分
在中，由余弦定理得：
，
从而，于是，…………4分
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．…………6分
（2）设点到平面的距离为，
在中，，
所以，…………8分
，， ………10分
由，得． ………12分
20．（12分）
【解析】（1）由即知，所以且，
结合，解得，故椭圆标准方程为；…………4分
（2）设，直线的斜率为，则直线的斜率为，
于是的方程为 ，的方程为 ，
代入坐标并作差得，① …………6分
另一方面，联立 消得，，
由韦达定理得，，即②…………8分
同理可得，③…………9分
将①②③代入得，，
故直线的斜率为定值． ………12分
21．（12分）
【解析】（1），…………2分
令，则在上单调递增，
时，，又，
所以，则在上单调递增．…………5分
（2）时，单调递增，由（1），又，
所以存在，使得，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
又由（1），时，单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，…………9分
因为，
，，
所以函数在上有两个零点． ………12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得：．
曲线的极坐标方程为，
根据，转换为直角坐标方程为．…………5分
（2）曲线的参数方程为为参数），转换成标准式为（为参数），代入，得到：，所以，，
故． ………10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）当时， 不等式可化为，
，解得；或，解得；
或，解得，
综上可知，不等式的解集为．…………5分
（2），
当时，，
当时，，
故所求最大值为，最小值为． ………10分题号
1
2
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4
5
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7
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9
10
11
12
答案
D
B
C
B
D
A
A
C
D
C
B
D