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湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2021-2022学年八年级下学期中数学试卷（含答案）
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这是一份湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2021-2022学年八年级下学期中数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中是一次函数的是（ ）
A．y＝4x﹣5B．y＝2x2C．D．
2．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角相等D．对边平行
3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
4．（3分）小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，4次9环，5次8环，则小明这10次射击的平均成绩为（ ）
A．8.5环B．8.6环C．8.7环D．8.8环
5．（3分）如图，▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AE∥CFC．AF＝ECD．AE＝EC
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．3C．0D．﹣3
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BD＝16，AC＝12，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
8．（3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝8，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．15B．9C．17D．18
10．（3分）某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
11．（3分）对于直线的描述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．与y轴的交点是（0，﹣3）
C．经过点（﹣2，﹣1）D．图象不经过第二象限
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点H在DC的延长线上，连接AH交BC于点F，点E在BF上，且AE平分∠BAH，若CH＝BE，则EH等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若函数y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数，则m＝ ．
14．（3分）函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝2x+3，且交y轴于点（0，﹣1），则其解析式是 ．
15．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.17s2，乙的方差是0.05s2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
16．（3分）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是 ．
17．（3分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是 （用数学概念作答）
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）．
20．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）当x取何值时，y≥0．
21．（6分）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）求△AOB的面积．
22．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，麓山国际实验学校决定对全校400个学生宿舍的用水情况作一次调查，调查小组随机抽查了其中100个宿舍的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）学校决定对月平均用水量不超过12吨的寝室评为“节水明星寝室”，根据样本数据，估计全校400个宿舍中约有多少个“节水明星寝室”？
23．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC＝3，求AD的长．
24．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
25．（8分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．
（1）上表中，a＝ ；b＝ ；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
26．（8分）从今年3月开始，上海的疫情时刻牵动着全国人民的心．4月9日，上海最大方舱医院投入使用，长沙市政府计划派出麓山国际校医等360名医务工作者去上海方舱医院支援，经过研究，决定从当地租车公司提供的A，B两种型号客车中租用20辆作为交通工具．如表是租车公司提供给公司有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载的人数．）设公司租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若要使租车总费用不超过5500元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）用含t的代数式表示：QB＝ ，PD＝ ；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长．
2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36）
1．（3分）下列函数中是一次函数的是（ ）
A．y＝4x﹣5B．y＝2x2C．D．
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），即可判断．
【解答】解：A、y＝4x﹣5是一次函数，故A符合题意；
B、y＝2x2是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故C不符合题意；
D、y＝不是一次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
2．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角相等D．对边平行
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质直接可求解．
【解答】解：∵菱形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相垂直平分，矩形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相平分且相等，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（3分）小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，4次9环，5次8环，则小明这10次射击的平均成绩为（ ）
A．8.5环B．8.6环C．8.7环D．8.8环
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明这10次射击的平均成绩．
【解答】解：根据题意得：
＝8.6（环），
答：小明这10次射击的平均成绩为8.6环；
故选：B．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
5．（3分）如图，▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AE∥CFC．AF＝ECD．AE＝EC
【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
由AE＝EC，不能判定四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．3C．0D．﹣3
【分析】根据一次函数的增减性可得k＞0，即可确定k的值．
【解答】解：根据题意，得k＞0，
∵﹣2＜0，
∴A选项不符合题意；
∵3＞0，
∴B选项符合题意；
∵k≠0，
∴C选项不符合题意；
∵﹣3＜0，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系是解题的关键．
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BD＝16，AC＝12，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
【分析】根据平行四边形的性质得出BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD＝8，AO＝CO＝6，
∴8﹣6＜BC＜8+6，
即2＜BC＜14，
故选：A．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线平分解答．
8．（3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
【解答】解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选：C．
【点评】此题主要考查的知识点：
（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；
（2）菱形的两个邻角互补．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝8，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．15B．9C．17D．18
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE＝BC＝4，EF＝AB＝5，DB＝5，BF＝4，
∴四边形DBFE的周长＝5+4+5+4＝18，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
10．（3分）某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【解答】解：15出现的次数最多，15是众数．
一共10个学生，按照顺序排列第5、6个学生年龄是15，所以中位数为：＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握众数及中位数的概念是解题关键．
11．（3分）对于直线的描述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．与y轴的交点是（0，﹣3）
C．经过点（﹣2，﹣1）D．图象不经过第二象限
【分析】根据一次函数的图象和性质即可进行判断．
【解答】解：在直线中，
∵k＝＜0，
∴y随着x增大而减小，
∴A选项不符合题意；
当x＝0时，y＝﹣3，
∴B选项符合题意；
当x＝﹣2时，y＝1﹣3＝﹣2≠﹣1，
∴C选项不符合题意；
∵k＝＜0，b＝﹣3＜0，
∴直线经过二、三、四象限，不经过第一象限，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点H在DC的延长线上，连接AH交BC于点F，点E在BF上，且AE平分∠BAH，若CH＝BE，则EH等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点E作EG⊥AF于点G，根据角平分线的性质可得EB＝EG，然后证明△EFG≌△HFC（AAS），可得GF＝CF，证明Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），可得AB＝AG＝6，设EB＝EG＝CH＝m，GF＝CF＝n，可得BF＝BC﹣CF＝6﹣n，AF＝AG+GF＝6+n，根据勾股定理可得n＝，根据S△AFE＝EF•AB＝AF•EG，可得EF＝m，然后根据勾股定理可得m＝2，在Rt△EFG中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，
在正方形ABCD中，BC＝AB＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AE平分∠BAH，EG⊥AF，AB⊥BC，
∴EB＝EG，
∵CH＝BE，
∴EG＝CH，
在△EFG和△HFC中，
，
∴△EFG≌△HFC（AAS），
∴GF＝CF，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AB＝AG＝6，
设EB＝EG＝CH＝m，GF＝CF＝n，
∴BF＝BC﹣CF＝6﹣n，AF＝AG+GF＝6+n，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AF2＝AB2+BF2，
∴（6+n）2＝62+（6﹣n）2，
解得n＝，
∴GF＝CH＝n＝，
∴AF＝6+n＝，
∵S△AFE＝EF•AB＝AF•EG，
∴6EF＝m，
∴EF＝m，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得：
EF2＝EG2+GF2，
∴（m）2＝m2+（）2，
解得m＝2（负值舍去），
∴EB＝EG＝CH＝m＝2，
∴EF＝m＝，
∴EC＝EF+FC＝＝4，
∴EH＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若函数y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据正比例函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m|﹣2＝0且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
14．（3分）函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝2x+3，且交y轴于点（0，﹣1），则其解析式是 y＝2x﹣1 ．
【分析】根据一次函数的特点，两直线平行，则一次项系数相同，可确定k的值，把点（0，﹣1）代入求出b．
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝2x+3，
∴k＝2；把点（0，﹣1）代入得b＝﹣1，
∴其解析式是：y＝2x﹣1．
【点评】解答此题关键是此题根据两直线平行时函数解析式的系数相等的特点解答．
15．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.17s2，乙的方差是0.05s2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵甲的方差是0.17s2，乙的方差是0.05s2，
∴甲的方差＞乙的方差，
∴这5次短跑训练成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
16．（3分）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是 ．
【分析】先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解．
【解答】解：∵由图象可知：函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象的交点P的坐标是（1，﹣1），
又∵由y＝x﹣2，移项后得出x﹣y＝2，
由y＝﹣2x+1，移项后得出2x+y＝1，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目．
17．（3分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是 众数 （用数学概念作答）
【分析】商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是销售数量最多衬衫的数量，即众数．
故答案为：众数．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．
【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC＝＝30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
三、解答题（共66分）
19．（6分）．
【分析】先去绝对值，求出算术平方根，计算零指数幂，再算加减即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣1+2
＝3﹣．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握去绝对值，算术平方根，零指数幂等相关知识．
20．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）当x取何值时，y≥0．
【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，
（1）根据图象得出一元一次方程的解即可；
（2）根据一次函数的图象得出一元一次不等式的解集即可；
（3）根据函数图形即可得到．
【解答】解：函数的图象为：
（1）方程的解是x＝4；
（2）不等式的解集是x＜4；
（3）当x≥4时，y≥0．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等知识点，能根据一次函数的图象和性质求出一元一次不等式和一元一次方程的解是解此题的关键．
21．（6分）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；
（2）求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即可．
【解答】解：（1）设直线l的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（3，1），（1，3）代入①得，
解方程组得，
∴直线l的函数关系式为y＝﹣x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），
当y＝0，﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴A（4，0），
∴S△AOB＝AO•BO＝×4×4＝8．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在平面直角坐标系中求三角形的面积，找出点的坐标或边的长度是解题的关键．
22．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，麓山国际实验学校决定对全校400个学生宿舍的用水情况作一次调查，调查小组随机抽查了其中100个宿舍的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）学校决定对月平均用水量不超过12吨的寝室评为“节水明星寝室”，根据样本数据，估计全校400个宿舍中约有多少个“节水明星寝室”？
【分析】（1）算出月用水量为11吨的宿舍个数，再补图即可；
（2）根据平均数、众数、中位数的计算公式和定义分别进行解答即可得出答案；
（3）先求出家庭中月平均用水量不超过12吨所占的百分比，再乘以总数即可得出答案．
【解答】解：（1）月用水量为11吨的宿舍个数是100﹣20﹣10﹣20﹣10＝40（个），
补图如下：
（2）这100个样本数据的平均数是：（10×20+11×40+12×10+13×20+14×10）＝11.6（吨），
11出现的次数最多，出现了40次，则众数是11，
把这100个数从小到大排列，最中间两个数的平均数是11，则中位数是11，
所以这100个样本数据的平均数是11.6吨，众数是11吨，中位数是11吨；
（3）根据题意得：×400＝280（户），
答：全校400个宿舍中约有280户“节水明星寝室”．
【点评】此题考查了条形统计图，用到的知识点是平均数、众数、中位数和用样本估计总体，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．
23．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC＝3，求AD的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得AB＝DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE＝∠F，又由BF＝AB，即可利用AAS，判定△DCE≌△FBE；
（2）由（1），可得BE＝EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得AD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠CDE＝∠F，
又∵BF＝AB，
∴DC＝FB，
在△DCE和△FBE中，
∵
∴△DCE≌△FBE（AAS）
（2）解：∵△DCE≌△FBE，
∴EB＝EC，
∵EC＝3，
∴BC＝2EB＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AD＝6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
24．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
25．（8分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．
（1）上表中，a＝ 0.6 ；b＝ 0.65 ；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
【分析】（1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元，求出b的值即可；
（2）利用当x≤150时，当150＜x≤300时，当x＞300时分别求出即可；
（3）根据当居民月用电量x≤150时，0.6x≤0.62x，当居民月用电量x满足150＜x≤300时，0.65x﹣7.5≤0.62x，当居民月用电量x满足x＞300时，0.9x﹣82.5≤0.62x，分别得出即可．
【解答】解：（1）根据2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；
得出：a＝60÷100＝0.6，
居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．
则（122.5﹣0.6×150）÷（200﹣150）＝0.65，
故：a＝0.6；b＝0.65．
（2）当x≤150时，y＝0.6x．
当150＜x≤300时，y＝0.65（x﹣150）+0.6×150＝0.65x﹣7.5，
当x＞300时，y＝0.9（x﹣300）+0.6×150+0.65×150＝0.9x﹣82.5；
（3）当居民月用电量x≤150时，
0.6x≤0.62x，故x≥0，
当居民月用电量x满足150＜x≤300时，
0.65x﹣7.5≤0.62x，
解得：x≤250，
当居民月用电量x满足x＞300时，
0.9x﹣82.5≤0.62x，
解得：x≤294，
综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.62元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及分段函数的应用，根据自变量取值范围不同得出x的取值是解题关键．
26．（8分）从今年3月开始，上海的疫情时刻牵动着全国人民的心．4月9日，上海最大方舱医院投入使用，长沙市政府计划派出麓山国际校医等360名医务工作者去上海方舱医院支援，经过研究，决定从当地租车公司提供的A，B两种型号客车中租用20辆作为交通工具．如表是租车公司提供给公司有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载的人数．）设公司租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若要使租车总费用不超过5500元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
【分析】（1）根据题意，可得函数关系式，根据x≥0，且20﹣x≥0，即可求自变量取值范围；
（2）根据“20辆车的总载客量大于等于360，且总租车费用不超过5500元”列一元一次不等式组，解不等式组，即可确定租车方案，根据一次函数增减性即可求出最低费用．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝300x+200（20﹣x）＝100x+4000，
∵x≥0，且20﹣x≥0，
解得0≤x≤20，
∴y＝100x+4000（0≤x≤20）；
（2）根据题意，得，
解得12≤x≤15，
∴x可以取12，13，14，15，
∴有4种租车方案，
∵y＝100x+4000，k＝100＞0，
∴y随着x增大而增大，
当x＝12时，总租车费用最低，
此时y＝1200+4000＝5200（元）．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键，
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）用含t的代数式表示：QB＝ 8﹣2t ，PD＝ ；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长．
【分析】（1）根据题意得到CQ＝2t，AP＝t，求出勾股定理可求出PD；
（2）根据平行四边形的判定方法列出关于t的方程，解方程即可；
（3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出直线M′M′′的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征得到PQ的中点M在直线M′M′′上，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝t，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝6﹣t．
又∵PD⊥AC，
∴PD＝＝t．
故答案为：8﹣2t，；
（2）存在，t＝2.4．
若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，
即：t＝8﹣2t，
解得t＝2.4．
答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t＝2.4．
（3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，
由题意得，0≤t≤4，
当t＝0时，点M′的坐标为（3，0），
当t＝4时，点M′′的坐标为（1，4），
设直线M′M′′的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线M′M′′的解析式为：y＝﹣2x+6，
由题意得，点P的坐标为（6﹣t，0），点Q的坐标为（0，2t）
∴在运动过程中PQ的中点M的坐标为（，t），
当x＝时，y＝﹣2×+6＝t，
∴点M在直线M′M′′上，
作M′′N⊥x轴于N，
则M′′N＝4，M′N＝2，
由勾股定理得，M′M′′＝＝2，
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2．
【点评】本题J是四边形综合题，考查了平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、点的轨迹问题，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、正确确定点的运动轨迹是解题的关键．
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过150千瓦时
a
超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分
b
超过300千瓦时的部分
a+0.3
型号
载客量
租金
A
20人/辆
300元/辆
B
15人/辆
200元/辆
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过150千瓦时
a
超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分
b
超过300千瓦时的部分
a+0.3
型号
载客量
租金
A
20人/辆
300元/辆
B
15人/辆
200元/辆
1．（3分）下列函数中是一次函数的是（ ）
A．y＝4x﹣5B．y＝2x2C．D．
2．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角相等D．对边平行
3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
4．（3分）小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，4次9环，5次8环，则小明这10次射击的平均成绩为（ ）
A．8.5环B．8.6环C．8.7环D．8.8环
5．（3分）如图，▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AE∥CFC．AF＝ECD．AE＝EC
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．3C．0D．﹣3
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BD＝16，AC＝12，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
8．（3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝8，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．15B．9C．17D．18
10．（3分）某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
11．（3分）对于直线的描述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．与y轴的交点是（0，﹣3）
C．经过点（﹣2，﹣1）D．图象不经过第二象限
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点H在DC的延长线上，连接AH交BC于点F，点E在BF上，且AE平分∠BAH，若CH＝BE，则EH等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若函数y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数，则m＝ ．
14．（3分）函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝2x+3，且交y轴于点（0，﹣1），则其解析式是 ．
15．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.17s2，乙的方差是0.05s2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
16．（3分）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是 ．
17．（3分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是 （用数学概念作答）
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）．
20．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）当x取何值时，y≥0．
21．（6分）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）求△AOB的面积．
22．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，麓山国际实验学校决定对全校400个学生宿舍的用水情况作一次调查，调查小组随机抽查了其中100个宿舍的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）学校决定对月平均用水量不超过12吨的寝室评为“节水明星寝室”，根据样本数据，估计全校400个宿舍中约有多少个“节水明星寝室”？
23．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC＝3，求AD的长．
24．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
25．（8分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．
（1）上表中，a＝ ；b＝ ；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
26．（8分）从今年3月开始，上海的疫情时刻牵动着全国人民的心．4月9日，上海最大方舱医院投入使用，长沙市政府计划派出麓山国际校医等360名医务工作者去上海方舱医院支援，经过研究，决定从当地租车公司提供的A，B两种型号客车中租用20辆作为交通工具．如表是租车公司提供给公司有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载的人数．）设公司租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若要使租车总费用不超过5500元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）用含t的代数式表示：QB＝ ，PD＝ ；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长．
2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36）
1．（3分）下列函数中是一次函数的是（ ）
A．y＝4x﹣5B．y＝2x2C．D．
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），即可判断．
【解答】解：A、y＝4x﹣5是一次函数，故A符合题意；
B、y＝2x2是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故C不符合题意；
D、y＝不是一次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
2．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角相等D．对边平行
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质直接可求解．
【解答】解：∵菱形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相垂直平分，矩形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相平分且相等，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（3分）小明在一次射击训练中，连续10次的成绩为1次10环，4次9环，5次8环，则小明这10次射击的平均成绩为（ ）
A．8.5环B．8.6环C．8.7环D．8.8环
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得小明这10次射击的平均成绩．
【解答】解：根据题意得：
＝8.6（环），
答：小明这10次射击的平均成绩为8.6环；
故选：B．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
5．（3分）如图，▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AE∥CFC．AF＝ECD．AE＝EC
【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
由AE＝EC，不能判定四边形AECF是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣2B．3C．0D．﹣3
【分析】根据一次函数的增减性可得k＞0，即可确定k的值．
【解答】解：根据题意，得k＞0，
∵﹣2＜0，
∴A选项不符合题意；
∵3＞0，
∴B选项符合题意；
∵k≠0，
∴C选项不符合题意；
∵﹣3＜0，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性与系数的关系是解题的关键．
7．（3分）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BD＝16，AC＝12，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
【分析】根据平行四边形的性质得出BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD＝8，AO＝CO＝6，
∴8﹣6＜BC＜8+6，
即2＜BC＜14，
故选：A．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线平分解答．
8．（3分）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
【解答】解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选：C．
【点评】此题主要考查的知识点：
（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；
（2）菱形的两个邻角互补．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝8，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．15B．9C．17D．18
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE＝BC＝4，EF＝AB＝5，DB＝5，BF＝4，
∴四边形DBFE的周长＝5+4+5+4＝18，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
10．（3分）某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．15，13C．15，14D．14，15
【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
【解答】解：15出现的次数最多，15是众数．
一共10个学生，按照顺序排列第5、6个学生年龄是15，所以中位数为：＝15．
故选：A．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握众数及中位数的概念是解题关键．
11．（3分）对于直线的描述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．与y轴的交点是（0，﹣3）
C．经过点（﹣2，﹣1）D．图象不经过第二象限
【分析】根据一次函数的图象和性质即可进行判断．
【解答】解：在直线中，
∵k＝＜0，
∴y随着x增大而减小，
∴A选项不符合题意；
当x＝0时，y＝﹣3，
∴B选项符合题意；
当x＝﹣2时，y＝1﹣3＝﹣2≠﹣1，
∴C选项不符合题意；
∵k＝＜0，b＝﹣3＜0，
∴直线经过二、三、四象限，不经过第一象限，
∴D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点H在DC的延长线上，连接AH交BC于点F，点E在BF上，且AE平分∠BAH，若CH＝BE，则EH等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点E作EG⊥AF于点G，根据角平分线的性质可得EB＝EG，然后证明△EFG≌△HFC（AAS），可得GF＝CF，证明Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），可得AB＝AG＝6，设EB＝EG＝CH＝m，GF＝CF＝n，可得BF＝BC﹣CF＝6﹣n，AF＝AG+GF＝6+n，根据勾股定理可得n＝，根据S△AFE＝EF•AB＝AF•EG，可得EF＝m，然后根据勾股定理可得m＝2，在Rt△EFG中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，
在正方形ABCD中，BC＝AB＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AE平分∠BAH，EG⊥AF，AB⊥BC，
∴EB＝EG，
∵CH＝BE，
∴EG＝CH，
在△EFG和△HFC中，
，
∴△EFG≌△HFC（AAS），
∴GF＝CF，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AB＝AG＝6，
设EB＝EG＝CH＝m，GF＝CF＝n，
∴BF＝BC﹣CF＝6﹣n，AF＝AG+GF＝6+n，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
AF2＝AB2+BF2，
∴（6+n）2＝62+（6﹣n）2，
解得n＝，
∴GF＝CH＝n＝，
∴AF＝6+n＝，
∵S△AFE＝EF•AB＝AF•EG，
∴6EF＝m，
∴EF＝m，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得：
EF2＝EG2+GF2，
∴（m）2＝m2+（）2，
解得m＝2（负值舍去），
∴EB＝EG＝CH＝m＝2，
∴EF＝m＝，
∴EC＝EF+FC＝＝4，
∴EH＝．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若函数y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据正比例函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m|﹣2＝0且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
14．（3分）函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝2x+3，且交y轴于点（0，﹣1），则其解析式是 y＝2x﹣1 ．
【分析】根据一次函数的特点，两直线平行，则一次项系数相同，可确定k的值，把点（0，﹣1）代入求出b．
【解答】解：∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝2x+3，
∴k＝2；把点（0，﹣1）代入得b＝﹣1，
∴其解析式是：y＝2x﹣1．
【点评】解答此题关键是此题根据两直线平行时函数解析式的系数相等的特点解答．
15．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.17s2，乙的方差是0.05s2，则这5次短跑训练成绩较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵甲的方差是0.17s2，乙的方差是0.05s2，
∴甲的方差＞乙的方差，
∴这5次短跑训练成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
16．（3分）如图，已知函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象交于点P，根据图象可得方程组的解是 ．
【分析】先由图象得出两函数的交点坐标，根据交点坐标即可得出方程组的解．
【解答】解：∵由图象可知：函数y＝x﹣2和y＝﹣2x+1的图象的交点P的坐标是（1，﹣1），
又∵由y＝x﹣2，移项后得出x﹣y＝2，
由y＝﹣2x+1，移项后得出2x+y＝1，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但又比较容易出错的题目．
17．（3分）某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是 众数 （用数学概念作答）
【分析】商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是销售数量最多衬衫的数量，即众数．
故答案为：众数．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．
【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC＝＝30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
三、解答题（共66分）
19．（6分）．
【分析】先去绝对值，求出算术平方根，计算零指数幂，再算加减即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣1+2
＝3﹣．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握去绝对值，算术平方根，零指数幂等相关知识．
20．（6分）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：
（1）求方程的解；
（2）求不等式的解集；
（3）当x取何值时，y≥0．
【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，
（1）根据图象得出一元一次方程的解即可；
（2）根据一次函数的图象得出一元一次不等式的解集即可；
（3）根据函数图形即可得到．
【解答】解：函数的图象为：
（1）方程的解是x＝4；
（2）不等式的解集是x＜4；
（3）当x≥4时，y≥0．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等知识点，能根据一次函数的图象和性质求出一元一次不等式和一元一次方程的解是解此题的关键．
21．（6分）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；
（2）求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即可．
【解答】解：（1）设直线l的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（3，1），（1，3）代入①得，
解方程组得，
∴直线l的函数关系式为y＝﹣x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），
当y＝0，﹣x+4＝0，
解得x＝4，
∴A（4，0），
∴S△AOB＝AO•BO＝×4×4＝8．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在平面直角坐标系中求三角形的面积，找出点的坐标或边的长度是解题的关键．
22．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，麓山国际实验学校决定对全校400个学生宿舍的用水情况作一次调查，调查小组随机抽查了其中100个宿舍的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）学校决定对月平均用水量不超过12吨的寝室评为“节水明星寝室”，根据样本数据，估计全校400个宿舍中约有多少个“节水明星寝室”？
【分析】（1）算出月用水量为11吨的宿舍个数，再补图即可；
（2）根据平均数、众数、中位数的计算公式和定义分别进行解答即可得出答案；
（3）先求出家庭中月平均用水量不超过12吨所占的百分比，再乘以总数即可得出答案．
【解答】解：（1）月用水量为11吨的宿舍个数是100﹣20﹣10﹣20﹣10＝40（个），
补图如下：
（2）这100个样本数据的平均数是：（10×20+11×40+12×10+13×20+14×10）＝11.6（吨），
11出现的次数最多，出现了40次，则众数是11，
把这100个数从小到大排列，最中间两个数的平均数是11，则中位数是11，
所以这100个样本数据的平均数是11.6吨，众数是11吨，中位数是11吨；
（3）根据题意得：×400＝280（户），
答：全校400个宿舍中约有280户“节水明星寝室”．
【点评】此题考查了条形统计图，用到的知识点是平均数、众数、中位数和用样本估计总体，关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．
23．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC＝3，求AD的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得AB＝DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE＝∠F，又由BF＝AB，即可利用AAS，判定△DCE≌△FBE；
（2）由（1），可得BE＝EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得AD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠CDE＝∠F，
又∵BF＝AB，
∴DC＝FB，
在△DCE和△FBE中，
∵
∴△DCE≌△FBE（AAS）
（2）解：∵△DCE≌△FBE，
∴EB＝EC，
∵EC＝3，
∴BC＝2EB＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AD＝6．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
24．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：BD＝EC；
（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO＝∠E＝50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
25．（8分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．
（1）上表中，a＝ 0.6 ；b＝ 0.65 ；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
【分析】（1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元，求出b的值即可；
（2）利用当x≤150时，当150＜x≤300时，当x＞300时分别求出即可；
（3）根据当居民月用电量x≤150时，0.6x≤0.62x，当居民月用电量x满足150＜x≤300时，0.65x﹣7.5≤0.62x，当居民月用电量x满足x＞300时，0.9x﹣82.5≤0.62x，分别得出即可．
【解答】解：（1）根据2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；
得出：a＝60÷100＝0.6，
居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．
则（122.5﹣0.6×150）÷（200﹣150）＝0.65，
故：a＝0.6；b＝0.65．
（2）当x≤150时，y＝0.6x．
当150＜x≤300时，y＝0.65（x﹣150）+0.6×150＝0.65x﹣7.5，
当x＞300时，y＝0.9（x﹣300）+0.6×150+0.65×150＝0.9x﹣82.5；
（3）当居民月用电量x≤150时，
0.6x≤0.62x，故x≥0，
当居民月用电量x满足150＜x≤300时，
0.65x﹣7.5≤0.62x，
解得：x≤250，
当居民月用电量x满足x＞300时，
0.9x﹣82.5≤0.62x，
解得：x≤294，
综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.62元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及分段函数的应用，根据自变量取值范围不同得出x的取值是解题关键．
26．（8分）从今年3月开始，上海的疫情时刻牵动着全国人民的心．4月9日，上海最大方舱医院投入使用，长沙市政府计划派出麓山国际校医等360名医务工作者去上海方舱医院支援，经过研究，决定从当地租车公司提供的A，B两种型号客车中租用20辆作为交通工具．如表是租车公司提供给公司有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载的人数．）设公司租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）若要使租车总费用不超过5500元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
【分析】（1）根据题意，可得函数关系式，根据x≥0，且20﹣x≥0，即可求自变量取值范围；
（2）根据“20辆车的总载客量大于等于360，且总租车费用不超过5500元”列一元一次不等式组，解不等式组，即可确定租车方案，根据一次函数增减性即可求出最低费用．
【解答】解：（1）根据题意，得y＝300x+200（20﹣x）＝100x+4000，
∵x≥0，且20﹣x≥0，
解得0≤x≤20，
∴y＝100x+4000（0≤x≤20）；
（2）根据题意，得，
解得12≤x≤15，
∴x可以取12，13，14，15，
∴有4种租车方案，
∵y＝100x+4000，k＝100＞0，
∴y随着x增大而增大，
当x＝12时，总租车费用最低，
此时y＝1200+4000＝5200（元）．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键，
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）用含t的代数式表示：QB＝ 8﹣2t ，PD＝ ；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在整个P、Q运动的过程中，点M为线段PQ的中点，请确定点M经过的路径长．
【分析】（1）根据题意得到CQ＝2t，AP＝t，求出勾股定理可求出PD；
（2）根据平行四边形的判定方法列出关于t的方程，解方程即可；
（3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出直线M′M′′的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征得到PQ的中点M在直线M′M′′上，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得：CQ＝2t，AP＝t，AD＝t，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝6﹣t．
又∵PD⊥AC，
∴PD＝＝t．
故答案为：8﹣2t，；
（2）存在，t＝2.4．
若四边形BQPD为平行四边形，则BQ与PD平行且相等，
即：t＝8﹣2t，
解得t＝2.4．
答：存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形，此时t＝2.4．
（3）以点C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，
由题意得，0≤t≤4，
当t＝0时，点M′的坐标为（3，0），
当t＝4时，点M′′的坐标为（1，4），
设直线M′M′′的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线M′M′′的解析式为：y＝﹣2x+6，
由题意得，点P的坐标为（6﹣t，0），点Q的坐标为（0，2t）
∴在运动过程中PQ的中点M的坐标为（，t），
当x＝时，y＝﹣2×+6＝t，
∴点M在直线M′M′′上，
作M′′N⊥x轴于N，
则M′′N＝4，M′N＝2，
由勾股定理得，M′M′′＝＝2，
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2．
【点评】本题J是四边形综合题，考查了平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、点的轨迹问题，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、正确确定点的运动轨迹是解题的关键．
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过150千瓦时
a
超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分
b
超过300千瓦时的部分
a+0.3
型号
载客量
租金
A
20人/辆
300元/辆
B
15人/辆
200元/辆
年龄
13
14
15
16
人数
1
3
4
2
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过150千瓦时
a
超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分
b
超过300千瓦时的部分
a+0.3
型号
载客量
租金
A
20人/辆
300元/辆
B
15人/辆
200元/辆
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