2022届四川省成都市第七中学高三下学期三诊模拟考试数学（文、理）试题及答案

成都七中高2022届三诊模拟数学（文科）

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集是实数集，已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】

本题选择C选项.

2. 已知i为虚数单位，则

A. –1 B. 1 C.  D.

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先计算，然后再计算，最后可以计算出的结果.

【详解】，故本题选B.

【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则、复数单位的幂运算，考查了除法运算，考查了数学运算能力.

3. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是

A. 已知函数在区间内有零点，则

B. 是与的等比中项

C. 若是不共线的向量，且，则∥

D. 已知角终边经过点，则

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.

【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能，所以该选项错误.

B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是；C. 若是不共线的向量，且 ，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C

【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

4. 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,

矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，

故该几何体的侧视图为D

5. 在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生概率为

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.

【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系．

6. 已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式，可以确定q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.

【详解】.

显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分条件，故本题选B.

【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题的关键.

7. 已知x，y满足约束条件，若（）的最大值是16，则a的值为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】画出满足约束条件，的平面区域，求出，的坐标，由得：，结合函数的图象显然直线过时，最大，求出的值即可．

【详解】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：

由，解得：，

由得：，

当直线过时，最大，

此时，

解得：

故选：．

【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．

8. 已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）

A. 2 B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．

【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得，设，

由，

可得，即，

则

，

当时，最小值为．

故选D．

【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．

9. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG.其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ① B. ②③ C. ①② D. ①③

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式、异面直线的夹角的求法、线面平行的判断方法，对三个结论逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为：则

，，，，所以三角形是在三角形，①正确.

，所以，设异面直线与所成角为，则，所以，②错误.

，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，由于，所以③正确.

综上所述，正确命题序号为①③.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查空间两点间的距离、线线角的求法，线面平行的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

10. 已知，是双曲线的左，右焦点，其半焦距为，点在双曲线上，与轴垂直，到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】在焦点三角形中，可通过解直角三角形得到，结合双曲线的定义可求的关系式，从而得到所求的离心率.

【详解】因为与轴垂直，所以为直角三角形且直角顶点为.

因为，到直线的距离为，故.

因为为锐角，故，.

在中，，

.

由双曲线的定义可得，故.

故选：A.

【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解决此类问题的关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组.

11. 设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】

设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.

【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，

，，由，得，

，

解得或，

，，

，

，

，

解得，

直线的斜率的取值范围为.

故选：D.

【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．

12. 若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】原不等式可化为，设，则直线过定点，由题意得函数的图象在直线的下方．∵，∴．设直线与曲线相切于点，则有，消去整理得，解得或（舍去），故切线的斜率为，解得．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，由解得，当直线绕着点旋转时可得，故实数的取值范围是．选B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 有甲、乙、丙三项任务，申、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）

【13题答案】

【答案】10

【解析】

【分析】由题意分两类，丙选择一名男生和一名女生或丙选择两名男子，根据分类计算原理即可求出.

【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.

②丙选择两名男子：.

所以不同的安排方法种数是：10种.

故答案为：10.

14. 已知△ABC的A，B，C所对这分别的a，b，c．若，，且△ABC的面积是，则______．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据题意,先求出，再分别求出边长，，即可求出

【详解】根据题意,△ABC中,若 ，则.

又由△ABC的面积是,即,则有bc=3,又由，解得：.

由余弦定理得：,则    .

所以，所以

故答案为: .

15. 已知函数，则函数的零点个数是______个．

【15题答案】

【答案】3

【解析】

【分析】函数的零点个数等价于函数函数与的交点个数，

作出函数与的图象，结合图象即可求出结果.

【详解】函数有的零点个数等价于函数函数与的交点个数，

作出函数与的图象，如图：

，

由图可知，函数与有3个交点，故函数有的零点个数为3，

故答案为：3.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

16. 圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面积和底面积的比求得与的关系，由此求得圆锥的高，进而求得圆锥的体积.利用轴截面计算出圆锥外接球的半径，由此求得外接球的体积，进而求得圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比.

【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，则侧面积为，侧面积与底面积的比为，则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，设外接球的球心为，半径为，截面图如图，则，，，在直角三角形中，由勾股定理得，即，展形整理得，

则外接球的体积为，故所求体积比为.

故填：

【点睛】本小题主要考查圆锥的表面积和底面积的计算，考查圆锥的体积和圆锥外接球体积的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知通数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为．

（Ⅰ）求的解析式：

（Ⅱ）若，求的值．

【17题答案】

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

【分析】（Ⅰ）由图像与x轴两个相邻交点的距离为，可以求出周期，利用周期公式可以求出，再由图像经过点，结合，可以求出，也就能求出的解析式：

（Ⅱ）由，可以求出，根据同角的三角函数关系，可求出，分类讨论，运用两角差的正弦公式，求出的值

【详解】解：（Ⅰ）由已知得，，则，所以．

又，所以，

又，所以.

所以，即，

所以.

（Ⅱ）因为，所以，

所以．

当时，；

当时，.

所以，或.

【点睛】本题考查了正弦型函数的图象性质，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角差的正弦公式，考查了数学运算能力.

18. 在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.

（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.

附：，其中.

【18题答案】

【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.

【详解】（1）由题意可得：

则，

所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.

（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.

采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为、、、、；

不经常阅读的有2人，记为、.

从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，

被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，

所求概率为.

【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.

19. 如图，在三棱柱中，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

【19题答案】

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）取的中点，连，，证明与底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得证结论；

（2）由棱柱、棱锥体积得，计算三棱锥体积可得结论．

【详解】（1）如图，取的中点，连，，

因为，，

所以，，

又因为，所以，

在中，由，满足，

所以，且，，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

又平面平面，所以平面平面.

（2）由（1）可知平面，，

所以四棱锥的体积.

20. 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点．

（1）求C的方程；

（2）设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）直线经过定点，定点坐标为

【解析】

【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程.

（2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点．

【小问1详解】

解：由题意得，设椭圆的方程为，焦距为

则，椭圆的另一个焦点为,

由椭圆定义得，则

所以,

所以的方程为.

【小问2详解】

（2）证明：由已知得，

由，得，

设，，则，，

，，

由得，

即，

所以，解得或，

①当 时，直线 经过点，舍去；

②当时，显然有，直线 经过定点．

22. 已知函数．

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若对任意的，恒成立，求a的取值范围；

（3）当a=3时，设函数，证明：对于任意的k<1，函数有且只有一个零点．

【22题答案】

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.

（2）根据给定条件，等价变形给定不等式，分离参数并构造函数，求出函数最值作答.

（3）把a=3代入，在给定条件下利用导数分段探讨的零点即可推理作答.

【小问1详解】

由求导得：，则，而，

所以函数在处的切线方程为：，即.

【小问2详解】

，，令，

求导得：，当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，则有，

所以a的取值范围是.

【小问3详解】

当a=3时，，由k<1得，

当时，，即函数在上单调递增，而，，

即函数在上有唯一零点，因此，函数在上有唯一零点，

当时，令，则，，

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

，，因此，函数在上没有零点，

综上得，函数在R上有唯一零点，

所以对于任意的k<1，函数有且只有一个零点．

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

24. 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.

（1）若，求线段中点的坐标；

（2）若，其中，求直线的斜率.

【24题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.

试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．

（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．

代入曲线的普通方程，得，则，

所以，点的坐标为．

（2）将代入，得，

因为，，所以．

得．由于，故．

所以直线的斜率为．

考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.

25. 设函数，，恒成立．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求证：．

【25题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）转化为，令

，求.

（2）要证，即证，结合均值不等式即可证明.

【小问1详解】

由题意知恒成立，即恒成立，

即恒成立

令

可得函数在上是增函数，在上是减函数，

所以，则，

即，整理得，解得，

综上实数的取值范围是.

【小问2详解】

由，知，即，

所以要证，

只需证，即证，

又

，成立.