四川省成都市第七中学2022-2023学年高三数学（文）上学期一诊模拟考试试题（Word版附解析）

高2023届高三一诊模拟考试

数学试题（文科）

考试时间：120分钟  总分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）

1. 已知集合，，则集合元素个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.

【详解】∵，

∴，即集合的元素个数为3.

故选：C.

2. 若复数z满足，则的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由复数除法运算可求得，由虚部定义得到结果.

【详解】由得：，

的虚部为.

故选：B.

3. “”是“方程表示椭圆”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先求出“方程表示椭圆”的充要条件，即可判断.

【详解】“方程表示椭圆”的充要条件为，即且.

故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B

4. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（    ）

A. 4 B. 8 C. 10 D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】利用扇形的弧长公式和圆心角，即可计算求解.

【详解】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.

故选：A.

5. 一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（    ）

A. 2.7 B. 2.9 C. 3.1 D. 3.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出关于的式子，根据对数的运算性质即可求解.

【详解】设注射个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则，

由得：

故的最大值为3.1,

故选：C

6. 如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函数值域，可求得答案.

【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，

该函数解析式为： ，

输出的函数值在区间 内 ，必有当时，，

当 时 ， ，

即得 ．

故选∶C．

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因，所以.

故选：C

8. 已知函数，则的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先函数的奇偶性排除两个选项，在根据函数的零点位置及范围内的函数值正反，得最符合的函数图象即可.

【详解】解：函数，定义域为，所以

所以函数为奇函数，故排除B，D选项；

当时，令得，所以函数最小正零点为，

则，则符合图象特点的是选项A，排除选项C.

故选：A.

9. 记数列是等差数列，下列结论中一定成立的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质，举反例判断ABD即可，根据基本量法判断C即可.

【详解】对A，若，则，但，故A错误；

对B，若，则，但，故B错误；

对C，设公差为，则由可得，即，故，故C正确；

对D，设公差为，则，故D错误；

故选：C．

10. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，点，在抛物线C上，若，则（    ）．

A. 4 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由焦准距求出，结合抛物线第一定义得，整理得，由代换即可求解.

【详解】抛物线的焦点F到准线的距离为4，所以，

依题意，，而，，

故，即，则，

故，

故选：A．

11. 在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（    ）

A. 平面内任意一条直线都不与平行

B. 平面和平面的交线不与平面平行

C. 平面内存在无数条直线与平面平行

D. 平面和平面的交线不与平面平行

【答案】B

【解析】

【分析】对A，根据与平面相交判断即可；对B，根据线面平行的判定与性质判断即可；对CD，延长，交于，根据线面平行的性质判断即可.

【详解】对A，因为与在平面内且不平行，故与相交，故与平面相交，若平面内任意一条直线与平行，则平面，矛盾，故A正确；

对B，由平行，平面，平面，故平面.设平面和平面的交线为，由线面平行的性质可得，又平面，平面，故平面，故B错误；

对CD，延长，交于，连接如图.

由题意，平面和平面的交线即直线，故当平面内的直线与平行时，与平面也平行，故C正确；

交线与平面交于，故D正确；

故选：B

12. 已知，且，则下列说法正确的有（    ）

①； ② ；③；  ④.

A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ③④

【答案】B

【解析】

【分析】令，利用导数讨论其单调性后可判断①②④正负，利用极值点偏移可判断③的正误.

【详解】令，则，

当时，；当时，；

故在上为增函数，在上为减函数，

而，，故，

而，故，故①错误.

又，故，

故②正确， 此时，故④正确.

设，

则（不恒为零），

故在上为增函数，

故，必有即，

所以，即，

由的单调性可得即，故③成立.

故选：B.

【点睛】思路点睛：导数背景下不等关系的讨论，注意根据等式或不等式的关系构建新函数，并结合单调性来比较大小关系，在不等式关系的讨论中，注意利用极值点偏移来处理大小关系.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卷的横线上．）

13. 若满足约束条件则的最大值为________.

【答案】5

【解析】

【分析】由约束条件做出可行域，将问题转化为在轴的截距，采用数形结合的方式即可得到结果.

【详解】

由约束条件可知，可行域如上图所示，

令，则，当在轴的截距最小时，最大

由，求得，则

所以

故答案为:

14. 已知（），则的最小值为___________.

【答案】4

【解析】

【分析】根据可得，再根据基本不等式求解即可.

【详解】因为，故，

当且仅当，即时取等号.故的最小值为4.

故答案为：4

15. 为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.

【答案】2

【解析】

【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.

【详解】由题意可知，, ,

故在中，，

故 ，，

在中，，

故 ，，

所以在中，，则 ,

故答案为：2

16. 已知，，且，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意，均在圆心为原点，半径为的圆上，再根据数量积公式，结合几何意义分析最值求解即可.

【详解】解：由题知，三点共圆，圆心为坐标原点，半径为，

所以，，

设，

数形结合可得在上的投影，

所以，，即，

故当，时有最小值，此时.

当时，时有最大值，

所以，

综上，的取值范围是，

所以，的最小值是

故答案为：

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分，每题12分．

17. 已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．

（1）求；

（2）若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函数基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；

（2）利用三角形面积公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.

【小问1详解】

因为，

所以，因为，所以，

又，且为锐角，所以，

所以．

因为．所以．所以．

【小问2详解】

设，，根据题设有，

所以，可得，

所以，

当且仅当时等号成立．

所以的最小值为．

18. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）现在用分层抽样方法在第二，三组共选取5人参加传染病知识学习，若从参加学习的5人中随机选取2人参加考试，求恰有一人来自第二组的概率；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

附：

，其中．

【答案】（1）   

（2）填表见解析；没有

【解析】

【分析】（1）根据分层抽样确定抽取人数，然后列举出所有结果，由古典概型概率公式可得；

（2）根据公式计算，然后查表可得.

【小问1详解】

根据分层抽样方法，

第二组抽取人数为，第三组抽取人数为，

假设第二组2人为，；第三组3人为，，，

从5人中抽取2人有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，

共10种选择，恰有一人来自第二组有6种，

故恰有一人来自第二组的概率为；

【小问2详解】

根据分层抽样方法，

潜伏期不超过6天的抽取人数为，

潜伏期超过6天的抽取人数为，

根据题意补充完整的列联表如下：

则，

所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

19. 如图所示，已知是边长为6的等边三角形，点M、N分别在，上，，O是线段的中点，将沿直线进行翻折，A翻折到点P，使得平面平面，如图所示.

（1）求证：；

（2）若，求点M到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，证得，利用面面垂直的性质，证得平面，进而证得；

（2）设点到平面距离为，结合，求得的值，结合平面，利用点到平面的距离与点到平面的距离相等，即可求解.

【小问1详解】

证明：因为是边长为6的等边三角形，且，

在中，可得，

又因为点是线段的中点，所以，

因为平面平面，且平面，平面平面，

所以平面，

又因为平面，所以.

【小问2详解】

解：由是边长为6的等边三角形，可得的高为，

因为,，可得，,

则的面积为，

又由平面，且，

所以三棱锥的体积为，

在直角中，，可得，

所以的面积为，

设点到平面的距离为，

因为，可得，解得，

又由，且平面，平面，所以平面，

则点到平面的距离与点到平面的距离相等，

所以点到平面的距离为.

20. 已知椭圆且四个点、、、中恰好有三个点在椭圆C上，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且，证明：直线l与定圆相切，并求出的值.

【答案】（1）；   

（2）证明见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的对称性判断椭圆经过的三点，再代入求解作答.

（2）直线l的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直的向量表示，并求出原点到直线l的距离，再讨论直线斜率不存在的情况作答.

【小问1详解】

由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，则不在椭圆上，有在椭圆上，

因此，解得，

所以椭圆C的方程为.

【小问2详解】

当直线l的斜率不存在时，设，则点，

因，则，解得，即原点O到直线l的距离为，

当直线l的斜率存在时，设直线，，

由消去y并整理得：，

有，，，

因，则

，整理得，满足，

原点O到直线l的距离，

综上得：原点O到直线l的距离恒为，即直线l与圆相切，

所以直线l与定圆相切，.

21. 设函数（）．

（1）求的单调区间；

（2）若的两个零点且，求证：

【答案】（1）答案见解析.   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；

（2）由题知，，进而将问题转化为证，再令，则，进而证明，再构造函数，，求解最小值即可证明.

【小问1详解】

解：由已知，

当时，在恒成立，在上单调递增；

当时，由得，

若时，，上单调递增，

若时，，在上单调递减；

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

【小问2详解】

解：由题：（）

因为是函数的两个零点，

所以，，即，，

要证，

只需证明，即证，

只需证，即证，

令，而，则，只需证明，

令函数，，求导得：

令函数，，

求导得，

则函数在上单调递增，于是有，

因此，函数在上单调递减，

所以，即成立，

所以原不等式得证．

【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意得，，进而将问题转化为证明，再根据题意，结合换元法进一步转化为证明证明即可.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，，点，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）过坐标原点O任作直线l与曲线C交于E、F两点，求的值．

【答案】（1）   

（2）12

【解析】

【分析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程即可；

（2）由韦达定理可知，根据余弦定理可知从而求解结果．

【小问1详解】

曲线的平面直角坐标系方程为，

故曲线的极坐标方程为．

【小问2详解】

设直线的倾斜角为，则，

∵，由韦达定理可知．

由余弦定理可知

．

∴．

23. 已知，，不等式恒成立.

（1）求证：；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）先根据绝对值三角不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；

（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.

【详解】（1）因为，所以，

因为，，，

所以，

所以，

故.

（2）因为，所以，

即，两边开平方得，

同理可得，，

三式相加，得.

【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力，是中档题.