2021广东省六校联盟高三上学期数学第二次联考试题答案
展开2021届广东省六校联盟高三上学期数学第二次联考试题答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | D | B | B | C | D | B | CD | AC | BCD | AB |
二、填空题
13. 14. 15．， 16.
部分客观题解析
9．将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝，故A错误；由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝－，k∈Z，得x＝是其对称轴，故B正确；令f (x)＝esin 2x，∴f (x＋π)＝esin[2(x＋π)]＝f (x)，故f (x)＝esin 2x的周期为π，且在上为增函数，故C错误；
由得，故D正确．
10．ab＝1＋(a＋b)≤(当且仅当a＝b>1时取等号)，
即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2，
∴a＋b有最小值2＋2，知A正确；
由ab－(a＋b)＝1，得ab－1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b>1时取等号)，
即ab－2－1≥0且ab>1，解得ab≥3＋2，
∴ab有最小值3＋2，知C正确．
11．选项A，由线面所成角的定义，令BC1与B1C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP和平面ABC1D1所成的角，当P移动时∠CPO是变化的，故A错误．
选项B，三棱锥D－BPC1的体积等于三棱锥P－DBC1的体积，而△DBC1大小一定，∵P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，∴三棱锥D－BPC1的体积为定值，故B正确；
选项C，∵在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，∴CB1⊥平面ABC1D1，∵C1P⊂平面ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故C正确；
选项D，直线CD和平面ABC1D1平行，∴直线CD和平面BPC1平行，故D正确.
12．对于A选项：
，，
数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；
对于B选项：斐波那契数列总有：，∴
，
故B正确；
对于D选项：，，
，，
。
所以
，故D选项错误.
16.关于x的方程f (x)＝kx有6个不同的根，等价于y＝f (x)与y＝kx的图象有6个交点，
因为f (x)＝
所以若0<x≤1，则－1<x－1≤0，则f (x)＝f (x－1)＋1＝＋1；
若1<x≤2，则0<x－1≤1，则f (x)＝f (x－1)＋1＝＋2；
若2<x≤3，则1<x－1≤2，则f (x)＝f (x－1)＋1＝＋3；
若3<x≤4，则2<x－1≤3，则f (x)＝f (x－1)＋1＝＋4；
若4<x≤5，则3<x－1≤4，则f (x)＝f (x－1)＋1＝＋5；
…
作出f (x)的图象如图，与图中OA、OB类似，分析O与点（1，2）、（2，3）、（5，8）、（6，9）、（7，10）的连线可知，当时，y＝f (x)与y＝kx的图象有6个交点，所以k的取值范围是.
17.（10分）
解：，，而∥，
∴，即， 3分
则 4分
（以下过程用数形结合解答的不扣分）
∴ 6分
∵
∴，解得 8分
∴. 10分
18.（12分）
选择①③解：（1）令，得，所以， 1分
令，得，
所以，又，所以， 3分
设数列的公比为，则，所以； 4分
（2）当时， ① 5分
又， ②
②–①， 6分
因为，所以，时也成立，所以. 8分
，
所以
. 12分
选择①②解：（1）令，得，所以，
令，得，
所以，又，所以，
设数列的公比为，则，所以； 4分
（2）当时， ①
又， ②
②–①，
因为，所以，时也成立，所以. 8分
以下与选择①③相同. 12分
选择②③解：（1）令，得，所以，
令，得，，
所以，，相除得，，，所以，
设数列的公比为，则，所以； 4分
（2）当时， ①
又， ②
②–①，
因为，所以，时也成立，所以. 8分
以下与选择①③相同. 12分
19.(12分)(1)证明 过点E作EG⊥CF，垂足为点G，连接DG，
可得四边形BEGC为矩形，
又四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝EG，AD∥BC∥EG，
∴四边形ADGE为平行四边形，
∴AE∥DG， 2分
又DG⊂平面DCF，AE⊄平面DCF， 3分
∴AE∥平面DCF. 4分
(2) 解
∵，平面ABCD平面BEFC，交线为，
∴CD平面BEFC.
以C为原点，分别以CB，CF，CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，（）
则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F (0，c,0)， 5分
因为＝(－，c－b,0)，＝(，b,0)，
且·＝0，||＝2，
所以解得b＝3，c＝4，
所以E(，3,0)，F (0,4,0)， 7分
（用平面几何或三角函数知识求得BE=3，CF=4的，请参照评分.）
设n＝(x，y，z)与平面AEF垂直，
则即
令x＝1，解得n＝， 9分
又因为AB⊥平面BEFC，＝(0,0，a)， 10分
所以＝＝＝， 11分
得到a＝，当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°. 12分
20.（12分）
(1)证明 a＝时，，
令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1， 1分
当x<0时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上为减函数，
当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴函数(x)的极小值也是最小值为， 3分
所以g(x)≥g(0)＝1，而≤1，所以ex－x≥，即f (x)≥0. 5分
(2)解 f (x)在(0，π)上有唯一的极值点等价于f′(x)＝＝0在(0，π)上有唯一的变号零点，
f′(x)＝0等价于a＝， 6分
设h(x)＝，x∈(0，π)，
h′(x)＝＝， 7分
∵x∈(0，π)，∴，
当0<x<时，，，h′(x)<0，h(x)在上为减函数，
当<x<π时，，，h′(x)>0，h(x)在上为增函数，
∴函数h(x)的极小值也是最小值为， 10分
又h(0)＝0，h(π)＝， 11分
所以当时，方程a＝在(0，π)上有唯一的变号零点，
所以a的取值范围是． 12分
21.（12分）
解：由AB⊥平面DEC知，
，
在中，
，
得, 2分
在中，, 4分
由余弦定理有
化简得，
所以，, 6分
在中，，
,
即, 10分
∴
答：建筑AB的高度为. 12分
22.（12分）
解：（1） 1分
当时，
，且在上单调递增， 2分
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增. 3分
∴当时，的递减区间为，递增区间为. 4分
（2）在上单调递增，
∵
，，
∴存在唯一的，使，即，得. 6分
而且，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴的唯一极小值即的最小值
7分
∵恒成立，
∴，得， 8分
∴，
设 9分
10分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴极小值
即. 12分
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