湖南省学年邵阳市邵东县第一中学高二下学期期末考试数学试题

湖南省邵东一中2018-2019学年下学期高二年级期末考试试题

数学（理）

分值：150分 时量：120分钟   

一 选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题所给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。)

1、等差数列中中， ，则数列的公差为(   )

A、1             B、2          C、3       D、4

2、三角形ABC中，，∠A=30°，则∠B等于(   )

A、60°          B、30°或150°    C、60°或120°       D、120°

3已知命题p:彐x∈R,x2-x+1≥0,命题q:若a2<b2,则a<b,下列命题为真命题的是(   )

A            B.       C.        D.

4若双曲线的一条渐近线经过点(3，— 4),则此双曲线的离心率为(    )

A             B.           C.           D.

5、下列命题为真命题的个数是（    ）。

①，是无理数；   

②命题“∃x0∈R，x＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；

③命题“若,则”的逆否命题为真命题；

④ 。

  A．1              B.2               C.3              D.4

6、与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ）。

  A．一个圆上     B. 一个椭圆上      C.双曲线的一支上  D.抛物线上

7、平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若′＝x＋2y－3z′，则x＋y＋z＝(     )。

A．1           B．          C．            D．

8、已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为(      )。

  A. 2            B．1          C.         D．

9、函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，  若不等式f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，且f(x)的极小值等于－196，则a的值是(      )。

  A．－          B．             C．5         D． 4

10、设，，都为大于零的常数，则的最小值为（    ）。

  A．         B．        C.        D．

11、如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为(     )。

  A．         B．          C．       D．－1

12、已知函数，关于的不等式只有两个整数解，

则实数的取值范围是（    ）

  A．   B．   C．   D．

二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13、设曲线y＝3x－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程                  。

14、已知，则的最小值为                 。

15、=                。

16、直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，已知，则线段的中点到准线的距离为                   。

三、解答题（本大题共6小题，共70 分）

17.(本小题10分)

已知数列满足,且

①)求及；

(2)设求数列的前n项和

18.(本小题12分)

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.且(b-c)2=a2—3bc

(I)求角A

(Ⅱ)若求角B及△ABC的面积

19.(本小题12分)

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,AA1⊥AB，AB=3，BC=5.

(l)求证:AA1⊥BC

(II)求二面角A1-BC1-B1的余弦值:

20、（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

21.(本小题12分)

已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2且椭圆C上的点P到F1、F2两点的距离之和为4

(I)求椭圆C的方程;

(II)若直线y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,O为坐标原点直线OM、0N的斜率之积等于

试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由

22.(本小题满分12分)

设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.

(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.

参考答案

一、选择题   BCBDB CBADB DC

二、填空题

13、       14、         15、    16、

三、解答题

17.(本小题10分)

解：（1），且，，数列{}是公比为的等比数列，

        ，，……………………5分

（2）由（1）知，

      ，又，数列是首项为2，公差为的等差数列，

………………………………………………10分

18.(本小题12分)

解：（1）,即

       在中，由余弦定理得

       又，    ……………………………………………………5分

（2）在中，由正弦定理得，即，，

      又，，，…10分

19. (本小题12分)

解：（1）证明： AA1C1C是边长为4的正方形，，

      又，，平面，

     AA1⊥BC………………………4分

（2）在中，有，

      分别以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系

      ，，

      设平面的法向量为，则，

取，则，同理得平面的法向量

  设二面角的平面角为，则……………10分

20、解：(1)∵x＝5时，y＝11，∴2a＋10＝11，∴a＝2，------------------3

(2)由(1)知该商品每日的销售量y＝x－32＋10(x－6)2，[]

∴商场每日销售该商品所获得的利润为

f(x)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6. ------------------6

f′(x)＝30(x－4)(x－6)，------------------8

令f′(x)＝0，得x＝4.

当3<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)在(3，4)上递增；

当4<x<6时，f′(x)<0，函数f(x)在(4，6)上递减，------------------10[]

∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值f(4)＝42. ------------------11

∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．-------12

21.(本小题12分)

解：（1）由已知，又点在椭圆上，

        ，，故椭圆方程为……………4分

（2）设，

      由得：

△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞01+4k2﹣m2＞0且

∵直线OM，ON的斜率之积等于，

,即：

又O到直线MN的距离为 ， ，

所以（定值）

22．【解析】(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝

方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝4a2－8.

(ⅰ)若Δ<0，即－<a<，在f(x)的定义域内f′(x)>0，故f(x)单调递增．

(ⅱ)若Δ＝0，则a＝或a＝－.

若a＝，x∈(－，＋∞)，f′(x)＝.

当x＝－时，f′(x)＝0，当x∈∪时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．

若a＝－，x∈(，＋∞)，f′(x)＝>0，f(x)单调递增．

(ⅲ)若Δ>0，即a>或a<－，

则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝.

当a<－时，x1<－a，x2<－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增．

当a>时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，

即f(x)在定义域上不单调．综上：实数a的取值范围为a≤.    6分

(2)因为g(x)＝ex＋x2－f(x)＝ex－ln(x＋a)，

当a≤2，x∈(－a，＋∞)时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)，故只需证明当a＝2时，g(x)>0.

当a＝2时，函数g′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增，

又g′(－1)<0，g′(0)>0，故g′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)，

当x∈(－2，x0)时，g′(x) <0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．

由g′(x0)＝0得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，

故g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝＋x0＝＝>0，所以g(x)≥g(x0)>0.

综上，当a≤2时，g(x)>0.     12分