专题09【精品】 正方形中的对称、折叠问题-2022年中考数学几何模型解题策略研究（课件+讲义）

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专题09 正方形中的对称、折叠问题正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．一、典例精析1．（2019·兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　A． B． C． D．【分析】由题意可得：DF⊥EC，易证△DOM≌△COE，∴OM=OE=DE-DO=．故选D． 【长度的计算——勾股定理】2．（2019·青岛）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若AD=4，则的长为　   　． 【分析】∵E点是CD中点，∴，∴，由折叠可知AG=AB=4，∴，设CF=x，则，，在Rt△EFG中，，在Rt△CEF中，，∴，解得：．∴CF的长为．【对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分】3．（2019·天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为　　．【分析】易证△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，BF=13，记AE与BF交点为H，，又，∴，，∴．故GE的长为．
4．（2019·上海）如图，在正方形中，是边的中点．将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的正切值是　　．【分析】如图，点F如图所示，连接BF、DF、EF、AF，记AF与BE交点为H，由对称可知AF⊥BE，点H是AF中点，又点E是AD中点，∴EH是△DF边所对的中位线，∴EH∥DF，∴∠EDF=∠AEB，∴tan∠EDF=tan∠AEB=2． 【构造对称——将军饮马问题】5．（2019·陕西）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为　　．【分析】作点M关于BD的对称点，根据对称性可知在AB上且，连接，则，∴，当、N、P共线时，此时，取到最大值．∵，∴∽△ABC，即是等腰直角三角形，∴，故PM-PN的最大值为2． 6．（2019·安徽）如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是　　A．0 B．4 C．6 D．8【分析】可以先考虑一边上点P的数量，再由对称性得所有点P的个数．考虑在AD上任取一点P，所得PE+PF的最小值和最大值．先求PE+PF最小值：作点E关于直线AD的对称点，连接、，则PE+PF=，当、P、F共线时，取到最小值，此时，显然>9，∴在AD上存在两个点P使得PE+PF=9，在正方形的边上有8个这样的点P，故本题选D．二、中考真题演练1．（2020•资阳）如图，在边长为4的正方形中，点是边上的一点，将沿翻折得到，连接，使，则的长是　　A．1 B． C． D．   解：过点作于点，并延长交于点，，，设，则，，将沿翻折得到，，，，，，，，，，，，，，．故选：．2．（2021•牡丹江）如图，正方形的边长为3，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接，，，则四边形的面积为　　A． B． C．6 D．5   解：设，，正方形的边长为3，，，由折叠可得，，，在中，，即，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，故选：．3．（2020•广东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为　　A．1 B． C． D．2   解：四边形是正方形，，，，将四边形沿折叠，点恰好落在边上，，，，，设，则，，，解得．故选：．4．（2021•东营）如图，正方形纸片的边长为12，点是上一点，将沿折叠，点落在点处，连接并延长交于点．若，则的长为 　　．   解：设与交于点，将沿折叠，点落在点处，，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案为：．5．如图，边长为1的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到，交于点，求的长．   解：延长交于，连接．四边形是正方形，，，，，由翻折的性质可知，，，，点是的中点，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，．