2022年小升初专题精炼 第17讲 长方体和正方体的认识、周长与面积 (2)

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2021-2022学年小升初

第17讲 长方体和正方体的认识、周长与面积

知识点一：长方体和正方体的认识

知识点二：长方体和正方体的表面积

1.表面积:一个立体图形所有面的面积　总和　叫作它的表面积。 

2.长方体和正方体的表面积。

(1)长方体的表面积=　2×(长×宽+长×高+宽×高)　,用字母表示为:S=　  2(ab+ah+bh)　  

(2)正方体的表面积=　6×棱长×棱长　,用字母表示为:S=　6a2　。

知识点三：长方体和正方体的体积

1.体积:一个立体图形所占空间的　大小　叫作它的体积。 

2.长方体的体积(容积)=　长×宽×高　,用字母表示为:V=　abh　

3.正方体的体积(容积)=　棱长×棱长×棱长　,用字母表示为:V=　a3　

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．（2021六上·兴化期中）从一个长方体木块中，挖掉两小块后（如图），它的表面积（　　）。

A．和原来同样大 B．比原来小 C．比原来大

2．三个棱长为a cm的正方体，拼成一个大长方体，长方体的表面积是（　　）cm2。 

A．12a2 B．14a2 C．16a2 D．18a2

3．（2021·牡丹）

一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、3厘米、2厘米，它最小的一个面的面积与表面积之比是（　　）。 

A．1：3 B．1：6 C．1：12

4．一个正方体的六个面上分别写着红、白、黄、绿、蓝、黑，根据下面三种摆放的位置，你知道黄的对面是（　　）。

A．绿 B．红 C．蓝 D．无法确定

5．（2020六上·襄汾期末）如图，一个由8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体，得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，（　　）

A．无法比较 B．表面积没有变化

C．表面积变小了 D．表面积变大了

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．（2021六上·太仓期中）把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的。（　　）

7．（2020六上·太原期末）两个长方体体积相等，表面积就一定相等。（　　）

8．（2020六上·凤凰期末）一个长方体的棱长总和是24厘米，长、宽、高的比是3：2：1，那么这个长方体的体积是6立方厘米。（　　）

9．（2020六下·新丰期中）将一个圆柱分成若干等份后，拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积和圆柱的表面积相等。（　　）

10．（2019六上·常熟期末）一个表面涂色的正方体被分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，如果其中两面涂色的小正方体有36个，那么原来正方体的体积是125立方厘米。（    ） 

三、仔细想，认真填(共7题；每空1分，共12分)

11．（2021六上·无为期末）把三个棱长是2分米的正方体，粘成-一个长方体，长方体的表面积是　     　平方分米，体积是　     　立方分米。

12．（3分）（2021六上·偃师期末）至少用　     　

个棱长1cm的小正方体可以拼成一个较大的正方体。拼成这个大正方体的体积是　          　，表面积是　           　。

13．（2021六上·兴化期中）一根40分米长的铁丝，焊接成长和宽都是2分米的长方体框架，长方体框架高是　     　分米。在它的表面蒙上彩色蜡光纸，至少需要买　     　平方分米的蜡光纸。

14．（2021六上·兴化期中）如图，长方体的长是16cm，高是4cm，阴影部分两个面的面积是200cm2，这个长方体的体积是　     　cm2。

15．（2021六上·合肥期中）一个长15厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体的木块，可以截成　     　块棱长2厘米的正方体木块。

16．（2020六上·新华期末）一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体。这些小正方体中两面涂色的有　     　个，一面涂色的有　     　个。

17．（2020六上·无锡期末）给下面的物体表面涂色，三面涂色的小正方体一共有　     　个。

四、计算能手(共2题；共10分)

18．（6分）（2018五下·云南月考）求下面图形的表面积和体积。(单位：dm)

（1）（3分）

（2）（3分）

19．（4分）（2020五下·驻马店期中）求下面图形的表面积和体积。

五、解答问题(共9题；共46分)

20．（5分）（2021六上·隆回期末）一辆运煤车的车厢是长方体，从里面量，长3米，宽1.5米，高2米。如果装煤高度是1.6米，这辆运煤车共装煤多少立方米？

21．（5分）用一张长10dm，宽8dm的长方形铁皮，做一个高2dm的无盖长方体铁皮箱，怎样做长方体的容积最大？（画出示意图），最大的容积是多少立方厘米？

22．（5分）用铁丝焊接一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝多少厘米？如果用这根铁丝焊接一个正方体，那么正方体的棱长是多少厘米？（接头处不计）

23．（5分）（2021六上·偃师月考）下图是一个长方体的展开图，求围成的长方体的体积。

24．（5分）（2021六上·兴化期中）星期日，小红家来了两个好朋友小明和小雨，小红拿出一瓶608毫升的饮料，分别倒入以下两个不同的杯子中。（单位：cm）

25．（5分）（2021六上·太仓期中）一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少56平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？

26．（5分）有一个长方体水池，长12米，宽8米，深4.5米。现用一台抽水机从河里往水池里放水，每分钟放水16m³，多长时间放满水池？

27．（5分）（2021六上·合肥期中）在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥翻了一个长方体水泥池，从外侧测量，长3米，宽1.8米，高2米，已知墙厚为10厘米。这个长方体水泥池的容积是多少立方米? （地面用原有的水泥地）

28．（6分）如图，一个棱长为5的正方体，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是多少？ 

六、综合提升(共3题；共12分)

29．（4分）（2020六上·安溪期中）如图是一个长方体纸盒。

（1）这个纸盒前面的面积是　     　平方分米，把纸盒的右面和底面展开后是长方形，这个长方形的长是　     　分米，面积是　     　平方分米。

（2）盒子里刚好能放16个同样大的正方体，每个正方体的体积是　     　立方分米。（纸盒的厚度忽略不计）

30．（6分）一个长方体的长是10cm，宽是长的70％，高与长的比是3：5。

（1）（3分）这个长方体的表面积是多少平方厘米？

（2）（3分）这个长方体的体积是多少立方厘米？

31．（2020六上·宿迁期中）如下图的几何体，每个小正方作的棱长是1分米。

（1）这个几何体的表面积是　     　平方分米；

（2）如果在上图的基础上增加一些相同的小正方体，至少要增加　     　个小正方体就可以组成一个较大的正方体。

答案解析

1．【答案】C

【完整解答】解：它的表面积比原来大。
故答案为：C。
【思路引导】挖掉两小块后，增加了两个小正方形的面积，所以现在表面积比原来大。

2．【答案】B

【完整解答】a×a×6×3-a×a×4
=a2×18-a2×4
=14a2
故答案为：B。
【思路引导】将三个相同的正方体拼成一个大长方体，表面积减少了4个接触面，长方体的表面积=正方体的表面积×3-重合的4个面的面积，据此列式解答。

3．【答案】C

【完整解答】解：最小的面的面积：3×2=6平方厘米，长方体的表面积：（6×3+6×2+3×2）×2=72平方厘米，所以它最小的一个面的面积与表面积之比是6：72=1：12。
故答案为：C。

【思路引导】这个长方体最小的一个面的面积就是长、宽、高中最小的2个数的乘积，长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，然后把最小的面的面积和表面积作比即可。

4．【答案】A

【完整解答】 一个正方体的六个面上分别写着红、白、黄、绿、蓝、黑，根据下面三种摆放的位置，黄的对面是绿。
 

故答案为：A。
【思路引导】观察最左边的图可知，黄与白、黑相邻，则黄不可能与白、黑相对；观察最右边的图可知，黄与蓝、红相邻，则黄不可能与蓝、红相对，那么黄的对面是绿，据此解答。

5．【答案】B

【完整解答】解：得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，表面积没有变化。
故答案为：B。
【思路引导】一个由8个小正方体拼成的大正方体，去掉一个小正方体，少了小正方体的3个面，又露出了小正方体的3个面，所以表面积没有变化。

6．【答案】（1）正

【完整解答】解：把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，分成的8个小正方体都是三面涂色的。原题说法正确。
故答案为：正确。

【思路引导】把一个表面涂满色的正方体棱长二等分，共能分成8个小正方体，每个正方体都是有三面涂色，另外三个面是切面，没有涂色。

7．【答案】（1）错误

【完整解答】解：两个长方体体积相等，表面积不一定相等。
故答案为：错误。

【思路引导】两个长方体体积相等，它们的长、宽、高不一定相等，则表面积就不一定相等。

8．【答案】（1）正

【完整解答】解：24÷4=6厘米，6÷（3+2+1）=1厘米，1×3=3厘米，1×2=2厘米，1×1=1厘米，3×2×1=6立方厘米，所以这个长方体的体积是6立方厘米。
故答案为：正确。
【思路引导】

长方体的长宽高的和=长方体的棱长总和÷4，那么1份表示的长度=长方体的长宽高的和÷长方体的长宽高占的份数和，那么长方体的长=1份表示的长度×长方体的长占的份数，长方体的宽=1份表示的长度×长方体的宽占的份数，长方体的高=1份表示的长度×长方体的高占的份数，所以长方体的体积=长×宽×高。

9．【答案】（1）错误

【完整解答】解：将一个圆柱分成若干等份后，拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积和圆柱的表面积不相等 ，所以说法错误。
故答案为：错误。
【思路引导】将一个圆柱分成若干等份后，拼成一个近似长方体，这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽=圆柱底面半径，长方体的高=圆柱的高，所以拼成长方体后表面积正好比圆柱的表面积增加了2个以圆柱的高为长，以圆柱的底面半径为宽的长方形面，本题据此进行解答。

10．【答案】（1）正

【完整解答】解：每个棱中间（除去棱长两端的2个正方体）的正方体都是2个面涂色的，每条棱的长度：36÷12+2=5（厘米），体积：5×5×5=125（立方厘米）。原题说法正确。
故答案为：正确。

【思路引导】正方体有12条棱，用36除以12即可求出每条棱中间小正方体的个数，因此再加上2就是大正方体的棱长，然后用棱长乘棱长乘棱长求出正方体体积即可。

11．【答案】56；24

【完整解答】解：表面积：2×2×14=56（平方分米）；体积：2×2×2×3=24（立方分米）。
故答案为：56；24。

【思路引导】把三个棱长2分米的正方体粘成长方体后，表面积是14个边长2分米的小正方形面的面积之和；体积是棱长2分米的3个小正方体的体积之和。

12．【答案】8；8立方厘米；24平方厘米

【完整解答】解：2×2×2=8（个），至少用8个棱长1cm的小正方体可以拼成一个较大的正方体；
2×2×2=8（立方厘米）；
2×2×6=24（平方厘米）。
故答案为：8；8立方厘米；24平方厘米。

【思路引导】

较大的正方体的棱长是2个小正方体，棱长是2厘米，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，正方体的表面积=正方体的棱长×正方体的棱长×6。

13．【答案】6；56

【完整解答】解：40÷4=10分米，10-2-2=6分米，所以长方体框架高是6分米；2×2×2+2×6×4=56平方分米，所以至少需要买56平方分米的蜡光纸。
故答案为：6；56。
【思路引导】长方体框架的长宽高之和=铁丝的长度÷4，所以长方体框架的高=长方体框架的长宽高之和-长方体框架的长-长方体框架的宽；长方体的表面积=长方体的长×长方体的宽×2+长方体的长×长方体的高×2+长方体的高×长方体的宽×2。

14．【答案】640

【完整解答】解：200÷（16+4）=10cm，4×16×10=640cm2，所以这个长方体的体积是640cm2。
故答案为：640。
【思路引导】从图中可以得到，长方体的高=阴影部分的面积÷（长+高），所以这个长方体的体积=长×宽×高。

15．【答案】42

【完整解答】解：（15÷2）×（6÷2）×（4÷2）
≈7×3×2
=42（块）
故答案为：42。

【思路引导】长可以截2个小正方体，宽可以截3个小正方体，高可以截2个小正方体，他们的积就是一共可以截的小正方体的块数。

16．【答案】48；88

【完整解答】解：两面涂色的有：
（8-1-1）×4+（6-1-1）×4+（4-1-1）×4
=24+16+8
=48（个）
一面涂色的有：
24×2+12×2+8×2
 

=48+24+16
=88（个）
故答案为：48；88。
【思路引导】每条棱长上除去两端的2个正方体都是两面涂色的。每条长边上有6个，每条宽边上有4个，每条高上有2个，长宽高各有4条，由此计算两面涂色的个数。每个面中间的小正方形面都是1面涂色的，每个长8、宽6的面中间共有24个，每个长8、宽4的面中间共有12个，每个长6、宽4的面中间共有8个；这样把所有面中间正方形面的个数相加即可求出一面涂色的个数。

17．【答案】10

【完整解答】解：7＋3=10（个）
故答案为：10。
【思路引导】三面涂色的小正方体在这个大正方体的8个顶点处，但是其中一个顶点处少了1个小正方体，又露出来3个三面涂色的小正方体，所以三面涂色的小正方体一共有的个数=7＋3=10个。

18．【答案】（1）表面积：1200 dm2，体积：2700 dm3

（2）表面积：384 dm2，体积：512 dm3

【完整解答】（1）长方体的表面积=（18×15+18×10+15×10）×2=1200平方分米；
长方体的体积=18×15×10=2700立方分米；
（2）正方体的表面积=8×8×6=384平方分米；
正方体的体积=8×8×8=512立方分米。

【思路引导】 长方体的表面积=(长× 宽 + 长×高 + 宽×高)×2  ；长方体的体积=长×宽×高；正方体的表面积=棱长×棱长×6；正方体的体积=棱长×棱长×棱长，代入数据即可。

19．【答案】表面积=（5×5+5×3+5×3）×2+2×2×6-2×2×2
=（25+15+15）×2+24-8
=55×2+24-8
=110+24-8
=126（平方厘米），
体积=5×5×3+2×2×2
 

=75+8
=83（立方厘米）。

【思路引导】图中的表面积=长方体的表面积（长×宽+长×高+宽×高）+正方体的表面积（棱长×棱长×6）-挨在一起的面（正方体的2个面的面积）；
 

图中的体积=长方体的体积（长×宽×高）+正方体的体积（棱长×棱长×棱长）。

20．【答案】解：3×1.5×1.6
=4.5×1.6
=7.2（立方米）

答：这辆运煤车共装煤7.2立方米。

【思路引导】这辆运煤车共装煤的体积=长×宽×高，据此代入数值作答即可。

21．【答案】解：如图：(10-2×2)×(8-2×2)×2×100=6×4×200=4800(立方厘米)答：容积最大是4800立方厘米.

【思路引导】在这个长方形铁皮的四个角各剪去一个边长是2分米的正方形，然后把铁皮折成一个长方体；长方体的长是(10-2×2)，宽是(8-2×2)，高是2，然后根据长方体体积公式计算容积即可.

22．【答案】解： （8+6+4）×4
=18×4
=72（厘米）

72÷12=6（厘米）

答：至少需要铁丝72厘米，正方体的棱长是6厘米。

【思路引导】根据题意可知，用铁丝焊接一个长方体框架，要求至少需要铁丝多少厘米，就是求长方体的棱长总和，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，据此列式计算；
 

如果用这根铁丝焊接一个正方体，铁丝的长度是正方体的棱长总和，正方体的棱长总和÷12=正方体的棱长，据此列式解答。

23．【答案】解：6-4=2（厘米）
10×4×2=80（立方厘米）
答：围成的长方体的体积是80立方厘米。

【思路引导】围成的长方体的高=宽和高的和-宽，所以长方体的体积=长×宽×高，据此代入数值作答即可。

24．【答案】解：608÷（8×5+6×6）
=608÷76
=8（cm）
6×6×8=288（毫升）
答：这时小明的杯子中有288毫升饮料。

【思路引导】两个杯子中饮料的高度=这瓶饮料的毫升数÷（小雨杯子的底面积+小明杯子的底面积），所以这时小明的杯子中有饮料的毫升数=两个杯子中饮料的高度×小明杯子的底面积，据此代入数值作答即可。

25．【答案】解：56÷4÷2=7（厘米）
7+2=9（厘米）
7×7×9=441（立方厘米）
答：原来长方体的体积是441立方厘米。

【思路引导】这个长方体是特殊的长方体，底面是正方形，四个侧面是完全相同的长方形。高减少2厘米后，表面积减少的部分是四个高是2厘米的侧面的面积，用56除以4求出一个面的面积，再除以2即可求出底面的边长。用底面边长加上2厘米求出高。用底面积乘高求出原来长方体的体积即可。

26．【答案】解答：12×8×4.5÷16＝27（分钟）

答：27分钟放满水池。

【思路引导】先求出长方体水池的容积，再除以每分钟放水的体积，就是放满水池的时间。

27．【答案】解：10厘米=0.1米
（3-0.1×2）×（1.8-0.1×2）×2
 

 =2.8×1.6×2
=8.96（立方米）
答：这个长方体水泥池的容积是8.96立方米。

【思路引导】计算长方体的容积是从长方体内部测得的数据，长方体的容积=（从外侧测量的长-2个墙厚）×（从外侧测量的宽-2个墙厚）×高。

28．【答案】解：大正方体的表面积为：5×5×6=150； 

一个小长方体的表面积（不包括前后面）：（1×2+1×2）×2=8；

6个小长方体的表面积（不包括前后面）：8×6=48；

所以这个图形的面积为：150+48=198；

答：挖后此形体的表面积是198．

【思路引导】此题可先求出大正方体的表面积，然后求出一个小长方体的表面积就能求得六个小孔的表面积（去掉前面和后面的面积），由此即可解决问题．此题中小正方体要去掉小孔部分前后面的面积，这是此题的关键． 

29．【答案】（1）8；6；12

（2）1

【完整解答】解：（1）前面的面积 ：4×2=8（dm²）
4＋2=6（dm）
6×2=12（dm²）
（2）（4×2×2）÷16
=（8×2）÷16
=1（立方分米）
故答案为：（1）8；6；12；（2）1。
【思路引导】（1）纸盒的前面是长方形，面积=长×宽，把纸盒的右面和底面展开后是长方形，这个长方形的长是纸盒的长＋高，宽是2dm，面积=长×宽；
（2）每个正方体的体积=纸盒的体积÷个数，其中纸盒的体积=长×宽×高，据此列式计算即可。

30．【答案】（1）宽：10×70％=7(cm)高：10× =6(cm)

(10×7+6×10+7×6)×2=(70+60+42)×2=172×2=344(cm2)

答：这个长方体的表面积是344 cm2.

（2）解：10×7×6=420(cm3)

答：这个长方体的体积是420cm3.

【思路引导】长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，长方体体积=长×宽×高，先求出长方体的宽和高，再根据公式计算即可.

31．【答案】（1）32

（2）19

【完整解答】（1）1×1×6×8-8×2=48-16=32（平方分米），所以这个几何体的表面积是32平方分米；
（2）3×3×3-8=27-8=19（个），所以至少要增加19个小正方体就可以组成一个较大的正方体。
故答案为：（1）32；19。
【思路引导】表面积=每个小正方体的表面积×小正方体数量-重叠面的数量×2；
至少要增加小正方体的数量=大正方体的棱长3-已有小正方体的数量。