选择性必修第一册 第4章 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题试卷
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这是一份选择性必修第一册 第4章 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题试卷，共12页。
习题课 等差数列前n项和性质的综合问题学习目标 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法．一、等差数列中奇、偶项的和问题1 我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？提示 S2n＝eq \f(2na1＋a2n,2)＝n(a1＋a2n)，S2n－1＝eq \f(2n－1a1＋a2n－1,2)，由等差数列的性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq可知，a1＋a2n＝an＋an＋1，a1＋a2n－1＝2an，即S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示．问题2 当总项数为2n项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？提示 S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝eq \f(na1＋a2n－1,2)＝nan，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝eq \f(na2＋a2n,2)＝nan＋1，则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(nan＋1,nan)＝eq \f(an＋1,an).问题3 当总项数为2n－1项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？提示 S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＝eq \f(na1＋a2n－1,2)＝nan，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝eq \f(n－1a2＋a2n－2,2)＝(n－1)an，则有S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).知识梳理1．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an).2．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1).3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．例1 (1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(11,13)，则公差d＝________.答案 2解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝120，,\f(S奇,S偶)＝\f(11,13)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S奇＝55，,S偶＝65，))所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.(2)有两个等差数列{an}，{bn}满足eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝eq \f(7n＋2,n＋3)，求eq \f(a5,b5).解 方法一 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则eq \f(a1＋a2＋a3＋…＋an,b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝eq \f(na1＋\f(nn－1,2)d1,nb1＋\f(nn－1,2)d2)＝eq \f(a1＋\f(n－1,2)d1,b1＋\f(n－1,2)d2)，则有eq \f(a1＋\f(n－1,2)d1,b1＋\f(n－1,2)d2)＝eq \f(7n＋2,n＋3)，①又由于eq \f(a5,b5)＝eq \f(a1＋4d1,b1＋4d2)，②观察①②，可在①中取n＝9，得eq \f(a1＋4d1,b1＋4d2)＝eq \f(7×9＋2,9＋3)＝eq \f(65,12).故eq \f(a5,b5)＝eq \f(65,12).方法二 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，则有eq \f(An,Bn)＝eq \f(7n＋2,n＋3)，其中An＝eq \f(a1＋ann,2)，由于a1＋a9＝2a5.即eq \f(a1＋a9,2)＝a5，故A9＝eq \f(a1＋a9·9,2)＝a5×9.同理B9＝b5×9.故eq \f(A9,B9)＝eq \f(a5×9,b5×9).故eq \f(a5,b5)＝eq \f(A9,B9)＝eq \f(7×9＋2,9＋3)＝eq \f(65,12).方法三 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn＝aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(b,a)))，根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0)．所以a5＝A5－A4＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.所以eq \f(a5,b5)＝eq \f(65k,12k)＝eq \f(65,12).方法四 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由eq \f(A2n－1,B2n－1)＝eq \f(an,bn)，有eq \f(a5,b5)＝eq \f(A9,B9)＝eq \f(7×9＋2,9＋3)＝eq \f(65,12).反思感悟 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项．跟踪训练1 (1)等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于( )A．6 B．8 C．10 D．12答案 C解析 ∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120，∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，∴S2n＋1＝S奇＋S偶＝252＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a2n＋1)),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋1))an＋1＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋1))，解得n＝10.(2)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案 －4解析 设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②由①②得d＝－4.(3)若等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和分别为Sn，Tn，eq \f(an,bn)＝eq \f(n＋1,n)，则eq \f(S9,T9)＝________.答案 eq \f(6,5)解析 由等差数列前奇数项和性质，得eq \f(S9,T9)＝eq \f(9a5,9b5)＝eq \f(a5,b5)＝eq \f(5＋1,5)＝eq \f(6,5).二、含绝对值的等差数列的前n项和问题4 已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和．提示 设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn.则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n，当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－8n＋32.∴Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－n2＋8n，n≤4，,n2－8n＋32，n≥5.))知识梳理1．若一个等差数列a10，且ak≤0，ak＋1>0，则其绝对值的前n项和为Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－Sn，1≤n≤k，,Sn－2Sk，n>k，))n∈N*.2．若一个等差数列a1>0，d0，此时bn＝|an|＝an，∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2.②当n≥51时，an0，得n0；当n≥18时，an0，S130，S130，a70，a6>|a7|，且公差d0，则2n－5>0，∴n≥3.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和分别为Sn和Tn，且满足eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,3n＋2)，则eq \f(a6,b4)等于( )A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(13,14) D．1答案 D解析 由题意，令Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(3n＋2)，∴eq \f(a6,b4)＝eq \f(S6－S5,T4－T3)＝eq \f(78k－55k,56k－33k)＝1.13．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n＋1,4n－2)(n∈N*)，则eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝________.答案 eq \f(41,78)解析 因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以eq \f(a10,b3＋b18)＋eq \f(a11,b6＋b15)＝eq \f(a10＋a11,b10＋b11)＝eq \f(10a10＋a11,10b10＋b11)＝eq \f(S20,T20)＝eq \f(2×20＋1,4×20－2)＝eq \f(41,78).14．已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案 eq \f(6,5)解析 由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇＝eq \f(6a1＋a11,2)＝6a6，其偶数项的和为S偶＝eq \f(5a2＋a10,2)＝5a6，所以其奇数项的和与偶数项的和之比为eq \f(6,5).15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则eq \f(a1＋a3＋…＋a29,a2＋a4＋…＋a30)的值为( )A.eq \f(14,15) B.eq \f(16,17) C.eq \f(23,24) D.eq \f(2,3)答案 C解析 由题意，得数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等差数列，a1＝6，S30＝11×40＋3×10＝470，设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差为d，由等差数列前n项和公式，得S30＝30×6＋eq \f(30×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－1)),2)d＝470，解得d＝eq \f(2,3)，所以an＝6＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)n＋eq \f(16,3)，a1＋a3＋…＋a29＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋a29))×15,2)＝15a15，a2＋a4＋…＋a30＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋a30))×15,2)＝15a16，所以eq \f(a1＋a3＋…＋a29,a2＋a4＋…＋a30)＝eq \f(a15,a16)＝eq \f(\f(2,3)×15＋\f(16,3),\f(2,3)×16＋\f(16,3))＝eq \f(23,24).16．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为2的等差数列．(1)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式；(2)若bn＝(－1)nan，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n项和Tn.解 (1)因为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为2的等差数列，且eq \f(S1,1)＝a1＝1，所以eq \f(Sn,n)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，又因为an＝Sn－Sn－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n≥2))，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，又因为a1＝1符合n≥2的情况，所以an＝4n－3.(2)因为bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))nan＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4n－3))，当n为偶数时，Tn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－9))＋13＋…＋[－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4n－7))]＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4n－3))，所以Tn＝[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋5]＋[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－9))＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4×eq \f(n,2)＝2n，当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))＋[－(4n－3)]＝1－2n，综上可知，Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2n，n为偶数，,1－2n，n为奇数.))
