2022广东中考数学总复习 4几何图形初步与三角形 练习题

这是一份2022广东中考数学总复习 4几何图形初步与三角形 练习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC和△DEC中，AC=DC,若添加条件后使得△ABC≌△DEC，则下列条件中，添加不正确的是 ( )
A.∠B=∠E,∠A=∠D B.AB=DE,∠B=∠E
C.BC=EC,∠BCE=∠DCA D.BC=EC,AB=DE
2.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为
( )
A.35° B.40°
C.45° D.50°
3.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,点D,E分别是边AB,BC的中点,CD与AE交于点O,则OD的长
( )
A.1.5 B.1.8
C.2 D.2.4
4.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交边BC于点D.若∠B=45°,∠C=55°,则∠ADC的大小为 ( )
A.80° B.85°
C.95° D.100°
5.如图，DE∥BC，并将△ABC的面积平分，则下列等式成立的是 ( )
A.AD=2BD B.AE=2CE
C.2BC=3DE D.BC=2DE
6.当地时间2019年4月15日下午，法国巴黎圣母院发生火灾，大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶．烧毁前，为测量此塔顶B的高度，在地面选取了与塔底D共线的两点A,C，A,C在D的同侧，在A处测量塔顶B的仰角为27°，在C处测量塔顶B的仰角为45°，A到C的距离是 89.5米．设BD的长为x米，则下列关系式正确的是 ( )
A.tan27°=xx+89.5 B.cs27°=xx+89.5
C.sin27°=xx+89.5 D.tan27°=x+89.5x
7.某工人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险那么梯子的长至少为 ( )
A.833米 B.433米 C.83米 D.8米
8.《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点(AD分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S1，S2，S3，S4，S5.若S2=18,S3=6,则S4的值为 ( )
A.9 B.18
C.27 D.54
9.如图，已知△ABC和△DEF位似，位似中心为点O，且AODO=32.若△ABC的面积为18，则△DEF的面
积为 ( )
A.8 B.2
C.6 D.9
二、填空题
10.如图，点B在射线AE上，到∠CAD两边的距离相等.若使△ABC≌△ABD，则还需添加的一个条件是 .(只填一个)
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,中线AD,CE相交于点F,则AF的长为 .
12.如图是一副三角板叠放的示意图,则∠α= .

13.在三角形的所有外角（每个顶点处只取一外角）中，锐角最多有 个.
14.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB
相交于点F,E,若CD=5,BC=4,则CE的长度为 .
15.在△ABC中,AB=8,AC=6,D是线段AB上的一点,且AD=3,若E是线段AC上的一点,且△ADE与△ABC相似,则AE= .
16.两个等腰直角三角板如图放置,F为BC的中点,AG=1,BG=3,则CH的长为 .
17.如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②AMAB=ANAC；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=2PC,其中正确的是 (填序号).
三、解答题
18.近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛.如图无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行12米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米?(参考数据：sin22°≈38,cs22°≈1516,tan22°≈25)
19.人字折叠梯完全打开后如图1所示,B,C是折叠梯的两个着地点,D是折叠梯最高级踏板的固定点.图2是它的示意图,AB=AC,BD=140 cm,∠BAC=40°,求点D离地面的高度DE.(结果精确到0.1 cm;参考数据：sin70°≈0.94,cs70°≈0.34,sin20°≈0.34,cs20°≈0.94)
20.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木?”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门 15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上).
21.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证：BD=CE.
22.如图，△ABC中，AB=AC，点E,F在边BC上，BE=CF,点D在AF的延长线上，AD=AC.
(1)求证：△ABE≌△ACF;
(2)若∠BAE=30°，则∠ADC= .
23.如图,A,B,C三点共线,AE∥BD,BE∥CD,且B是AC中点,求证：BE=CD.
24.为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图,一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向,航行 100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°,求B,C两岛及A,C两岛的距离(结果保留到整数,2≈1.41, 6≈2.45).
25.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2=AE·AB，连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD=3，CE=94，求AC的长．
26.如图,点A,C,D,E在同一条直线上,BC⊥AE,FD⊥AE,AB∥EF,且AB=EF.
(1)求证：△ABC≌△EFD;
(2)若AE=8,CD=2,∠A=45°,求AB的长.
27.在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，E为CA延长线上一点，且AC=2AE=2,BC=kCE,延长ED交BC于点F.
(1)若AE=AD,请判断△CDF的形状，并给出证明；
(2)若k=1,求证：EDDF=CACF;
(3)若k=43，求ED的长.
28.已知：如图，斜坡AP的坡度为1:2.4，坡长AP为 26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据：sin76°≈0.97,cs76°≈0.24,tan76°≈4.01)
几何图形初步与三角形
1.B【解析】选项A中，三角形中两个角对应相等且其中一个角所对的边也对应相等的两个三角形全等；选项B中，两边及其中一边所对的角相等的两个三角形不一定全等；选项C中，三角形中两条边对应相等且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等；选项D中，三边对应相等的两个三角形全等,故选B.
2.C【解析】∵∠ABF=∠EBF,,BF=BF,∠AFB=∠EFB=90°，∴△ABF≌△EBF（ASA），∴∠BAF=
∠BEF,AF=EF.又 AE⊥BD，∴BD是AE的垂直平分线，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BED=
∠BAD=180°－∠ABC－∠C=95°，∴∠CDE=∠BED－∠C=45°，故选C．
3.C【解析】∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=12AB=12×12=6.∵点O为中线CD和AE的交点，∴点O为△ABC的重心，∴OD=13CD=13×6=2,故选C．
4.B 【解析】由三角形内角和定理得∠BAC=80°,因为AD平分∠BAC，所以∠DAB=∠DAC=40°,所以∠ADC=∠B+∠DAB=45°+40°=85°，故选B.
5.D【解析】因为DE∥BC,S△ABC=2S△ADE,所以△ADE∽△ABC,所以AD2∶AB2=DE2∶BC2=AE2∶AC2=1∶2,所以AB=2AD,BC=2DE,AC=2AE,所以成立的等式是选项D,故选D.
6.A【解析】∵∠BCD=45°=∠DBC，∴CD=BD=x，在Rt△ABD中，tan27°=xx+89.5，故选A.
7.A【解析】如图，∠C=90°，AC=4米，∴sinB=ACAB，即AB=ACsinB=432=833（米），∵倾斜角∠B不大于60°，∴梯子的长至少为833（米），故选A．
8.C【解析】如图，连接FG.∵DG∥AC，∴EDDA=EHHF.∵EF∥BC，∴DEEB=DHHG.∵AD=BE，∴EHHF=DHHG.又∠FHG=∠EHD，∴△FGH∽△EDH.∵S3S2=GHDH=618=13，∴S△FHGS△EHD=19.又S△FHG=12S3=3，∴S△EHD=3×9=27，即S4=27，故选C.
9.A 【解析】因为△ABC和△DEF位似，位似中心为点O，所以ACDF=AODO=32，所以S△ABCS△DEF=(ACDF)2=94，所以S△DEF=49S△ABC=8，故选A.
10.AC=AD(∠C=∠D或∠ABC=∠ABD或∠CBE=∠DBE)【解析】由题意可知,点B到∠CAD的两边的距离相等，∴AE是∠CAD的平分线，∴∠CAB=∠DAB，加上公共边 AB=AB，要判定△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，若运用“SAS”来判定，则需添加AC=AD；若运用“AAS”来判定，则需添加∠C=∠D；若运用“ASA”来判定，则需添加∠ABC=∠ABD或∠CBE=∠DBE.综上所述，填以上四种答案均可.
11.2【解析】∵AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∴BD=DC=4，在Rt△ABD中，AB=5，由勾股定理得AD=3.易知点F是△ABC的重心，∴AF=23AD=2，即AF的长为2．
12.75°【解析】如图,由题意可知,∠1=45°,∴∠2=45°,∴∠α=45°+30°=75°.
13.1【解析】因为一个三角形最多有一个钝角，所以一个三角形的外角中最多有一个锐角.
14.1【解析】∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD=AD=12AB，∵CD=5，∴AB=25，∵BC=4,由勾股定理得AC=AB2+BC2=2，∵CD=BD，∴∠BCD=∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAF +
∠ACF=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACF=90°，∴∠CAF=∠BCD=∠B，∴△ACE∽△BCA，∴CECA= ACBC，∴CE=AC2BC=224=1．
15.94或4【解析】当AD和AB是对应边时，△ADE∽△ABC，ADAB=AEAC，即38=AE6，解得AE=94;当AD和AC是对应边时，△AED∽△ABC，ADAC=AEAB，即36=AE8，解得AE=4，综上所述，AE=94或4．
16.83【解析】因为AG=1,BG=3,所以AB=4.因为△ABC是等腰直角三角形,所以BC=42,∠B=∠C=45°.因为F是BC的中点,所以BF=CF=22.因为△DEF是等腰直角三角形,所以∠DFE=45°,所以
∠CFH=180°−∠BFG−45°=135°−∠BFG.又因为在△BFG中,∠BGF=180°−∠B−∠BFG=135°−∠BFG,所以∠BGF=∠CFH,所以△BFG∽△CHF,所以CFBG=CHBF,所以CH=CF·BFBG=83.
17.①②③④ 【解析】∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴△CMB和△CNB都是直角三角形.∵P是斜边BC的中点，∴PM=12BC，PN=12BC，∴PM=PN，结论①正确；由∠ANC=∠AMB=90°，∠A=∠A可得△ANC∽△AMB，∴AMAN=ABAC，即AMAB=ANAC，结论②正确；在△ABC中，∠A=60°，∠ABM=∠ACN=30°，∴∠CBM+∠BCN=180°−60°−30°× 2=60°.又∵PM=PN=PB=PC，∴∠CBM=∠BMP，∠BCN=∠CNP.又∵∠MPC=∠CBM+∠BMP=2∠CBM，∠BPN=∠BCN+ ∠CNP=2∠BCN，∴∠MPC+∠BPN=2(∠CBM+∠BCN)=2×60°=120°，∴∠MPN=180°−120°=60°，∴△PMN是等边三角形，结论③正确；当∠ABC=45°时，△BNC是等腰直角三角形，∴BN=22BC.又BC=2PC，∴BN=2PC，结论④正确.综上所述，正确的结论是①②③④.
18.【解析】由题得AB=12米,∠OAB=22°,∠OBD=45°.
过点O作OD⊥AB于点D.
在Rt△OBD中,∠OBD=45°,
∴设BD=OD=x 米.
在Rt△ADO中，∠DAO=22°,
∴tan22°=ODAD≈25,
∴xx+12=25,
∴x=8，
45-8=37(米).
答：这栋楼的高度是37米.
19.【解析】在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠B=70°.
在Rt△DBE中,DB=140 cm,
∴DE=DBsin70°≈140×0.94=131.6 cm.
答:此时点D离地面的高度DE为131.6 cm.
20.【解析】根据题意得DH=100,DK=100,AH=15.
∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A.
∵∠CKD=∠AHD=90°,
∴△CDK∽△DAH,
∴CKDH=DKAH,即CK100=10015,
∴CK=2 0003,
∴出南门2 0003步恰好看到位于A处的树木.
21.【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE,AB=AC,
又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC.
∵在△ADB和△AEC中，AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE.
22.【解析】（1）证明：∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
在△ABE和△ACF中，AB=AC,∠B=∠ACB,BE=CF,
∴△ABE≌△ACF(SAS).
（2）75° ;由（1）得△ABE≌△ACF,
∴∠BAE=∠CAF=30°,
又∵AD=AC,
∴∠ADC=∠ACD,
在△ADC中，∠ADC=180°−∠CAF2=180°−30°2=75°.
23.【解析】∵AE∥BD，BE∥CD，
∴∠A=∠DBC，∠ABE=∠C，
∵B是AC中点，
∴AB=BC，
在△ABE和△BCD中，∠A=∠DBC,AB=BC,∠ABE=∠C,
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴BE=CD．
24.【解析】由题意知∠BAC=45°,∠FBA=30°,∠EBC=45°,AB=100(海里),
过点B作BD⊥AC于点D,
∵∠BAC=45°,
∴△BAD为等腰直角三角形,
∴BD=AD=502(海里),∠ABD=45°,
∴∠CBD=180°−30°−45°−45°=60°,
∴∠C=30°,
∴在Rt△BCD中,BC=1002≈141(海里),CD=506(海里),
∴AC=AD+CD=502+506≈193(海里).
25.【解析】(1)证明:∵AD是角平分线,
∴∠BAD=∠DAE.
∵AD2=AE·AB，
∴ABAD=ADAE,
∴△ABD∽△ADE.
(2)∵△ABD∽△ADE,
∴∠B=∠ADE.
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,
∴∠EDC=∠BAD=∠DAE.
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAD,
∴CDAC=CECD,即3AC=943,
∴AC=4.
26.【解析】（1）证明：∵AB∥EF,
∴∠A=∠E.
∵FD⊥AE，BC⊥AE,
∴∠ACB=∠EDF=90°.
∵AB=EF，
∴△ABC≌△EFD(AAS).
（2）∵AE=8，CD=2,
∴AC+ED=6.
由（1）可得AC=ED,
∴AC=3.
∵在Rt△ACB中，∠A=∠B=45°,
∴AB=32.
27.【解析】(1)△CDF为等边三角形.
证明：∵AC=2AE=2,AD=AE,
∴AD=1,AC=2.
∵CD⊥AB,∴∠CAD=60°,∠ACD=30°,
∴∠E=∠ADE=30°.
∵∠BDF=∠ADE=30°,
∴∠CDF=60°.
∵∠ACB=90°,∴∠DCF=60°,
∴△CDF为等边三角形.
(2)证明：如图，过点E作EG⊥CE交CD的延长线于点G，
∵∠ACB=90°,
∴∠CEG=∠BCA=90°,EG∥BC.
∵k=1,∴BC=CE.
由(1)知∠ACD=∠B,
∴△CEG≌△BCA(ASA),
∴EG=CA.
∵EG∥BC,∴△DEG∽△DFC,
∴EDFD=EGFC,∴EDFD=CACF.
(3)如图，过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵AC=2AE=2,k=43,
∴BC=43CE=43×(2+1)=4,
∴AB=AC2+BC2=22+42=25.
∵∠H=∠ACB=90°,∠HAE=∠CAB,
∴△HAE∽△CAB,
∴AHAC=AEAB=EHBC,
∴AH2=EH4=125,
∴EH=25=255,AH=15=55.
∵EH∥CD,∴△HAE∽△DAC,
∴ADAH=ACAE=2,
∴AD=2AH=255,
∴DH=355,
在Rt△HDE中，DE=(355)2+(255)2=655.
28.【解析】(1)过点A作AH⊥PQ，垂足为H.
∵斜坡AP的坡度为1:2.4,∴AHPH=512,
设AH=5k m,则PH=12k m,
由勾股定理得AP=13k m,
∴13k=26,解得k=2,
∴AH=10 m.
答：坡顶A到地面PQ的距离为10 m.
(2)延长BC交PQ于点D.
∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ，
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10,AC=DH.
∵∠BPD=45°,∴PD=BD.
设BC=x,则x+10=24+DH,∴AC=DH=x−14.
在Rt△ABC中，tan76°=BCAC,即xx−14≈4.01,
解得x≈19.
答：古塔BC的高度约为19米.