江西省2022中考数学模拟卷(word版含答案)

这是一份江西省2022中考数学模拟卷(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2022中考数学模拟卷（江西专用）
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列各数中，相反数最大的是（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．下列几何体中，各自的主视图、左视图、俯视图三种视图完全相同的几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球
3．下列计算正确的是（　　）
A．2a（3a﹣1）＝6a2 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（a+1）2＝a2+1
4．《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．则买鸡的人数和鸡的价钱各是（　　）
A．8人，61文 B．9人，70文 C．10人，79文 D．11人，110文
5．若a是从“﹣1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0为一元二次方程的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的个数有（　　）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞2；②﹣9a2+b2＞0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为x1＝，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．


A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（共6小题。每题3分，共18分）
7．分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a＝　 　．
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD是角平分线．若AC＝5，BC＝12，则tan∠DAC的值为 　 　．


9． 受新型冠状病毒的影响，在2020年4月7日起，我市各所高三初三学校，12.8万学生先后分住校类、部分住校类、走读类分批错时错峰返校．其中12.8万用科学记数法表示是___________．
10．世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络．5G网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比4G 网络快 45 秒，求这两种网络的峰值速率．设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是___．
11．已知菱形OABC在坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A坐标为(3，4)，经过A点的双曲线交BC于D，则△OAD的面积为____．

12． 在矩形中，边是边的中点，点在射线上运动，若为等腰三角形，则线段的长度等于__________．
三、 （本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.计算：（1）﹣2sin60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；

（2）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．求证：AF＝CE；

14．先化简，再求值：，其中x＝，y＝．
15．小豪设计一款小游戏，将分别标有数字2，3，4，6的四张质地，大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张的数字记做点A的横坐标（不放回），再抽取一张的数字记做点A的纵坐标，用树状图或表格表示出所有的可能，并求出点A在反比例函数的图象上的概率．

16．在中，，，、分别为边、的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中画一个以点、点为顶点的菱形；
（2）在图2中画一个以点、点为顶点的矩形．

17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为4，点B在x负半轴上，反比例函数的图象经过C点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18..为增强学生防疫意识，某中学七、八年级举办了防疫知识问答竞赛．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（单位：分）进行整理和分析，当分数不低于95分为优秀，下面给出部分信息．

七、八年级被抽取的学生防疫知识竞赛分数的中位数、众数、优秀率如下表：
年级
中位数
众数
优秀率
七年级
a
95
n%
八年级
95
b
60%
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；n＝　 　；并补全条形统计图；
（2）若该校七、八年级各有500名学生，估计这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数．
（3）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级防疫知识掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
19．如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座

（1）若上臂AB与水平面平行，．计算点到地面的距离．
（2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图2，计算这时点到地面的距离．与图1状态相比，这时点A向前伸长了多少?


20．某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；
（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；
（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．

22．在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点 P 为 AB 边上的定点，且 AP＝AD．
（1）求证：PD＝AB．
（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边 BC 上有一动点 E，当的值是多少时，△PDE 的周长最小？
（3）如图（3），点 Q 是边 AB 上的定点，且 BQ＝BC．已知 AD＝1，在（2）的条件下连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，连接 CF，G 为 CF 的中点，M、N 分别为线段 QF 和 CD 上的动点，且始终保持 QM＝CN，MN 与 DF 相交于点 H，请问 GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．

六、（本大题共12分）
23．如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点，
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？




答案与解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．下列各数中，相反数最大的是（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】分别求出各数的相反数，再根据“负数＜0＜正数”，两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可．
【解答】解：﹣5的相反数是5，﹣2的相反数是2，﹣1的相反数是1，0的相反数是0，
5＞2＞1＞0，
∴相反数最大的是﹣5．
故选：A．
2．下列几何体中，各自的主视图、左视图、俯视图三种视图完全相同的几何体是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
B．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
C．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
D．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
故选：D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．2a（3a﹣1）＝6a2 B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2b
C． （a2）3﹣（﹣a3）2＝0 D．（a+1）2＝a2+1
【分析】直接利用整式的乘除运算法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A.2a（3a﹣1）＝6a2﹣2a，故此选项不合题意；
B．﹣6a3b÷3ab＝﹣2a2，故此选项不合题意；
C．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0，故此选项符合题意；
D．（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项不合题意；
故选：C．
4．《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．则买鸡的人数和鸡的价钱各是（　　）
A．8人，61文 B．9人，70文 C．10人，79文 D．11人，110文
【分析】设买鸡的人有x个，则鸡的价钱是（9x﹣11）文，根据鸡的价格不变可得9x﹣11＝6x+16，即可解得x＝9，从而得到答案．
【解答】解：设买鸡的人有x个，则鸡的价钱是（9x﹣11）文，
根据题意得：9x﹣11＝6x+16，
解得x＝9，
∴鸡的价钱是9x﹣11＝9×9﹣11＝70（文），
答：买鸡的人有9个，鸡的价钱是70文．
故选：B．
5．若a是从“﹣1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0为一元二次方程的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义求出方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程时a的取值范围，进而再根据概率的意义进行计算即可．
【解答】解：当a﹣1≠0，即a≠1时，方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程，
∴在“﹣1、0、1、2”这四个数中有3个数使方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程，
∴恰好使方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0是一元二次方程的概率是：．
故选：B．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的个数有（　　）
①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞2；②﹣9a2+b2＞0；
③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为x1＝，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．


A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入﹣9a2+b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．
【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），
∴b＝﹣2a，
∵与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），
∴不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，
故①不正确；
∵﹣9a2+b2＝﹣9a2+（﹣2a）2＝﹣5a2＜0，
故②不正确；
∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，
即3x2+x﹣1＝0，
∴方程的根为x1＝，x2＝﹣1，
故③正确；
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，
∴2≤c≤3，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝﹣4a，
∵c＝﹣3a，
∴n＝c，
∴≤n≤4，
∴6≤3n﹣2≤10；
故④正确；
故选：B．
二．填空题（共6小题。每题3分，共18分）
7．分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a＝　 　．
【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：﹣2a3+12a2﹣18a
＝﹣2a（a2﹣6a+9）
＝﹣2a（a﹣3）2，
故答案为：﹣2a（a﹣3）2．
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD是角平分线．若AC＝5，BC＝12，则tan∠DAC的值为 　 　．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得DC＝DE，再由勾股定理得AB＝13，然后由面积法求出CD＝，即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：

∵AD是∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴AC•BC＝AC•CD+DE•AB，
即×5×12＝×5×CD+×CD×13，
解得：CD＝，
∴tan∠DAC＝＝＝，
故答案为：．
10． 受新型冠状病毒的影响，在2020年4月7日起，我市各所高三初三学校，12.8万学生先后分住校类、部分住校类、走读类分批错时错峰返校．其中12.8万用科学记数法表示是___________．
【解答】解：
11． 世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络．5G网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比4G 网络快 45 秒，求这两种网络的峰值速率．设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是___．
【解答】解：

11．已知菱形OABC在坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A坐标为(3，4)，经过A点的双曲线交BC于D，则△OAD的面积为____．

【解答】解：10.
13． 在矩形中，边是边的中点，点在射线上运动，若为等腰三角形，则线段的长度等于__________．
【解答】解：或或
四、 （本大题共5小题，每小题6分，共30分）
14． 计算：（1）﹣2sin60°+（﹣1）0﹣（）﹣1；
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案；
（2）直接利用已知将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2×+1﹣3
＝2﹣+1﹣3
＝﹣2；

（2）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．求证：AF＝CE；
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CDE，由全等三角形的性质可得出结论；
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDE＝90°，
∵点F是BC中点，
∴BF＝FC，且∠ABC＝∠CDE＝90°，AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE；


15． 先化简，再求值：，其中x＝，y＝．
【分析】本题考查分式的化简求值，因式分解等知识，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
【解答】（﹣x﹣y）÷
＝﹣（x+y）•+
＝﹣+
＝，
∵x＝，y＝，
∴原式＝＝﹣．
15．小豪设计一款小游戏，将分别标有数字2，3，4，6的四张质地，大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张的数字记做点A的横坐标（不放回），再抽取一张的数字记做点A的纵坐标，用树状图或表格表示出所有的可能，并求出点A在反比例函数的图象上的概率．
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
【解答】（1）∵四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字2，3，4，6，奇数只有3这1张，
∴随机抽取一张，求抽到奇数的概率为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中点A在反比例函数的图象上的结果数为4，
所以点A在反比例函数的图象上的概率：．

16．在中，，，、分别为边、的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中画一个以点、点为顶点的菱形；
（2）在图2中画一个以点、点为顶点的矩形．
【分析】此题考查的是菱形的判定和矩形的判定，掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解决此题的关键．
【解答】

17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为4，点B在x负半轴上，反比例函数的图象经过C点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．

【分析】本题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
【解答】解：（1）连接AC，交x轴于点D．∵四边形ABCO为正方形，∴AD=DC=OD=BD，且AC⊥OB．∵正方形ABCO的边长为4，∴DC=OD==4，∴C（﹣4，﹣4），把C坐标代入反比例函数解析式得：k=16，则反比例函数解析式为y=；
（2）∵正方形ABCO的边长为4，∴正方形ABCO的面积为32，分两种情况考虑：
若P1在第一象限的反比例函数图象上，连接P1B，P1O．∵S△P1BO=BO•|yP|=S正方形ABCO=32，而OB=CO=8，∴×8×|yP|=32，∴yP1=8，把y=8代入反比例函数解析式得：x=2，此时P1坐标为（2，8）；
若P2在第三象限反比例图象上，连接OP2，BP2，同理得到yP2=﹣8，把y=﹣8代入反比例函数解析式得：x=﹣2，此时P2（﹣2，﹣8）．
综上所述：点P的坐标为（2，8）或（﹣2，﹣8）．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18..为增强学生防疫意识，某中学七、八年级举办了防疫知识问答竞赛．现从七、八年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（单位：分）进行整理和分析，当分数不低于95分为优秀，下面给出部分信息．

七、八年级被抽取的学生防疫知识竞赛分数的中位数、众数、优秀率如下表：
年级
中位数
众数
优秀率
七年级
a
95
n%
八年级
95
b
60%
（1）填空：a＝　 　；b＝　 　；m＝　 　；n＝　 　；并补全条形统计图；
（2）若该校七、八年级各有500名学生，估计这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数．
（3）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级防疫知识掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，掌握平均数，众数的概念并能够从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是解题的关键．
【解答】解：(1)男生的总人数为（人），
女生的总人数为（人）；
(2) 男生测试成绩的平均数为；
由扇形统计图可知，8分所占的百分比最大，所以女生测试成绩的众数为8；
(3)全体女生表现更好，
理由：从测试成绩的众数看，女生的众数高于男生的众数，所以女生表现更好．

19．如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂，中臂，底座

（1）若上臂AB与水平面平行，．计算点到地面的距离．
（2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图2，计算这时点到地面的距离．与图1状态相比，这时点A向前伸长了多少?
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
【解答】解:(1)如图1，过点作，垂足为M，
则在Rt△MCB中，，
，
，
，
，
点到地面的距离为；

如图2，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点作的垂线，垂足分别为，
，
，
，
，，
点到地面的距离为；
由图1可知，点距底座的距离为，
点向前伸长的距离为．



20．某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；
（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．

【分析】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【解答】解:（1）由图象可得：
当40≤x＜58时，设y=k1x+b1，把（40，60），（58，24）代入得
，解得：，
∴y=﹣2x+140（40≤x＜58）
当58≤x≤71时，设y=k2x+b2，把（58，24），（71，11）代入得
，解得：，
∴y=﹣x+82（58≤x≤71）
故日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系为：;
（2）由（1）得
利润w=
整理得w=
故当40≤x＜58时，w=﹣2（x﹣55）2+450
∵﹣2＜0，
∴当x=55时，有最大值450元
当58≤x≤71时，w=﹣（x﹣61）2+441
∵﹣1＜0，
∴当x=61时，有最大值441元
综上可得当销售价为55元时，该店的日销售利润最大，最大利润为450元
（3）由（2）可知每天的最大利润为450元，
则有450﹣250=200元
一年的利润为：200×365=73000元
所有债务为：30000+38000=68000元
∵73000＞68000，
∴该店能在一年内还清所有债务．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图：AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若ED＝DB，求证：3OF＝2DF；
（3）在（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．

【分析】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【解答】解:（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，

∵AC＝CG，
，
∴∠ABC＝∠CBG，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图1，
∵CD⊥BG，
∴∠BDE＝90°，
，
，
∴∠E＝30°，
∴∠EBD＝∠COE＝60°，
，
∴OC＝OA＝AE，
∵OC∥BD，
∴△EOC∽△EBD，
，
∵OC∥BD，
∴△COF∽△BDF，
，
∴3OF＝2DF；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，

∵∠E＝30°
∴∠EBD＝60°，
，
∵CD＝3，
，，，
，
，
∴EH＝3，
∴DH＝9﹣3＝6，
在中，．

22．在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点 P 为 AB 边上的定点，且 AP＝AD．
（1）求证：PD＝AB．
（2）如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边 BC 上有一动点 E，当的值是多少时，△PDE 的周长最小？
（3）如图（3），点 Q 是边 AB 上的定点，且 BQ＝BC．已知 AD＝1，在（2）的条件下连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，连接 CF，G 为 CF 的中点，M、N 分别为线段 QF 和 CD 上的动点，且始终保持 QM＝CN，MN 与 DF 相交于点 H，请问 GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．

【分析】此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
【解答】解:（1）在图1中，设AD=BC=a，则有AB=CD=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵PA=AD=BC=a，
∴PD==a，
∵AB=a，
∴PD=AB；
（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，
连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，

设AD=PA=BC=a，则有AB=CD=a，
∵BP=AB-PA，
∴BP′=BP=a-a，
∵BP′∥CD，
∴ ；
（3）GH=，理由为：
由（2）可知BF=BP=AB-AP，
∵AP=AD，
∴BF=AB-AD，
∵BQ=BC，
∴AQ=AB-BQ=AB-BC，
∵BC=AD，
∴AQ=AB-AD，
∴BF=AQ，
∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB，
∵AB=CD，
∴QF=CD，
∵QM=CN，
∴QF-QM=CD-CN，即MF=DN，
∵MF∥DN，
∴∠NFH=∠NDH，
在△MFH和△NDH中，
，
∴△MFH≌△NDH（AAS），
∴FH=DH，
∵G为CF的中点，
∴GH是△CFD的中位线，
∴GH=CD=×2=．
六、（本大题共12分）
23．如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．
（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；
（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；
（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点，
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？



【分析】本题考查了已知抛物线解析式求顶点坐标的方法；矩形的判定及菱形的性质．
【解答】解:
（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），
由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．
故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3
（2）结论：四边形AMDN是矩形．
（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，
故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，
∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，
故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，
如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，
设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，
由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．
解得：x＝，
抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是或．