2021-2022学年福建省厦门市思明区莲花中学中考数学适应性模拟试题含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.在中,,,下列结论中,正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲,乙两组数据,如下表:
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
关于以上数据,说法正确的是( )
A.甲、乙的众数相同 B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数 D.甲的方差小于乙的方差
4.在六张卡片上分别写有,π,1.5,5,0,六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图所示的四边形,与选项中的一个四边形相似,这个四边形是( )
A. B. C. D.
6.如图,已知在△ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
7.若0<m<2,则关于x的一元二次方程﹣(x+m)(x+3m)=3mx+37根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个正根
C.有两个根,且都大于﹣3m
D.有两个根,其中一根大于﹣m
8.小明早上从家骑自行车去上学,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达学校,小明骑自行车所走的路程s(单位:千米)与他所用的时间t(单位:分钟)的关系如图所示,放学后,小明沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致,下列说法:
①小明家距学校4千米;
②小明上学所用的时间为12分钟;
③小明上坡的速度是0.5千米/分钟;
④小明放学回家所用时间为15分钟.
其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.等式组的解集在下列数轴上表示正确的是( ).
A. B.
C. D.
11.如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别交于点A、点B,AC⊥AB于点A,交直线b于点C.如果∠1=34°,那么∠2的度数为( )
A.34° B.56° C.66° D.146°
12.实数在数轴上的点的位置如图所示,则下列不等关系正确的是( )
A.a+b>0 B.a-b<0 C.<0 D.>
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.如图,在平行四边形ABCD中,过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交于点E,连接CE,若AB=4,BC=6,则△CDE的周长是______.
14.某风扇在网上累计销量约1570000台,请将1570000用科学记数法表示为_____.
15.在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张,抽到中心对称图形的概率是________.
16.如图,在正方形中,对角线与相交于点,为上一点,,为的中点.若的周长为18,则的长为________.
17.如图,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小等于__________度.
18.如图,、分别为△ABC的边、延长线上的点,且DE∥BC.如果,CE=16,那么AE的长为_______
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角,得到矩形A'B'C'D',B'C与AD交于点E,AD的延长线与A'D'交于点F.
(1)如图①,当α=60°时,连接DD',求DD'和A'F的长;
(2)如图②,当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时,求EF的长;
(3)如图③,当AE=EF时,连接AC,CF,求AC•CF的值.
20.(6分)为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1千米)(参考数据:≈1.41,≈1.73)
21.(6分)如图,四边形AOBC是正方形,点C的坐标是(4,0).正方形AOBC的边长为 ,点A的坐标是 .将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°,点A,B,C旋转后的对应点为A′,B′,C′,求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积;动点P从点O出发,沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动,同时,另一动点Q从点O出发,沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动,运动时间为t秒,当它们相遇时同时停止运动,当△OPQ为等腰三角形时,求出t的值(直接写出结果即可).
22.(8分)为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:
(1)此次共调查了多少人?
(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)若该校有1500名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?
23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,函数的图象经过点,直线与x轴交于点.求的值;过第二象限的点作平行于x轴的直线,交直线于点C,交函数的图象于点D.
①当时,判断线段PD与PC的数量关系,并说明理由;
②若,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.
24.(10分)如图,在平面直角坐标系中,直线经过点和,双曲线经过点B.
(1)求直线和双曲线的函数表达式;
(2)点C从点A出发,沿过点A与y轴平行的直线向下运动,速度为每秒1个单位长度,点C的运动时间为t(0<t<12),连接BC,作BD⊥BC交x轴于点D,连接CD,
①当点C在双曲线上时,求t的值;
②在0<t<6范围内,∠BCD的大小如果发生变化,求tan∠BCD的变化范围;如果不发生变化,求tan∠BCD的值;
③当时,请直接写出t的值.
25.(10分)甲、乙、丙3名学生各自随机选择到A、B2个书店购书.
(1)求甲、乙2名学生在不同书店购书的概率;
(2)求甲、乙、丙3名学生在同一书店购书的概率.
26.(12分)如图,在ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB的延长线交于点F.
求证:△ADE≌△BFE;若DF平分∠ADC,连接CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.
27.(12分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC与⊙O相交于点D,点E在⊙O上,且DE=DA,AE与BC交于点F.
(1)求证:FD=CD;
(2)若AE=8,tan∠E=,求⊙O的半径.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、C
【解析】
直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案.
【详解】
∵,,
∴,
∴,
故选项A,B错误,
∵,
∴,
故选项C正确;选项D错误.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数关系,熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键.
2、A
【解析】
根据轴对称图形的概念判断即可.
【详解】
A、是轴对称图形;
B、不是轴对称图形;
C、不是轴对称图形;
D、不是轴对称图形.
故选:A.
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
3、D
【解析】
分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.
【详解】
甲:数据7出现了2次,次数最多,所以众数为7,
排序后最中间的数是7,所以中位数是7,
,
=4.4,
乙:数据8出现了2次,次数最多,所以众数为8,
排序后最中间的数是4,所以中位数是4,
,
=6.4,
所以只有D选项正确,
故选D.
【点睛】
本题考查了众数、中位数、平均数、方差,熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.
4、B
【解析】
无限不循环小数叫无理数,无理数通常有以下三种形式:一是开方开不尽的数,二是圆周率π,三是构造的一些不循环的数,如1.010010001……(两个1之间0的个数一次多一个).然后用无理数的个数除以所有书的个数,即可求出从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率.
【详解】
∵这组数中无理数有,共2个,
∴卡片上的数为无理数的概率是 .
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算.
5、D
【解析】
根据勾股定理求出四边形第四条边的长度,进而求出四边形四条边之比,根据相似多边形的性质判断即可.
【详解】
解:作AE⊥BC于E,
则四边形AECD为矩形,
∴EC=AD=1,AE=CD=3,
∴BE=4,
由勾股定理得,AB==5,
∴四边形ABCD的四条边之比为1:3:5:5,
D选项中,四条边之比为1:3:5:5,且对应角相等,
故选D.
【点睛】
本题考查的是相似多边形的判定和性质,掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.
6、C
【解析】
解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=∠EBC.故选C.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质,当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,难度不大.
7、A
【解析】
先整理为一般形式,用含m的式子表示出根的判别式△,再结合已知条件判断△的取值范围即可.
【详解】
方程整理为,
△,
∵,
∴,
∴△,
∴方程没有实数根,
故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式,当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
8、C
【解析】
从开始到A是平路,是1千米,用了3分钟,则从学校到家门口走平路仍用3分钟,根据图象求得上坡(AB段)、下坡(B到学校段)的路程与速度,利用路程除以速度求得每段所用的时间,相加即可求解.
【详解】
解:①小明家距学校4千米,正确;
②小明上学所用的时间为12分钟,正确;
③小明上坡的速度是千米/分钟,错误;
④小明放学回家所用时间为3+2+10=15分钟,正确;
故选:C.
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一.
9、D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.
【详解】A. ,故A选项错误,不符合题意;
B. ,故B选项错误,不符合题意;
C. ,故C选项错误,不符合题意;
D. ,正确,符合题意,
故选D.
【点睛】本题考查了整式的运算,熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.
10、B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集,然后在数轴上表示出每个不等式的解集,对比即可得.
【详解】,
解不等式①得,x>-3,
解不等式②得,x≤2,
在数轴上表示①、②的解集如图所示,
故选B.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,不等式的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
11、B
【解析】
分析:先根据平行线的性质得出∠2+∠BAD=180°,再根据垂直的定义求出∠2的度数.
详解:∵直线a∥b,∴∠2+∠BAD=180°.
∵AC⊥AB于点A,∠1=34°,∴∠2=180°﹣90°﹣34°=56°.
故选B.
点睛:本题主要考查了平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,同旁内角互补,此题难度不大.
12、C
【解析】
根据点在数轴上的位置,可得a,b的关系,根据有理数的运算,可得答案.
【详解】
解:由数轴,得b<-1,0<a<1.
A、a+b<0,故A错误;
B、a-b>0,故B错误;
C、<0,故C符合题意;
D、a2<1<b2,故D错误;
故选C.
【点睛】
本题考查了实数与数轴,利用点在数轴上的位置得出b<-1,0<a<1是解题关键,又利用了有理数的运算.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、1
【解析】
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O,OE⊥AC,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=CE,又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=1,继而可得结论.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,AD=BC.
∵AB=4,BC=6,∴AD+CD=1.
∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长为:CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=1.
故答案为1.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,线段的垂直平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.
14、1.57×1
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
将1570000用科学记数法表示为1.57×1.
故答案为1.57×1.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
15、
【解析】
在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中,中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
∵在:等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有:圆、矩形和菱形3种,
∴从这5张纸片中随机抽取一张,抽到中心对称图形的概率为:.
故答案为.
16、
【解析】
先根据直角三角形的性质求出DE的长,再由勾股定理得出CD的长,进而可得出BE的长,由三角形中位线定理即可得出结论.
【详解】
解:∵四边形是正方形,
∴,,.
在中,为的中点,
∴.
∵的周长为18,,
∴,
∴.
在中,根据勾股定理,得,
∴,
∴.
在中,∵,为的中点,
又∵为的中位线,
∴.
故答案为:.
【点睛】
本题考查的是正方形的性质,涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识,难度适中.
17、45
【解析】
试题解析:设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y.
∵AE=AC,
∴∠ACE=∠AEC=x+y,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-x-y+x=90°-y.
在△DCE中,∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°,
∴x+(90°-y)+(x+y)=180°,
解得x=45°,
∴∠DCE=45°.
考点:1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.
18、1
【解析】
根据DE∥BC,得到,再代入AC=11-AE,则可求AE长.
【详解】
∵DE∥BC,
∴.
∵,CE=11,
∴,解得AE=1.
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质,正确写出比例式是解题的关键.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)DD′=1,A′F= 4﹣;(2);(1).
【解析】
(1)①如图①中,∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角,得到矩形A'B'C'D',只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题;
②如图①中,连接CF,在Rt△CD′F中,求出FD′即可解决问题;
(2)由△A′DF∽△A′D′C,可推出DF的长,同理可得△CDE∽△CB′A′,可求出DE的长,即可解决问题;
(1)如图③中,作FG⊥CB′于G,由S△ACF=•AC•CF=•AF•CD,把问题转化为求AF•CD,只要证明∠ACF=90°,证明△CAD∽△FAC,即可解决问题;
【详解】
解:(1)①如图①中,∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角,得到矩形A'B'C'D',
∴A′D′=AD=B′C=BC=4,CD′=CD=A′B′=AB=1∠A′D′C=∠ADC=90°.
∵α=60°,∴∠DCD′=60°,∴△CDD′是等边三角形,
∴DD′=CD=1.
②如图①中,连接CF.∵CD=CD′,CF=CF,∠CDF=∠CD′F=90°,
∴△CDF≌△CD′F,∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=10°.
在Rt△CD′F中,∵tan∠D′CF=,
∴D′F=,∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣.
(2)如图②中,在Rt△A′CD′中,∵∠D′=90°,
∴A′C2=A′D′2+CD′2,∴A′C=5,A′D=2.∵∠DA′F=∠CA′D′,∠A′DF=∠D′=90°,
∴△A′DF∽△A′D′C,∴,∴,
∴DF=.
同理可得△CDE∽△CB′A′,∴,∴,
∴ED=,∴EF=ED+DF=.
(1)如图③中,作FG⊥CB′于G.∵四边形A′B′CD′是矩形,∴GF=CD′=CD=1.
∵S△CEF=•EF•DC=•CE•FG,
∴CE=EF,∵AE=EF,∴AE=EF=CE,∴∠ACF=90°.
∵∠ADC=∠ACF,∠CAD=∠FAC,∴△CAD∽△FAC,∴,
∴AC2=AD•AF,∴AF=.
∵S△ACF=•AC•CF=•AF•CD,
∴AC•CF=AF•CD=.
20、(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米
【解析】
(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,在直角△ACD中,解直角三角形求出CD,进而解答即可;
(2)在直角△CBD中,解直角三角形求出BD,再求出AD,进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程.
【详解】
解:(1)过点C作AB的垂线CD,垂足为D,
∵AB⊥CD,sin30°=,BC=80千米,
∴CD=BC•sin30°=80×(千米),
AC=(千米),
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4(千米),
答:开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米;
(2)∵cos30°=,BC=80(千米),
∴BD=BC•cos30°=80×(千米),
∵tan45°=,CD=40(千米),
∴AD=(千米),
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2(千米),
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为:AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2(千米).
答:汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米.
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.
21、(1)4,;(2)旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为;(3).
【解析】
(1)连接AB,根据△OCA为等腰三角形可得AD=OD的长,从而得出点A的坐标,则得出正方形AOBC的面积;
(2)根据旋转的性质可得OA′的长,从而得出A′C,A′E,再求出面积即可;
(3)根据P、Q点在不同的线段上运动情况,可分为三种列式①当点P、Q分别在OA、OB时,②当点P在OA上,点Q在BC上时,③当点P、Q在AC上时,可方程得出t.
【详解】
解:(1)连接AB,与OC交于点D,
四边形是正方形,
∴△OCA为等腰Rt△,
∴AD=OD=OC=2,
∴点A的坐标为.
4,.
(2)如图
∵ 四边形是正方形,
∴,.
∵ 将正方形绕点顺时针旋转,
∴ 点落在轴上.
∴.
∴ 点的坐标为.
∵,
∴.
∵ 四边形,是正方形,
∴,.
∴,.
∴.
∴.
∵,
,
∴ .
∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为.
(3)设t秒后两点相遇,3t=16,∴t=
①当点P、Q分别在OA、OB时,
∵,OP=t,OQ=2t
∴不能为等腰三角形
②当点P在OA上,点Q在BC上时如图2,
当OQ=QP,QM为OP的垂直平分线,
OP=2OM=2BQ,OP=t,BQ=2t-4,
t=2(2t-4),
解得:t=.
③当点P、Q在AC上时,
不能为等腰三角形
综上所述,当时是等腰三角形
【点睛】
此题考查了正方形的性质,等腰三角形的判定以及旋转的性质,是中考压轴题,综合性较强,难度较大.
22、(1)200;(2)108°;(3)答案见解析;(4)600
【解析】
试题分析:(1)根据体育人数80人,占40%,可以求出总人数.
(2)根据圆心角=百分比×360°即可解决问题.
(3)求出艺术类、其它类社团人数,即可画出条形图.
(4)用样本百分比估计总体百分比即可解决问题.
试题解析:(1)80÷40%=200(人).
∴此次共调查200人.
(2)×360°=108°.
∴文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为108°.
(3)补全如图,
(4)1500×40%=600(人).
∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人.
【点睛】此题主要考查了条形图与统计表以及扇形图的综合应用,由条形图与扇形图结合得出调查的总人数是解决问题的关键,学会用样本估计总体的思想,属于中考常考题型.
23、(1).(2)①判断:.理由见解析;②或.
【解析】
(1)利用代点法可以求出参数 ;
(2)①当时,即点P的坐标为,即可求出点的坐标,于是得出;
②根据①中的情况,可知或再结合图像可以确定的取值范围;
【详解】
解:(1)∵函数的图象经过点,
∴将点代入,即 ,得:
∵直线与轴交于点,
∴将点代入,即 ,得:
(2)①判断: .理由如下:
当时,点P的坐标为,如图所示:
∴点C的坐标为 ,点D的坐标为
∴ , .
∴.
②由①可知当时
所以由图像可知,当直线往下平移的时也符合题意,即 ,
得;
当时,点P的坐标为
∴点C的坐标为 ,点D的坐标为
∴ ,
∴
当 时,即,也符合题意,
所以 的取值范围为:或 .
【点睛】
本题主要考查了反比例函数和一次函数,熟练求反比例函数和一次函数解析式的方法、坐标与线段长度的转化和数形结合思想是解题关键.
24、(1)直线的表达式为,双曲线的表达式为;(2)①;②当时,的大小不发生变化,的值为;③t的值为或.
【解析】
(1)由点利用待定系数法可求出直线的表达式;再由直线的表达式求出点B的坐标,然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式;
(2)①先求出点C的横坐标,再将其代入双曲线的表达式求出点C的纵坐标,从而即可得出t的值;
②如图1(见解析),设直线AB交y轴于M,则,取CD的中点K,连接AK、BK.利用直角三角形的性质证明A、D、B、C四点共圆,再根据圆周角定理可得,从而得出,即可解决问题;
③如图2(见解析),过点B作于M,先求出点D与点M重合的临界位置时t的值,据此分和两种情况讨论:根据三点坐标求出的长,再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM的长,最后在中,利用勾股定理即可得出答案.
【详解】
(1)∵直线经过点和
∴将点代入得
解得
故直线的表达式为
将点代入直线的表达式得
解得
∵双曲线经过点
,解得
故双曲线的表达式为;
(2)①轴,点A的坐标为
∴点C的横坐标为12
将其代入双曲线的表达式得
∴C的纵坐标为,即
由题意得,解得
故当点C在双曲线上时,t的值为;
②当时,的大小不发生变化,求解过程如下:
若点D与点A重合
由题意知,点C坐标为
由两点距离公式得:
由勾股定理得,即
解得
因此,在范围内,点D与点A不重合,且在点A左侧
如图1,设直线AB交y轴于M,取CD的中点K,连接AK、BK
由(1)知,直线AB的表达式为
令得,则,即
点K为CD的中点,
(直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)
同理可得:
A、D、B、C四点共圆,点K为圆心
(圆周角定理)
;
③过点B作于M
由题意和②可知,点D在点A左侧,与点M重合是一个临界位置
此时,四边形ACBD是矩形,则,即
因此,分以下2种情况讨论:
如图2,当时,过点C作于N
又
,即
由勾股定理得
即
解得或(不符题设,舍去)
当时,同理可得:
解得或(不符题设,舍去)
综上所述,t的值为或.
【点睛】
本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.
25、(1)P=;(2)P=.
【解析】
试题分析:依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率.
试题解析:(1)甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有:
从树状图可以看出,这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种,
所以甲乙两名学生在不同书店购书的概率P(甲、乙2名学生在不同书店购书)=;
(2)甲、乙、丙三名学生AB两个书店购书的所有可能结果有:
从树状图可以看出,这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种,
所以甲乙丙到同一书店购书的概率P(甲、乙、丙3名学生在同一书店购书)=.
点睛:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
26、(1)见解析;(1)见解析.
【解析】
(1)由全等三角形的判定定理AAS证得结论.
(1)由(1)中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点,∠1=∠1;根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC,则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF.
【详解】
解:(1)证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
又∵点F在CB的延长线上,
∴AD∥CF.
∴∠1=∠1.
∵点E是AB边的中点,
∴AE=BE,
∵在△ADE与△BFE中,,
∴△ADE≌△BFE(AAS).
(1)CE⊥DF.理由如下:
如图,连接CE,
由(1)知,△ADE≌△BFE,
∴DE=FE,即点E是DF的中点,∠1=∠1.
∵DF平分∠ADC,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠1.
∴CD=CF.
∴CE⊥DF.
27、(1)证明见解析;(2);
【解析】
(1)先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°,再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°,从而可证明∠B=∠EAD,进而得出∠EAD=∠CAD,进而判断出△ADF≌△ADC,即可得出结论;(2)过点D作DG⊥AE,垂足为G.依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=1,然后在Rt△GEG中,依据锐角三角函数的定义可得到DG的长,然后依据勾股定理可得到AD=ED=2,然后在Rt△ABD中,依据锐角三角函数的定义可求得AB的长,从而可求得⊙O的半径的长.
【详解】
(1)∵AC 是⊙O 的切线,
∴BA⊥AC,
∴∠CAD+∠BAD=90°,
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∴∠CAD=∠B,
∵DA=DE,
∴∠EAD=∠E,
又∵∠B=∠E,
∴∠B=∠EAD,
∴∠EAD=∠CAD,
在△ADF和△ADC中,∠ADF=∠ADC=90°,AD=AD,∠FAD=∠CAD,
∴△ADF≌△ADC,
∴FD=CD.
(2)如下图所示:过点D作DG⊥AE,垂足为G.
∵DE=AE,DG⊥AE,
∴EG=AG=AE=1.
∵tan∠E=,
∴=,即=,解得DG=1.
∴ED==2.
∵∠B=∠E,tan∠E=,
∴sin∠B=,即,解得AB=.
∴⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的性质,圆周角定理,圆的性质,全等三角形的判定和性质,利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键.
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