2020-2021学年广东省深圳市南山区南海中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2020-2021学年广东省深圳市南山区南海中学七年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列命题中，是真命题的是

A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么
C. 对应角相等的两个三角形全等 D. 两直线平行，同位角相等

3. 下面的四个图形中，与是对顶角的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列各式中能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

5. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6. 如图，矩形的长、宽分别为、，周长为，面积为，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于

A.
B.
C.
D.

8. 一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 如果是一个完全平方式，那么的值是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在等腰直角三角形中，，点是上的一个动点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，则下列说法错误的是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：______．
12. 命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是______，结论是这两条直线平行．
13. 若，，则______．
14. 如图，中，，，平分，于，，则______度．
     

15. 请看杨辉三角，并观察等式
    
    根据前面各式的规律，则你猜想的展开式中含项的系数是______．

三、计算题（本大题共1小题，共17.0分）

16. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ；
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共38.0分）

17. 如图，在中，
    画出边上的高；
    画出边上的高；
    画出边上的高；
    观察这三条高所在直线的位置关系是______．

18. 请在括号内填写理由．
    如图所示，已知，，可证明，理由如下：
    已知，且对顶角相等，
    等量代换．
    __________________
    ____________
    又已知，
    等量代换，
    ______
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，，，，求证：．
    
     

20. 图是一个长为，宽为的长方形，将其沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
    图中阴影部分的正方形边长等于______．
    图中阴影部分的面积可以表示为______，也可以表示为______．
    根据中的等量关系解决下面问题，若，，求的值．

21. 已知，线段分别与、相交于点、．
    
    如图，当，时，求的度数；
    如图，当点在线段上运动时不包括、两点，、与之间有怎样的数量？试证明你的结论；
    如图，当点在直线上运动时，中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．
    
    
    
    
    
    
     
22. 【探究】
    如图，中，若，，点是的中点，试探究边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．
    求证：≌．
    证明：延长到点，使．
    点是的中点已知，
    ______
    在和中，
    ，
    ≌______
    探究得出的取值范围是______；
    【感悟】
    解题时，条件中若出现“中点”，“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
    【问题解决】
    如图，已知在中，，点是的中点，若平分，，，求的取值范围

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果，那么，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、对应角相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：．
根据对顶角、绝对值的性质、全等三角形的判定定理、平行线的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有图中的与是对顶角，其它都不是．
故选：．
根据对顶角的定义作出判断即可．
本题考查对顶角的定义，属于基础题．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
由能由平方差公式运算的多项式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
本题考查了平方差公式的应用条件：两个两项式相乘；有一项相同，另一项互为相反数．注意熟记公式结构是解题的关键．
【解答】
解：、存在相同的项与互为相反数的项，故能用平方差公式计算．故本选项正确；
B、两项都是相同，故不能用平方差公式计算．故本选项错误；
C、两项都是相同，故不能用平方差公式计算．故本选项错误；
D、两项都是相同，故不能用平方差公式计算．故本选项错误；
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】
解：根据三角形的三边关系，知
A.，不能组成三角形；
B.，不能够组成三角形；
C.，能组成三角形；
D.，不能组成三角形．
故选：．  

6.【答案】
 

【解析】解：边长分别为、的长方形的周长为，面积，
，，
则，
故

．
故选：．
直接利用矩形周长和面积公式得出，，进而利用提取公因式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
，
．
故选：．
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．则可先求出，再求出，然后求出，从而得到．
本题考查了三角形面积公式：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，，
，
，
．
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得：．
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，，
，
又，，
≌，
，，，故选项A，不合题意，
，
，故选项D不合题意，
故选：．
由“”可证≌，可得，，利用排除法可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明≌是本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故填．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
本题考查同底数幂的除法法则．
 

12.【答案】两条直线平行于同一条直线
 

【解析】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行，
故答案为：两条直线平行于同一条直线．
命题中的条件是两条直线平行于同一条直线，放在“如果”的后面，结论是这两条直线平行，应放在“那么”的后面．
本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
 

13.【答案】
 

【解析】解：因为，，
所以


．
故答案为：．
利用同底数幂的除法法则的逆运算得到，然后把，代入计算即可．
本题考查了同底数幂的除法．解题的关键是掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 是正整数．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
，
平分，于，
，，
，
．
故答案为：．
利用三角形的内角和外角之间的关系计算．
本题主要考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据题意，第六行系数规律依次是：，，，，，，，
，
，
展开式中含项是：，
故答案为：．
第五行系数规律依次是：，，，，，；第六行系数规律依次是：，，，，，，，，代入公式即可求解．
本题考查了规律的探究，整体思想的运用，读懂题中的规律是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式


；
原式

，
由，
，
，
所以，，
解得，，
所以原式．
 

【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可；
根据整式混合运算法则进行计算即可；
利用平方差公式进行计算即可；
利用平方差公式进行计算即可；
根据整式的混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，把、的值代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，掌握整式的混合运算法则、非负数的性质是解题的关键．
 

17.【答案】三条高交于一点
 

【解析】解：如图，线段即为所求．
如图，线段即为所求．
如图，线段即为所求．
观察图像可知三条高交于一点．

故答案为：三条高交于一点．
根据三角形的高的定义，作出图形即可判断．
本题考查作图基本作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．
 

18.【答案】    同位角相等，两直线平行    两直线平行，同位角相等  内错角相等，两直线平行
 

【解析】解：已知，且对顶角相等，
等量代换．
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
先根据等量代换，得出，进而判定两直线平行，再根据平行线的性质，得出，再根据等量代换得到，最后判定两直线平行．
本题考查了平行线的判定和平行线的性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

19.【答案】证明：，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
 

【解析】首先证明≌，可得，因为，所以．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及垂直的定义，是中考常见题型，比较简单．
 

20.【答案】   
 

【解析】解：根据拼图可知，阴影正方形的边长为，
故答案为：；
阴影正方形的边长为，因此，
，
故有；
故答案为：；；
由得，
当，时，．
即的值为．
从拼图可以得出阴影正方形的边长与图中小矩形的长与宽的关系，进而得出答案，
用两种方法表示阴影正方形的面积，即可得出等式；
应用中结论，代入求值即可．
考查完全平方公式的面积表示，关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，进而得出等式．
 

21.【答案】解：过作，

，
，
，当点在线段的延长线上运动时，
，，
，
；

，
证明：过作，

，
，
，，
；

解：当在线段的延长线上运动时，不成立，关系式是：，
理由是：过作，

，
，
，，
，
即；
当点在线段的延长线上运动时，新的相等关系为．
理由：设与相交于，则．

，
，
．
当点在线段上运动时，成立，关系式为，
证明：过作，

，
，
，，
；
综上所述，当点在直线上运动时，中的结论不一定成立．
 

【解析】过作，推出，根据平行线性质得出，，代入求出即可；
过作，推出，根据平行线性质得出，，求出即可；
分三种情况讨论：当在线段的延长线上运动时，当点在线段的延长线上运动时，当点在线段上运动时，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】中点的定义   
 

【解析】证明：如图中，延长到点，使．
点是的中点已知，
中点的定义．
在和中，

≌．
故答案为：中点的定义，．

解：≌，
，
，
，
，
．

解：如图中，延长到，使，连接，

点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
平分，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
设，
，
，
，，
在中，
，
解得：，
的取值范围是．
延长到点，使，根据证明≌．
根据三角形的三边关系解决问题即可．
如图中，延长到，使，连接，证明≌，推出，再证明≌，，，设，利用三边关系，构建不等式组即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的定义，线段中点的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．