辽宁省鞍山市汤岗实验集团2021-2022学年九年级下学期阶段验收考试数学试题

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【分析】直接利用二次根式的性质、无理数的定义分析得出答案．
【解答】解：在数π﹣1，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）中，
无理数有，，，π﹣1，3.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）共5个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及无理数，正确掌握无理数的定义是解题关键．
2．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3．若|a﹣17|+（b﹣1）2＝0，则的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：因为|a﹣17|+（b﹣1）2＝0，
所以，
解得，
所以，
所以的算术平方根为2．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（ ）
A．2+B．+C．2+D．3
【分析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝1，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，如图所示，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△CDF中，∠C＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．某组数据方差计算公式为：s2＝，由公式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是3B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3D．样本的平均数是3
【分析】根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、2、3、3、3、4、4，再根据样本容量、中位数、众数及平均数的概念求解即可．
【解答】解：由题意知这组数据为2、2、3、3、3、4、4，
所以样本容量为7，中位数为3，众数为3，平均数为＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差的计算公式．
6．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD，弧DE，弧EF，…圆心依次按A，B，C循环，它们依次相连接，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是（ ）
A．2πB．4πC．6πD．8π
【分析】利用弧长公式计算．
【解答】解：∵∠CAD，∠DBE，∠ECF是等边三角形的外角，
∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°
AC＝1
∴BD＝2，CE＝3
∴弧CD的长＝×2π×1
弧DE的长＝×2π×2
弧EF的长＝×2π×3
∴曲线CDEF＝×2π×1+×2π×2+×2π×3＝4π．
故选：B．
【点评】本题利用了弧长公式求解：弧长＝，n为弧所对的圆心角的度数，r为圆的半径．
7．如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB运动至点B时停止运动，动点Q同时从点A出发，以acm/s的速度沿折线ACB运动至点B时停止运动，△APQ的面积y（cm2）（当点Q与点A，B重合时，令y＝0）与运动时间x（s）之间的函数关系图象共有三段，如图（2），则下列结论中正确的是（ ）
A．a＝B．m＝3+2
C．AC＝2cmD．当2＜x＜3时，y＝x
【分析】当0时，根据题意可得y＝，再把点代入即可求出a的值，进而得出以点Q的运动速度；当x＝时，点P与点B重合，点Q在AC边上，由此可得AB、BC、AC的长；当时，y＝，然后得出m的值，据此判断即可．
【解答】解：由题意可知，当0时，y＝，
将代入，得，
解得a＝1，
所以点Q的运动速度为1cm/s，
由题意可知，当x＝时，点P与点B重合，点Q在AC边上，
所以AB＝×＝6（cm），
所以BC＝3cm，AC＝cm，
所以m＝，
当时，y＝，
故A、B、C均不符合题意，D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查学生结合几何图形和函数图象分析问题并解决问题的能力，体现了逻辑推理，直观想象素养．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（ ）
A．或2B．C．或2D．
【分析】设CE＝x，则C′E＝x，证明四边形MNCD是矩形，由矩形的性质得出∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5，由折叠的性质得出C′D＝CD＝5，求出MC′＝3，由勾股定理得出x2﹣（4﹣x）2＝22，解方程可得出答案．
【解答】解：设CE＝x，则C′E＝x，
∵矩形ABCD中，AB＝5，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，BN＝AM，
∴DM＝CN＝4，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∵∠NCD＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5
由折叠知，C′D＝CD＝5，
∴MC′＝＝＝3，
∴C′N＝5﹣3＝2，
∵EN＝CN﹣CE＝4﹣x，
∴C′E2﹣NE2＝C′N2，
∴x2﹣（4﹣x）2＝22，
解得，x＝，即CE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为 30 ．
【分析】把x2+3x+5＝11代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵x2+3x+5的值为11，
∴3x2+9x+12
＝3（x2+3x+5）﹣3
＝3×11﹣3
＝33﹣3
＝30
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用．
10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE，OF和上，且点A是线段OB的中点，若的长为π，则OD长为 4 ．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，求得∠EOF＝45°，根据弧长公式得到OF＝4，连接OC，求得OC＝OF＝4，设OA＝BC＝x，根据勾股定理得到OC＝x＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴点A是线段OB的中点，
∴OA＝AB，
∴OA＝AD，
∵∠OAD＝∠DAB＝90°，
∴∠EOF＝45°，
∵的长为π，
∴＝π，
∴OF＝4，
连接OC，
∴OC＝OF＝4，
设OA＝BC＝x，
∴OB＝2x，
∴OC＝x＝4，
∴x＝4，
∴OA＝AD＝4，
∴OD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．已知关于x的不等式x﹣a≥0只有3个负整数解，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣3 ．
【分析】根据关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次不等式x﹣a≥0只有3个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≥a的3个负整数解只能是﹣3、﹣2、﹣1，
∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣3．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 r＝或2＜r≤2． ．
【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴BC＝＝＝2，
根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC，
∴CD＝＝＝，
当圆与时AB相切时，r＝，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r＝或2＜r≤2，
故答案为：r＝或2＜r≤2．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合的所所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
13、若二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点分别为A（-1，0），B（2，0），
与y轴交于点C，在以下的说法中，正确的序号是 ③④ ．
ac＞0
②方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0的解是x1=2、x2=-1
③当x＞1 时，y随x的增大而增大
④当△ABC为等腰三角形时，则a的值有2个
14．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于（ ）
A．B．3C．3D．2+2
【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝＝，
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝，
∴BE＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
15、如图，已知直线与双曲线y＝相交于C、B两点，与x轴，y轴分别相交于A、D两点，若CB＝5，则k＝ 9
16．如图所示，矩形ABCD的边AB＝4cm，AD＝5cm，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2…，依此类推，平行四边形AB∁nOn的面积为 cm2．
【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．
【解答】解：矩形ABCD的面积为S＝4×5＝20cm2，
∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形ABC1O1底边AB上的高等于BC的，
∴平行四边形ABC1O1的面积＝×20＝，
∵平行四边形ABC2O2的对角线交于点O2，
∴平行四边形ABC2O2的边AB上的高等于平行四边形ABC1O1底边AB上的高的，
∴平行四边形ABC2O2的面积＝××20＝，
…，
依此类推，平行四边形AB∁nOn的面积＝cm2．
故答案为：．
【点评】此题属规律探究归纳题，考查了学生矩形和平行四边形的有关知识，要求考生具备有从特殊到一般的数学思考方法和有较强的归纳探究能力，才能正确地作出解答．
17、（共8分）先化简，再求值：÷（﹣+x+2），其中x为的小数部分．
化简结果x−3x+3 （6分） 计算结果1−2155 （2分）
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF＝∠A；求证：四边形DCFE为平行四边形．
【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝DA＝DB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠CEF＝∠DCE，
∴CD∥EF，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥CF，
∴四边形DCEF是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．某公司在国内有多家门店，共有600名销售人员，为了解该公司各门店销售人员上个月的销售业绩，随机抽取了甲、乙两个门店各30名销售人员在上月的销售数量，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
①数据分为五组，分别为A组：x≤40，B组：40＜x≤60，C组：60＜x≤80，D组：80＜x≤100，E组：x＞100；
②样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件；
③甲店C组数据：62，69，71，69，78，73，69，79，78，68
乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75
④两组数据的平均数、中位数、众数、极差（单位：件）如表所示：
⑤甲店销售数量频数分布直方图和乙店销售数量扇形统计图如下：
（1）扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为 12° ，中位数a＝ 72 ，极差b＝ 88 ；
（2）通过以上的数据分析，你认为甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）若该公司计划将上月销售数量在80件以上（不含80）的员工评为“优秀销售员”，请你估计该公司能评为“优秀销售员”的人数．
【分析】（1）根据表格中的数据和扇形统计图中的数据可以计算出扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数，a的值，极差b的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到甲、乙两个门店哪个门店的销售人员上月的业绩更好，并说明理由；
（3）根据题意和表格中的数据可以计算出该公司能评为“优秀销售员”的人数．
【解答】解：（1）∵乙店C组数据：78，76，69，62，69，71，80，69，73，79，75，
∴乙组数据中心C组中有11人，按照从小到大排列是：62，69，69，69，71，73，75，76，78，79，80，
∴扇形统计图A组学生对应的圆心角的度数为：360°×＝12°，
A组学生有30﹣11﹣30×（10%+20%+30%）＝1（人），B组有学生：30×30%＝9（人），
∴中位数a是C组的第5个数和第6个数的中位数，即a＝（71+73）÷2＝72，
∵样本中甲、乙两门店的最高销售数量都是120件，甲店的最低数量比乙店少两件，乙的极差是86，
∴极差b＝86+2＝88，
故答案为：12°，72，88；
（2）乙店门店的销售人员上月的业绩更好，
理由：由表格可知，两个销售人员的平均数相同，众数相同，但是乙的中位数高于甲，说明乙店门店的销售人员上月的业绩更好；
（3）600×＝180（人），
答：该公司能评为“优秀销售员”的有180人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、中位数、极差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．将正面分别写有数字1，2，3的三张卡片（卡片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为a，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上；再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为b，组成数对（a，b）．
（1）请写出数对（a，b）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽取一次卡片，按照得到的数对计算ab2的值，若ab2的值为奇数则甲赢；ab2的值为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图可得所有等可能的结果；
（2）从树状图得出所有等可能结果，并从中找到ab2的值为奇数和偶数的结果数，根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由树状图知，共有9种等可能结果，其中ab2的值为奇数的有1、9、3、27这4种结果，ab2的值为偶数的有4、2、8、18、12这5种结果，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，
∵≠，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了多少cm？
（参考数据：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75）
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
【解答】解：（1）作BO⊥DE于点F，则∠BOE＝∠BOD＝90°，
∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠OEA＝∠BAE＝90°＝∠BOE．
∴四边形ABOE为矩形．
∴EO＝AB＝5cm，EO∥AB，
∵EO∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝143°，
∴∠D＝37°，
在Rt△BDO中，∵∠BOD＝90°，
∴＝csD＝cs37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40（cm），
∴DO＝40×0.8＝32（cm），
∴DE＝DO+EO＝32+5＝37（cm），
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
答：此时连杆端点D离桌面l的高度减小了4cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
122．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．
（1）求证：CD＝AD+CE．
（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．
【分析】（1）证明AD⊥OA，可得AD是⊙O的切线，由切线长定理得AD＝DF，同理CE＝CF，则CD＝AD+CE；
（2）连接OD，AF相交于点M，设CE＝t，则AD＝4t，求得BE＝3t，AB＝CD＝5t，可求出AE＝4t，证得AF⊥OD，求出tan∠ODA＝，可证明∠EGF＝∠ODA，则tan∠EGF可求出．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AD⊥OA，
∵AO是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线，
又∵DF是⊙O的切线，
∴AD＝DF，
同理可得CE＝CF，
∵CD＝DF+CF，
∴CD＝AD+CE．
（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
∵AD＝4CE，
∴设CE＝t，则AD＝4t，
∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，
∴在Rt△ABE中，AE＝＝4t，
∴OA＝OE＝2t，
∵DA，DF是⊙O的两条切线，
∴∠ODA＝∠ODF，
∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，
∴AF⊥OD，
∴在Rt△OAD中，tan∠ODA＝，
∵∠OAD＝∠AMD＝90°，
∴∠EAF＝∠ODA，
∵，
∴∠EGF＝∠EAF，
∴∠ODA＝∠EGF，
∴tan∠EGF＝．
【点评】此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、勾股定理、平行四边形的性质以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．
23．某农户要改造部分农田种植蔬菜．经调查，改造农田费用（元）与改造面积（亩）成正比，比例系数为900，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用三年内不需再投入；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元．这项费用每年均需再投入，除上述费用外，没有其他费用．设改造x亩，每亩蔬菜年销售额为m元．
（1）设改造当年收益为y元，用含x，m的式子表示y；
（2）按前三年计算，若m＝1500，是否改造面积越大收益越大？改造面积为多少时，可以得到最大收益？
（3）在（2）条件下，当收益不低于43200元时，求改造面积x的取值范围？
（4）若20≤x≤60，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求m的取值范围．注：收益＝销售额﹣（改造费+辅助设备费+种子、人工费）．
【分析】（1）根据题意可以用含x，m的式子表示y；
（2）根据题意和（1）中函数解析式及p的值可以解答本题；
（3）根据效益不低于43200列出不等式求得x的取值范围即可；
（4）根据题意和x的取值范围，可以求得p的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝mx﹣（900x+18x2+600x）＝﹣18x2+（m﹣1500）x，
即y＝﹣18x2+（m﹣1500）x；
（2）设这三年的收益为z，
z＝1500x×3﹣（900x+18x2+600x×3）＝﹣18（x﹣50）2+45000，
∵a＝﹣18＜0，
∴开口向下，且x＝50时，z有最大值；
∴不是改造面积越大收益越大，改造面积为50亩时，可以得到最大收益；
（3）解方程：﹣18（x﹣50）2+45000＝43200得到x1＝40，x2＝60，
∴当收益不低于43200元时，40≤x≤60；
（4）由题意可得，
z＝3mx﹣（900x+18x2+600x×3）＝﹣18（x﹣）2+
∵20≤x≤60，按前三年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，
∴≥60，
解得m≥1620，
即m的取值范围是m≥1620．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，直线BC⊥x轴，垂足为D，连接OB，OC．
（1）若OB＝4、∠BOD＝60°，求k的值；
（2）若tan∠ABC＝2，求直线OC的解析式．
【分析】（1）在Rt△BOD中，BD＝OBsinBOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，故点B的坐标为（﹣2，2），即可求解；
（2）tan∠ABC＝2，故设AC＝2t，则BC＝t，设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，解得t＝m+n，进而求解．
【解答】解：（1）在Rt△BOD中，BD＝OBsin∠BOD＝4×＝2，OD＝OB＝2，
故点B的坐标为（﹣2，2），
将点B的坐标代入函数表达式得：2＝，
解得k＝﹣4；
（2）∵tan∠ABC＝2，
故设AC＝2t，则BC＝t，
设点B的坐标为（m，n），则点A的坐标为（m﹣2t，n﹣t）、点C（m，n﹣t），
将点A、B的坐标代入函数表达式得：（m﹣2t）（n﹣t）＝mn，
解得t＝m+n，
则点C的坐标为（m，﹣m），
设直线OC的表达式为y＝rx，
将点C的坐标代入上式并解得：﹣m＝rm，解得r＝﹣，
故直线OC的表达式为y＝﹣x．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
25．在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．
【分析】（1）根据正方形的性质得AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．则∠DAE＝∠C＝90°，利用SAS证明△DAE≌△DCF（SAS），根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①作EH∥BC交AC于点H，根据正方形的性质可得AE＝EH＝CF，证明△EHG≌△FCG（AAS），可得EG＝GF．由（1）同理可得 DE＝DF，根据等腰三角形三线合一的性质可得DG⊥EF；
②分三种情况：Ⅰ当点E在线段AB上时，Ⅱ当点E在线段BA的延长线上时，Ⅲ当点E在线段AB的延长线上时，根据正方形以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠C＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）①证明：作EH∥BC交AC于点H，如图3．
∴∠EHG＝∠FCG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°．
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAH＝∠AHE．
∴AE＝EH，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF．
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EHG≌△FCG（AAS），
∴EG＝GF．
由（1）同理可得 DE＝DF，
∴DG⊥EF；
②解：Ⅰ当点E在线段AB上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠2＝45°，
∴∠1＝45°﹣∠3，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2+∠CFE＝90°，
∴∠3＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝45°﹣∠3＝α，
∵∠DGO＝∠ACD+∠1，
∴∠DGO＝α+45°；
Ⅱ当点E在线段BA的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠GFD＝∠BDC＝45°，
∴∠1＝∠2，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠3＝∠CFE﹣∠GFD＝α﹣45°，
∴∠2＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠1＝∠2＝135°﹣α，
∴∠DGO＝90°﹣∠1＝α﹣45°；
Ⅲ当点E在线段AB的延长线上时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDE＝∠DEG＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG＝90°，
∴∠CFE+∠2＝45°，
∴∠CFE＝∠1＝α，
∴∠DGO+∠1＝∠ACD＝45°，
∴∠DGO＝45°﹣α．
综上：∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得出DE＝DF，利用等腰直角三角形的性质求解，属于中考压轴题．
平均数
中位数
众数
极差
甲店
70
69
69
b
乙店
70
a
69
86