2022年小升初专题精炼 专题11《逆推问题》

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专题11 逆推问题
一．选择题
1．（2021秋•大名县期末）甲杯中有水3升，乙杯中有水4升。第一次先从甲杯中倒100毫升水到乙杯中，第二次再从乙杯中倒200毫升水到甲杯中，第三次再从甲杯中倒300毫升到乙杯中，第四次再从乙杯中倒400毫升到甲杯中，像这样下去，当倒第（　　）次时甲、乙两杯水一样多。
A．5 B．8 C．10
【思路引导】根据题意可知，甲杯每经过两次增加100毫升，乙杯每经过两次减少100毫升，要使甲、乙两杯水一样多，即每杯有水（4000+3000）÷2＝3500（毫升），所以甲杯3000毫升增加500毫升，需要5个两次即5×2＝10（次），据此解答即可。
【完整解答】解：3升＝3000毫升，4升＝4000毫升
（3000+4000）÷2
＝7000÷2
＝3500（毫升）
（3500﹣3000）÷100×2
＝500÷100×2
＝5×2
＝10（次）
答：当倒第10次时甲、乙两杯水一样多。
故选：C。
【考察注意点】解答此题的关键是弄清每经过两次甲杯增加100毫升，算出要使甲、乙两杯水一样多经过几个两次此题得解。
2．（2020秋•麻城市期末）小明用计算器算题，在最后一步应该乘10，但错误地除以10了，因此得出错误答案是5.6，正确答案应该是（　　）
A．0.56 B．56 C．560
【思路引导】根据题意可知：虽然除以10，得到错误答案5.6，在这里是把正确式子中的因数当做被除数了，根据被除数＝除数×商，可先求出被除数是多少，即求出了正确算式中的一个因数，进而求出正确的结果。
【完整解答】解：10×5.6＝56
56×10＝560
答：正确答案应该是560。
故选：C。
【考察注意点】此题关键是利用乘法各部分之间的关系求出未乘10之前的数，然后按照正确的计算顺序计算。
3．（2021春•霍邱县期末）智慧老人心里想了一个数，给这个数乘3，再加上15，等于105。智慧老人想的数是（　　）
A．25 B．30 C．35
【思路引导】先用105减去15求出乘3的积，然后再除以3就是要求的数。
【完整解答】解：（105﹣15）÷3
＝90÷3
＝30
答：智慧老人想的数是30。
故选：B。
【考察注意点】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。
4．（2021•山西模拟）一个抽屉里放着若干玻璃球，每次拿出其中的一半，这样重复操作3次，这时抽屉里还剩5个，抽屉里原来有（　　）个玻璃球。
A．10 B．30 C．40
【思路引导】根据题意，利用逆推法，推出每次拿之前抽屉里玻璃球的个数，完成计算即可。
【完整解答】解：5×2×2×2＝40（个）
答：抽屉里原来有40个玻璃球。
故选：C。
【考察注意点】本题主要考查逆推问题，关键是求每次拿之前的个数。
5．（2021•山西模拟）兄弟三人分24个苹果，每人所得的个数等于其三年前的年龄数。如果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有苹果的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果的一半分给老二和老三，这时三个人的苹果树恰好相等。那么现在老大、老二、老三的年龄数分别是
（　　）
A．16、10、7 B．13、7、4 C．14、8、2 D．16、4、4
【思路引导】由兄弟三人分24个苹果，每人所得的个数等于其三年前的年龄数可知，兄弟三人三年前的年龄和是24岁。我们可以根据题意，根据他们所得的苹果个数，利用逆推的方法分别求出三年前兄弟三人每人得到的苹果数，就可以求得他们现在各自的年龄。
【完整解答】解：①因为最后老大再把现有苹果数的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等，所以最后一次分配后三个人各有的苹果数是：24÷3＝8（个），那么在老大把苹果分给老二老三前，老大应有：8×2＝16（个），分给老二老三每人苹果的个数是：8÷2＝4（个），那么最后一次分配前老二老三各有是苹果个数是：8﹣4＝4（个）；
②由题意老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三，老二平分给老大老三前，应有苹果的个数是：4×2＝8（个），分给老大老三每人苹果的个数是：4÷2＝2（个），于是在“老二再把现有苹果数的一半平分给老大和老三”前，老大的苹果个数是：16﹣2＝14（个），老三的苹果的个数是：4﹣2＝2（个）；
③那么一开始老三的苹果个数是：2×2＝4（个），分给老大老三每人苹果的个数是：2÷2＝1（个），则一开始老大的苹果个数是：14﹣1＝13（个），老二的苹果个数是：8﹣1＝7（个）。
因兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数，于是三人年龄老大是：13+3＝16（岁），老二是：7+3＝10（岁）老三是：4+3＝7（岁）。
答：现在兄弟三人的年龄分别是16岁、10岁、7岁。
故选：A。
【考察注意点】本题主要考查逆推法解决问题，可以倒过来推导，利用逆推法就比较容易解决这类关于年龄的应用题。
二．填空题
6．（2021秋•顺义区期末）李阿姨看一本小说，第一周看了全书的一半，第二周看了剩下一半，第三周看了100页全部看完。这本书一共 　400　页。
【思路引导】因为第三周看了100页后全部看完，所以第二周看的是100×2页；同理，第一周看之前即这本书的页数是100×2×2页。
【完整解答】解：100×2×2＝400（页）
答：这本书一共400页。
故答案为：400。
【考察注意点】本题主要考查逆推问题，关键是根据看之后的页数，推出每次看之前的页数。
7．（2021•北仑区）某种细菌在培养的过程中，每半小时分裂一次，每次一分为二，若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过 　2　小时。
【思路引导】16＝1×2×2×2×2，可以看出是分裂了4次，每半小时分裂一次，那么共经历两小时。
【完整解答】解：16＝1×2×2×2×2
4÷2＝2（小时）
答：这个过程要经过2小时。
故答案为：2。
【考察注意点】此题的关键是先求出16是几个2相乘的积，然后再进一步解答。
8．（2021秋•六合区校级期中）农科所打算在某水库的水面上养殖一种水上绿色植物，这种植物每天长大1倍，经计算，该植物种植20天刚好能长满整个水面。那么 　18　天能长满整个水面的四分之一。
【思路引导】从后向前逆推即可求出经过多少天能长满整个水面的四分之一。
【完整解答】解：第19天：1÷2＝
第18天：÷2＝
答：18天能长满整个水面的四分之一。
故答案为：18。
【考察注意点】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理即可。
9．（2020秋•睢宁县期末）一种细菌，繁殖能力非常快，每半个小时后，数量都是它前一次的2倍。王叔叔9：00测得这种细菌有100个，到10：30时，这种细菌有 　800　个。
【思路引导】根据题意可知：一种细菌，每半个小时后，数量都是它前一次的2倍，9：00这个细菌有100个，9：30就有100×2＝200（个），10：00就有200×2＝400（个），10：30就有400×2＝800（个），据此解答。
【完整解答】解：100×2＝200（个）
200×2＝400（个）
400×2＝800（个）
答：到10：30时，这种细菌有800个。
故答案为：800。
【考察注意点】此题考查学生对倍的认识，以及时间之间的转换。
10．（2021春•无锡期末）小李折幸运星，她上午折了总数的一半多11个，下午折了剩下的一半少3个，还剩35个没有完成，小李一共要折 　150　个。
【思路引导】运用逆推的方法，最后剩下的35个，减去3个，就是下午折的一半，由此乘以2，就是下午没折之前的，即上午折完剩下的：（35﹣3）×2＝64（个），这64个加上11个等于75个，正好是上午没折之前的一半，即原来总数的一半，则原来有75×2＝150个，由此即可解答。
【完整解答】解：（35﹣3）×2
＝32×2
＝64（个）
（64+11）×2
＝75×2
＝150（个）
答：小李一共要折150个。
故答案为：150。
【考察注意点】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。
11．（2021•五华区开学）优优在做一道减法题时，把减数十位上的9错写成6，把被减数百位上的3错写成8，这样算得的差是806，正确的结果是 　276　。
【思路引导】减数十位上的9错写成6，说明少减了30，把被减数百位上的3错写成8，说明多加了500，据此计算。
【完整解答】解：减数少减了：90﹣60＝30
被减数多加了：800﹣300＝500
正确的结果为：
806﹣30﹣500
＝776﹣500
＝276
故答案为：276。
【考察注意点】本题主要考查了逆推问题，根据减数和被减数的变化判断出差的变化是本题解题的关键。
12．（2020秋•白云区期末）《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”
意思就是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。那么第四天取的长度是　　尺。
【思路引导】每天取的长度都是上一天的，那么第四天取的长度是1××××尺，计算可得是尺，据此解答即可。
【完整解答】解：1××××＝（尺）
答：第四天取的长度是尺。
故答案为：。
【考察注意点】此题的关键是明确每天取的长度都是上一天的，然后再进一步解答。
三．判断题
13．（2021春•海安市期中）一根电线，第一天用去一半少12厘米，剩下65厘米，这个电线原来长106厘米。　√　（判断对错）
【思路引导】第一天用去一半少12厘米，剩下65厘米，如果第一天正好用去一半，则还剩下65﹣12＝53（厘米），然后乘2求出原来的长度，再和106比较即可。
【完整解答】解：（65﹣12）×2
＝53×2
＝106（厘米）
106＝106
即这个电线原来长106厘米，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考察注意点】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。
14．（□﹣30）×4+50＝150，□里填55．　√　（判断对错）
【思路引导】根据等式的性质，等式两边都减去50，再除以4，最后再加上30即可求出□里填的数，再和55比较即可．
【完整解答】解：（150﹣50）÷4+30
＝100÷4+30
＝25+30
＝55
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【考察注意点】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．
15．一条毛毛虫长到成虫，每天长一倍，8天能长到40厘米，长到10厘米时是第6天．　√　（判断对错）
【思路引导】根据题意知道，一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，8天能长到40厘米，逆推知道7天就长到20厘米，6天就长到10厘米，由此得出答案．
【完整解答】解：第8天能长到40厘米，
第7天能长到：40÷2＝20（厘米）
第6天能长到：20÷2＝10（厘米）
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【考察注意点】解答此题的关键是，根据题意，运用逆推的方法，不难得出答案．
16．小兰在计算24除一个数时，把被除数十位上的“8“看成“3“，结果得到的商是267，余数是22，正确的商应是270．　√　（判断对错）
【思路引导】由题意可知：除数是24，商是267，余数是22，根据被除数＝除数×商+余数，求出此时的被除数，然后把这个被除数的十位上的3改为8，再根据除数是两位数的除法的计算方法求出正确的商，然后与270比较．
【完整解答】解：267×24+22
＝6408+22
＝6430
正确的被除数是6480
6480÷24＝270
正确的商是270，原题说法正确．
故答案为：√．
【考察注意点】解决本题先根据被除数＝除数×
商+余数，求出看错后的被除数，再根据除法的计算方法求解．
四．应用题
17．（2021秋•湖里区校级期末）六一儿童节当天，李老师到商店买了一些糖果奖励给表现优秀的三个人，李老师把糖果的一半又一颗奖励给丽丽，再把余下的一半又两颗奖励萌萌，最后把剩下的6颗糖果奖励给亮亮。李老师买了多少颗糖果？
【思路引导】逆推回去，（6+2）×2求出奖励给丽丽之后余下的数量，再加1之后乘2求出总数量即可。
【完整解答】解：（6+2）×2
＝8×2
＝16（颗）
（16+1）×2
＝17×2
＝34（颗）
答：李老师买了34颗糖果。
【考察注意点】此题主要考查了逆推的方法，要熟练掌握。
18．（2021秋•大洼区期末）甲乙共有钱3000元，乙把它的给甲，之后甲把它的给乙，这时乙比甲多900元，问最初两人各有多少元？
【思路引导】根据题意，利用逆推法，因为甲乙的总钱数不变，利用和差问题公式：（和﹣差）÷2求最后甲的钱数；再求甲给乙前各自的钱数；再求乙给甲前各自的钱数就是最初的钱数。
【完整解答】解：（3000﹣900）÷2
＝2100÷2
＝1050（元）
3000﹣1050＝1950（元）
1050÷（1﹣）
＝1050
＝1400（元）
3000﹣1400＝1600（元）
1600÷（1﹣）
＝1600
＝2400（元）
3000﹣2400＝600（元）
答：甲最初有600元，乙最初有2400元。
【考察注意点】本题主要考查逆推法解决问题，关键分清单位“1“，利用数量关系做题。
19．（2021秋•武昌区期末）风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？
【思路引导】此题需要逆推。15份奖品是一、二、三等奖发完后剩下的1﹣，用15÷（1﹣）即可求出一、二、三等奖发完后剩下多少；根据“将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学”，把总数量看作单位“1”，可知一、二等奖共发了总数的+（1﹣）×，求出之后用一、二等奖发完后剩下的数量除以“1减去这个分率”，即可求出奖品的总份数。
【完整解答】解：一、二、三等奖发完后剩下：
15÷（1﹣）
＝15÷
＝20（份）
一、二等奖的份数占总份数的：
+（1﹣）×
＝+
＝
总份数有：
20÷（1﹣）
＝20÷
＝45（份）
答：箱子里原来有45份奖品。
【考察注意点】此题属于逆推问题，求出结果之后可以顺着推一遍，验证结果是否正确。
20．（2020秋•蜀山区校级期末）李老师有若干元钱，从中拿出一半多10元买本子，又拿出余下的一半少5元买练习册，剩下80元。李老师原来有多少钱？
【思路引导】用还原问题的思考方法来解答此题，由买本子后余下的钱可以求买练习册后余下的钱，进而得出李老师原来有多少钱。
【完整解答】解：（80﹣5）÷0.5
＝75÷0.5
＝150（元）；
（150+10）÷0.5
＝160÷0.5
＝320（元）
答：李老师原来有320元。
【考察注意点】此题采用逆向思维，由最后剩余的钱数逐步向前推算，即可求解。
21．（2021•商丘模拟）小甬和小真各有若干元钱。先是小甬把他的钱的一半给小真，然后小真把他当时所有钱的给小甬。以后小甬又把他当时所有钱的给了小真，这时小甬就有675元，小真就有1325元。最初两人各有多少钱？
【思路引导】根据题意，“小甬又把他当时所有钱的给了小真，这时小甬就有675元，小真就有1325元”，给之前，小甬有：675÷（1﹣）＝900（元），小真有：1325﹣900×＝1100（元）；“小真把他当时所有钱的给小甬”之前，二人钱数分别为：小真：1100＝1650（元），小甬：900﹣（1650﹣1100）＝350（元）；“小甬把他的钱的一半给小真”之前，二人分别为：小甬：350＝700（元），小真：1650﹣700×＝1300（元）。据此解答。
【完整解答】解：675÷（1﹣）＝900（元）
1325﹣900×＝1100（元）
1100＝1650（元）
900﹣（1650﹣1100）＝350（元）
350＝700（元）
1650﹣700×＝1300（元）
答：最初小甬有700元；小真有1300元。
【考察注意点】本题主要考查逆推问题，关键是根据现在的钱数推出原来的钱数。
22．（2020•商丘）画图分析题中的数量关系并解答。
一本书，笑笑第一周看了这本书的一半，第二周看了剩下页数的一半还多30页，第三周看了80页，正好看完。这本书有多少页？
【思路引导】根据题意笑笑第一周看了全书的一半，就表示看了全书的，第二周看了剩下的一半，也就是剩下的一半多30页，即全书的多30页，第三周看了80页，我们根据这些信息列方程解答，设全书为x页，就用全书的页数减第一周看的页数再减第二周看到页数就表示剩下的80页。
【完整解答】解：如图所示：
x﹣（x+30）＝80
﹣30＝80
x＝110
x＝440
答：这本书共440页。
【考察注意点】原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义。
23．（2020秋•浑源县期中）甲、乙、丙三人一共有105张邮票，如果乙向甲要了11张后，又送给丙16张，那么三人的邮票张数就一样多。甲、乙、丙三人原来各有多少张邮票？
【思路引导】根据题意，利用逆推法，一共有105张，平均每人105÷3＝35（张），所以甲原来的张数是：35+11＝46（张），丙原来有：35﹣16＝19（张），乙原来的张数是：35﹣11+16＝40（张）据此解答。
【完整解答】解：105÷5＝35（张）
35+11＝46（张）
35﹣16＝19（张）
35﹣11+16＝40（张）
答：甲原来有46张，乙原来有40张，丙原来有19张。
【考察注意点】本题主要考查逆推问题，关键利用逆推法解决问题。
24．（2019秋•玄武区期中）王奶奶上集市卖鸡蛋，第一名顾客买走篮子里的一半多一个，第二个顾客买走剩下鸡蛋的一半多一个，这时候篮子里还剩下12个鸡蛋，王奶奶一共卖出了多少个鸡蛋？（建议先试着画出线段图，再解决问题。）
【思路引导】根据题意，第二位顾客买走后剩12个，所以买之前是：（12+1）×2＝26（个）；第一位顾客买之前是：（26+1）×2＝54（个），据此解答。
【完整解答】解：如图：

×2
＝×2
＝×2
＝27×2
＝54（个）
答：王奶奶一共卖出了54个鸡蛋。
【考察注意点】解答此题的关键是，根据题意，运用逆推的方法，求出每次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，由此即可得出答案。
五．解答题
25．（2021秋•
菏泽月考）有一堆棋子，把它们三等分后剩一枚，拿去两份和多的一枚，剩下的棋子再三等分后还剩下一枚，再拿走两份和多的一枚，将剩下的棋子三等分后还是剩下一枚，那么这堆棋子原来至少有 　40　枚。
【思路引导】最后剩下一枚，最后的3份最少是每份1枚棋子。逆推回去，第3次分的时候共有1×3+1＝4（枚），第2次分的时候共有4×3+1＝13（枚），第1次分的时候共有13×3+1＝40（枚）。
【完整解答】解：1×3+1＝4（枚）
4×3+1＝13（枚）
13×3+1＝40（枚）
答：这堆棋子原来至少有40枚。
故答案为：40。
【考察注意点】解决此类问题的关键是抓住最后的结果，利用逆推的方法，从后向前推即可。
26．（2020•长沙）一条绳子第一次剪掉1米，第二次剪掉剩余部分的，第三次剪掉1米，第四次剪掉剩余部分的，第五次剪掉1米，第六次剪掉剩余部分的．这条绳子还剩下1米．这条绳子原长多少米？
【思路引导】由第六次剪掉剩余部分的，还剩下1米，可以求出第六次剪之前的长度，再根据第四次剪掉剩余部分的，第五次剪掉1米，以求出第四次剪之前的长度，第二次剪掉剩余部分的，第三次剪掉1米，可求出第二次剪前绳长度，继而就解答．
【完整解答】解：第六次剪前绳长：（米），
第四次剪前绳长：＝15（米），
第二次剪前绳长：（15+1）÷（1﹣）＝32（米），
绳子原长：32+1＝33（米）．
答：这条绳子原长33米．
【考察注意点】从最后一次剪，向前推，找准各个分率的单位“1”，用对应的数量除以对应的分率即可．
27．（2019秋•任丘市期末）四年级两个班共有学生100人，如果从一班分10名学生到二班，这时两个班的人数就相等，两班原来各有多少名学生？
【思路引导】因为总人数不变，先用“100÷2”求出后来两个班的人数，然后加上10即一班的人数；减去10即二班的人数；由此解答即可．
【完整解答】解：100÷2＝50（人），
一班：50+10＝60（人）；
二班：50﹣10＝40（人）；
答：一班有学生60人，二班有学生40人．
【考察注意点】抓住两个班总人数不变，求出后来两个班的人数，是解答此题的关键．
28．（2020•长沙）一筐鸡蛋第一次卖出全部的一半多2个，第二次卖出余下的一半少2个，这时还剩28个，这筐鸡蛋一共有多少个？
【思路引导】从最后剩下的28个鸡蛋入手，向前推，如果减去2个，是26个，正好是第二次取出余下的一半，求出第二次取以前的数量，这个结果再加上2个正好是第一次取出全部的一半，由此列式解决问题．
【完整解答】解：÷（1﹣），
＝÷，
＝54×2，
＝108（个）；
答：这筐鸡蛋一共108个．
【考察注意点】此题属于还原问题，关键是从后向前，先求出每次取后余下的一半的个数，最后求出原来鸡蛋的总个数．
29．（2019•北京开学）司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如图）．每个站都有学生上车．第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半．车到学校时，车上最少有多少学生？

【思路引导】5个站依次减半，那么从最后的一站（第5站）至少要上1个人，依次第4站为2人，第3站为4人，第2站为8人，第一站为16人．相加得：1+2+4+8+16＝31个．
【完整解答】解：最后的一站（第5站）至少要上1个人，依次第4站为2人，第3站为4人，第2站为8人，第一站为16人．
1+2+4+8+16＝31（个）．
答：车上最少有31个学生．
【考察注意点】考查了逆推问题，关键是从最后的一站（第5站）至少要上1个人进行推理求解．
30．（2019•长沙）一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米．这捆电线原来长多少米？
【思路引导】第二次用去后还剩下的米数是（15+7）米，第二次用去余下的一半少10米，就是第二次用去剩下的是余下的一半多10米，所以第一次用去后剩下的米数是（15+7﹣10）×2＝24米，第一次用去全长的一半多3米，全长就是（24+3）×2米，据此解答．
【完整解答】解：×2，
＝×2，
＝×2，
＝27×2，
＝54（米）．
答：这捆电线原来长54米．
【考察注意点】本题的关键是从最后的数据入手，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答