2023届高考一轮复习加练必刷题第19练　导数的概念及其意义、导数的运算【解析版】

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考点一 导数的运算
1．(多选)下列求导运算正确的是( )
A．(tan x)′＝－tan x
B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．()′＝(4x＋2)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))′＝－eq \f(1,2x\r(x))
答案 BCD
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′
＝eq \f(cs x·cs x＋sin x·sin x,cs2x)＝eq \f(1,cs2x)，
故A错误；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x))′＝eq \f(1,xln 2)，故B正确；
()′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋x))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋2))，故C正确；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))′＝()′＝－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2x\r(x))，故D正确．
2．已知函数f(x)＝(x2＋ax)ex＋e1－x，若f′(1)＝e－1，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．－eq \f(3,2) D．3
答案 B
解析 f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax)·ex－e1－x，
f′(1)＝(a＋2)e＋(a＋1)e－1
＝(2a＋3)e－1＝e－1，
∴2a＋3＝1，
∴a＝－1.
3．(多选)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cs x＋2，其导函数为f′(x)，则( )
A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1
C．f(0)＝1 D．f′(0)＝－1
答案 BC
解析 因为f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cs x＋2，
所以f(0)＝2－f′(0)，①
因为f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)sin x，
所以f′(0)＝f(0)，②
由①②得f′(0)＝f(0)＝1.
4．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x＋sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))·sin eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,4)，
解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs eq \f(π,4)＋sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－1))＋eq \f(\r(2),2)＝1.
考点二 导数的几何意义
5．已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0
答案 B
解析 ∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，
∴f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，
即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，
则f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.
6．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 ∵y′＝aex＋ln x＋1，
∴y′|x＝1＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，∴a＝e－1，
∴切点为(1,1)．
将(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1.
7．曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
答案 C
解析 依题意，令f′(x)＝3x2＋1＝4，
解得x＝±1，
f(1)＝0，f(－1)＝－4.
故P0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)．
8．函数f(x)＝aln x－eq \f(2,x)＋x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2)]
B．[－2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－2eq \r(2)]
D．(－∞，－2eq \r(2)]∪[2eq \r(2)，＋∞)
答案 C
解析 f′(x)＝eq \f(a,x)＋eq \f(2,x2)＋1(x>0)，
依题意eq \f(a,x)＋eq \f(2,x2)＋1＝0有解，
即当x>0时，－a＝eq \f(2,x)＋x有解．
又当x>0时，eq \f(2,x)＋x≥2eq \r(2)，
当且仅当x＝eq \r(2)时取“＝”．
∴－a≥2eq \r(2)，
∴a≤－2eq \r(2).
9．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是( )
A．y＝cs x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x2
答案 AD
解析 由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1.
对于选项A，因为f′(x)＝－sin x，存在x1＝eq \f(π,2)，x2＝－eq \f(π,2)，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1；
对于选项B，因为f′(x)＝eq \f(1,x)>0，不存在x1，x2，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1；
对于选项C，因为f′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝－1；
对于选项D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－eq \f(1,4)，使得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1))f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))＝4x1x2＝－1.
10．已知函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)＋x＋a－1的图象是以(－1，－1)为中心的中心对称图形，g(x)＝ebx＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 由y＝x＋eq \f(1,x)的图象关于点(0,0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋eq \f(1,x)的图象平移得到，
又函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)＋x＋a－1的图象是以(－1，－1)为中心的中心对称图形，得a＝1，所以f(x)＝eq \f(1,x＋1)＋x.
对f(x)求导，得f′(x)＝1－eq \f(1,x＋12)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k1＝f′(1)＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
对g(x)求导，得g′(x)＝bebx＋2ax＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率为k2＝g′(0)＝2b.
由题意两曲线的切线互相垂直，得2b×eq \f(3,4)＝－1，即b＝－eq \f(2,3)，
所以a＋b＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
11．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有eq \f(fx1＋fx2,2)A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))B．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))>f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))
C．f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))D．f′(1)答案 C
解析 由f′(x)>0，得f(x)在R上单调递增，因为π>e>2，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))，故A不正确；
对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有eq \f(fx1＋fx2,2)f′(x)表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))－f(1)＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))－f1,2－1)＝kAB，
表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，f1))与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))))连线的斜率，
由图可知f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))12．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cs x
B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1
D．f(x)＝xex
答案 ABC
解析 对于A选项，f(x)＝sin x＋cs x，
f′(x)＝cs x－sin x，
则f″(x)＝－sin x－cs x，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，恒有f″(x)<0，是凸函数；
对于B选项，f(x)＝ln x－2x，f′(x)＝eq \f(1,x)－2，
则f″(x)＝－eq \f(1,x2)，
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，恒有f″(x)<0，是凸函数；
对于C选项，f(x)＝－x3＋2x－1，f′(x)＝－3x2＋2，
则f″(x)＝－6x<0在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，是凸函数；
对于D选项，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，
则f″(x)＝(x＋2)ex，
则f″(x)>0在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，故不是凸函数．
13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋3的切线，也是曲线y＝ln (x＋2)的切线，则实数b的值是( )
A．2＋ln eq \f(2,3) B．2－ln 6
C．2＋ln 6 D．2＋ln eq \f(3,2)
答案 A
解析 已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋3的切线，也是曲线y＝ln (x＋2)的切线，
设切点分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，ln x1＋3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2)))) ，
令f(x)＝ln x＋3, 则f′(x)＝eq \f(1,x) ，
令g(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))，则g′(x)＝eq \f(1,x＋2)，
可知eq \f(1,x1)＝eq \f(1,x2＋2) ，即x1＝x2＋2，
过切点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，ln x1＋3))表示切线方程：y－ln x1－3＝eq \f(1,x1)(x－x1), 整理得y＝eq \f(1,x1)x＋ln x1＋2 ，
过切点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，ln \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))))表示切线方程：
y－ln (x2＋2)＝eq \f(1,x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x2))，
整理得y＝eq \f(1,x2＋2)x－eq \f(x2,x2＋2)＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))＝eq \f(1,x1)x－eq \f(x2,x2＋2)＋ln x1，
故 eq \f(x2,x2＋2)＝－2，解得x2＝－eq \f(4,3)，
故b＝2＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2))＝2＋ln eq \f(2,3).
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋3x，x≤0，,ln x，x>0，))g(x)＝f(x)－kx＋1.若g(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))
解析 g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)＝kx－1有四个不同的根，
等价于y＝f(x)，y＝kx－1的图象有四个不同的交点，
作出y＝f(x)，y＝kx－1的图象，
由图可知当k＝0时，两图象有三个交点，
由x2＋3x＝kx－1，Δ＝0⇒k＝1或k＝5，
当k＝5时显然不符合题意；
当k＝1时，此时y＝x－1过y＝h(x)＝ln x 上的点(1,0)，h′(x)＝eq \f(1,x)，
所以h′(1)＝1，即y＝x－1与y＝ln x相切，
可得k＝1时，两图象有两个交点，
由图可知，当0即g(x)恰有4个零点，
所以若g(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1)).