2023届高考一轮复习加练必刷题第44练　平面向量的数量积【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第44练　平面向量的数量积【解析版】，共7页。试卷主要包含了向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。

考点一 平面向量数量积的基本运算
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sin eq \f(17π,3)，则b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
答案 D
解析 由题意知cs〈a，b〉＝sin eq \f(17π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,3)))
＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝1×2eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－3，
b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
2．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为eq \f(1,2)b，则a·b的值为( )
A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 设a与b的夹角为θ，
∵|a|·cs θeq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，
∴|a|·cs θeq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝eq \f(1,2)，
∴|a|·cs θ＝eq \f(3,2)，
∴a·b＝|a||b|cs θ＝3×eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
3．(2022·德州模拟)在平行四边形ABCD中，已知eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(FC,\s\up6(→))，|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
答案 －eq \f(9,2)
解析 ∵eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(FC,\s\up6(→))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
而|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AF,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(6)，
∴eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＝2，eq \f(1,9)eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2＝6，两式相减得eq \f(8,9)eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \f(8,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＝－4，
∴eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝－eq \f(9,2).
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))2＝－eq \f(9,2).
考点二 平面向量数量积的应用
4．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D．2
答案 A
解析 由题意得a·b＝|a|×1×eq \f(1,2)＝eq \f(|a|,2)，
又|2a－b|＝1，
∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，
即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝eq \f(1,2).
5．已知|a|＝eq \r(2)，|b|＝4，当b⊥(4a－b)时，向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 B
解析 根据题意，设向量a与b的夹角为θ，
若b⊥(4a－b)，则b·(4a－b)＝4a·b－b2＝16eq \r(2)cs θ－16＝0，
变形可得cs θ＝eq \f(\r(2),2)，又0≤θ≤π，则θ＝eq \f(π,4).
6．(2022·厦门模拟)向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x等于( )
A．－2 B．±eq \r(2) C．±2 D．2
答案 C
解析 方法一 a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，
即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2.
方法二 因为(a＋b)⊥(a－b)，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，
所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2.
7．若向量a，b的夹角是eq \f(2π,3)，a是单位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 因为向量a，b的夹角是eq \f(2π,3)，a是单位向量，|b|＝2，
所以a·b＝|a||b|cs eq \f(2π,3)＝1×2×cs eq \f(2π,3)＝－1.
因为c＝2a＋b，所以|c|＝eq \r(2a＋b2)＝eq \r(4a2＋4a·b＋b2)＝eq \r(4－4＋4)＝2，c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝－2＋4＝2.
设向量c与b的夹角为θ，其中θ∈[0，π]，
则cs θ＝eq \f(c·b,|c||b|)＝eq \f(2,2×2)＝eq \f(1,2)，得θ＝eq \f(π,3).
8．已知eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))均为单位向量，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
答案 eq \f(5,8)
解析 eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))均为单位向量，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0．
故A，B，C三点围成△ABC.
设BC的中点为D，连接OA、OB、OC、OD.
∵eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋2eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OD,\s\up6(→))＝0．
故A、O、D三点共线，且AO＝4OD.
∵OA＝OB＝OC＝1，
故△BOC为等腰三角形．
故有OD⊥BC，即AD⊥BC，且OD＝eq \f(1,4)，AD＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，
∴BD＝eq \r(OB2－OD2)＝eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2)＝eq \f(\r(15),4)＝DC，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))2＋(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))2＋0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),4)))2＝eq \f(5,8).
考点三 平面向量的实际应用
9.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重约为(参考数据：重力加速度g＝10 m/s2，eq \r(3)≈1.732)( )
A．63 kg B．69 kg
C．75 kg D．81 kg
答案 B
解析 由题意知，G＝－(F1＋F2)，所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cs 60°＋4002＝3×4002，即G＝400eq \r(3) N，所以该学生的体重约为40eq \r(3)≈40×1.732≈69(kg)．
10.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(10,7) B.eq \f(9,8)
C.eq \f(25,16) D.eq \f(29,18)
答案 C
解析 以B为原点，以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AB＝3，BC＝4，所以A(0,3)，B(0，0)，C(4,0)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－3)，设E(a,3)，则eq \(BE,\s\up6(→))＝(a,3)．因为BE⊥AC，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝4a－9＝0，解得a＝eq \f(9,4).由eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))＝λ(0,3)＋μ(4,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4μ＝\f(9,4)，,3λ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,μ＝\f(9,16)，))所以λ＋μ＝eq \f(25,16).
11．(多选)(2022·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )
A．|a＋b|＝2
B．a与b垂直
C．a与a－b的夹角为eq \f(π,4)
D．|a－b|＝1
答案 BC
解析 |a＋b|＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，故A错误；因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝eq \r(2)，故D错误；cs〈a，a－b〉＝eq \f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq \f(a2－a·b,1×\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以a与a－b的夹角为eq \f(π,4)，故C正确．
12．(多选)(2022·福建三明一中模拟)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图①是后天八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则以下结论正确的是( )
A.eq \(HD,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0
B.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \f(\r(2),2)
C.eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))＝－eq \r(2)eq \(OE,\s\up6(→))
D．|eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(FH,\s\up6(→))|＝eq \r(2－\r(2))
答案 ABC
解析 正八边形ABCDEFGH被分成8个全等的等腰三角形，不妨取△AOB，则∠AOB＝eq \f(360°,8)＝45°，∴∠BOD＝2∠AOB＝90°，即HD⊥BF，∴eq \(HD,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝0，即选项A正确；
∵∠AOD＝3∠AOB＝135°，∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝1×1×cs 135°＝－eq \f(\r(2),2)，即选项B正确；易知eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \r(2)eq \(OE,\s\up6(→))，即选项C正确；连接AF(图略)，
∵|eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(FH,\s\up6(→))|＝|eq \(FA,\s\up6(→))|，在等腰三角形AOF中，OA＝OF＝1，∠AOF＝135°，由余弦定理知，FA2＝OA2＋OF2－2OA·OFcs∠AOF＝1＋1－2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝2＋eq \r(2)，
∴|eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(FH,\s\up6(→))|＝|eq \(FA,\s\up6(→))|＝eq \r(2＋\r(2))，
即选项D错误．
13．(2022·马鞍山模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))，0≤λ≤1.若eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝－1，则实数λ＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由题意得，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋λeq \(CD,\s\up6(→))，
因为eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝－1，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋λeq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋λeq \(BC,\s\up6(→))2＋λ2eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝2×2×cs 120°－4λ＋4λ＋λ2×2×2×cs 60°＝－1，解得λ＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(\r(2),2)舍去)).
14．(2022·嘉兴模拟)已知平面向量a与b的夹角为120°，e为与a同向的单位向量，b在a上的投影向量为－e，且满足(2a＋b)⊥(a－3b)，则|a＋2b|＝________.
答案 eq \f(7,2)
解析 因为平面向量a与b的夹角为120°，b在a上的投影向量为－e，
所以|b|cs 120°·e＝－e，所以|b|＝2，
因为(2a＋b)⊥(a－3b)，即(2a＋b)·(a－3b)＝0，
即2a2－5a·b－3b2＝0，
所以2|a|2＋5|a|－12＝0，解得|a|＝eq \f(3,2)，
所以(a＋2b)2＝eq \f(9,4)＋4×eq \f(3,2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋4×4＝eq \f(49,4)，
所以|a＋2b|＝eq \f(7,2).