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2023届高考一轮复习加练必刷题第38练　正弦定理、余弦定理【解析版】

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考点一利用正弦、余弦定理解三角形
1．若在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2eq \r(6)，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上都不对
答案 C
解析在△ABC中，由正弦定理得，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，即eq \f(2\r(6),sin 60°)＝eq \f(4,sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(2),2).因为b2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq \f(2π,3)，b＝2，且△ABC的面积为eq \r(3)，则a的值为( )
A．12 B．8
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
答案 D
解析由题意可得，eq \f(1,2)×b×c×sin A＝eq \r(3)，
即eq \f(1,2)×2×c×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
∴c＝2，
又a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋4－8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝12，
∴a＝2eq \r(3).
3．(2022·保定模拟)在△ABC中，A＝60°，BC＝eq \r(10)，D是AB边上的一点，CD＝eq \r(2)，△BCD的面积为1，则AC的长为( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
答案 D
解析由S△BCD＝1，
可得eq \f(1,2)×CD×BC×sin∠DCB＝1，
即sin∠DCB＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs∠DCB＝eq \f(2\r(5),5)或cs∠DCB＝－eq \f(2\r(5),5)，
又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，
所以cs∠DCB>－eq \f(1,2)，所以cs∠DCB＝eq \f(2\r(5),5).
在△BCD中，cs∠DCB＝eq \f(CD2＋BC2－BD2,2CD·BC)＝eq \f(2\r(5),5)，解得BD＝2，
所以cs B＝eq \f(BD2＋BC2－CD2,2BD·BC)＝eq \f(3\r(10),10)，
所以sin B＝eq \f(\r(10),10).
在△ABC中，由正弦定理可得AC＝eq \f(BC·sin B,sin A)＝eq \f(2\r(3),3).
4．已知梯形ABCD的上底AB长为1，下底CD长为5，对角线AC长为eq \r(13)，BD长为2eq \r(2)，则△ABD的面积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析如图，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE，
则四边形ACDE为平行四边形，cs∠EBD＝eq \f(52＋2\r(2)2－\r(13)2,2×5×2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以sin∠EBD＝eq \f(\r(2),2)，
故S△ABD＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(2)×sin∠ABD＝1.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2 023c2，则eq \f(tan C,tan A)＋eq \f(tan C,tan B)等于( )
A.eq \f(1,1 010) B.eq \f(1,1 011)
C.eq \f(1,2 020) D.eq \f(1,2 019)
答案 B
解析 eq \f(tan C,tan A)＋eq \f(tan C,tan B)＝eq \f(sin C,cs C)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs A,sin A)＋\f(cs B,sin B)))＝eq \f(sin CsinA＋B,cs Csin Asin B)＝eq \f(sin2C,cs Csin Asin B)
＝eq \f(c2,abcs C)＝eq \f(2c2,a2＋b2－c2)＝eq \f(2c2,2 022c2)＝eq \f(1,1 011).
考点二正弦、余弦定理的综合应用
6．(2022·太原模拟)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)eq \r(ab2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2－c2,2)))2).根据此公式，若acs B＋(b－2c)cs A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为( )
A.eq \r(6) B．2eq \r(3) C.eq \r(3) D．3eq \r(2)
答案 C
解析根据题意，“三斜求积术”可变形为S＝eq \f(1,2)eq \r(bc2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2＋c2－a2,2)))2).
由正弦定理可得acs B＋(b－2c)cs A＝0
⇒sin Acs B＋(sin B－2sin C)cs A＝0，
即sin Acs B＋sin Bcs A＝2sin Ccs A，
即sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccs A.
∵sin C≠0，∴cs A＝eq \f(1,2).
由余弦定理得，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(4,2bc)＝eq \f(1,2)，解得bc＝4.
根据上述“三斜求积术”得
S＝eq \f(1,2)eq \r(bc2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2＋c2－a2,2)))2)＝eq \f(1,2)eq \r(16－4)＝eq \r(3).
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，则sin A等于( )
A.eq \f(15,17) B.eq \f(8,17) C.eq \f(13,15) D.eq \f(13,17)
答案 B
解析因为S＝eq \f(1,2)bcsin A，所以由余弦定理得，eq \f(1,2)bcsin A＝a2－(b－c)2＝(b2＋c2－2bccs A)－(b－c)2，
整理得eq \f(1,2)bcsin A＝2bc－2bccs A，
所以sin A＋4cs A＝4，①
又sin2A＋cs2A＝1，②
联立①②，解得sin A＝eq \f(8,17).
8．(多选)(2022·湖南重点中学联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝2，sin B＝sin 2A，则( )
A．sin B＝eq \f(4\r(2),9) B．cs A＝－eq \f(1,3)
C．c＝3 D．S△ABC＝2eq \r(2)
答案 ACD
解析因为sin B＝sin 2A，
所以sin B＝2sin Acs A，b＝2acs A.
又a＝3，b＝2，
所以cs A＝eq \f(1,3)，sin A＝eq \f(2\r(2),3)，sin B＝eq \f(4\r(2),9).
又b所以cs B＝eq \f(7,9)，cs C＝－cs(A＋B)
＝－cs Acs B＋sin Asin B＝eq \f(1,3)＝cs A，
所以c＝a＝3，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×3×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2).
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(1,2)，c2－b2＝2ab，则cs A＝________.
答案 eq \f(11,16)
解析因为eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(1,2)，
所以由正弦定理得eq \f(b,c)＝eq \f(1,2)，
即c＝2b.
又c2－b2＝2ab，则a＝eq \f(3,2)b.
由余弦定理得，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋4b2－\f(9,4)b2,2b×2b)＝eq \f(11,16).
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acs C＋(c－2b)cs A＝0，b＝2，eq \f(π,4)≤B≤eq \f(π,3)，则A＝________，边长c的取值范围为________．
答案 eq \f(π,3) [2，eq \r(3)＋1]
解析因为acs C＋(c－2b)cs A＝0，
所以sin Acs C＋(sin C－2sin B)cs A＝0，
即sin Acs C＋cs Asin C－2sin Bcs A＝0，
即sin(A＋C)－2sin Bcs A＝0，
即sin B－2sin Bcs A＝0.
因为sin B>0，
所以cs A＝eq \f(1,2).
又因为0由正弦定理得eq \f(2,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
解得c＝eq \f(2sin C,sin B)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B)),sin B)
＝eq \f(\r(3)cs B＋sin B,sin B)＝eq \f(\r(3),tan B)＋1.
因为eq \f(π,4)≤B≤eq \f(π,3)，
所以1≤tan B≤eq \r(3)，
所以2≤eq \f(\r(3),tan B)＋1≤eq \r(3)＋1，
则c∈[2，eq \r(3)＋1]．
11．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC面积的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
答案 D
解析由余弦定理得，cs 120°＝eq \f(AB2＋AC2－62,2AB·AC)，
即AB2＋AC2＝36－AB·AC≥2AB·AC，
当且仅当AB＝AC时，等号成立，
所以(AB·AC)max＝12，
所以(S△ABC)max＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×12×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3).
12．(2022·盐城模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，则∠BAC的平分线AD的长为( )
A．3eq \r(2) B．2 C.eq \f(12\r(2),7) D.eq \f(\r(14),4)
答案 C
解析因为AB＝4，AC＝3，BC＝5，
所以AB2＋AC2＝BC2，
所以∠BAC＝90°，
所以cs B＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(4,5).
因为AD是∠BAC的平分线，
所以eq \f(AB,BD)＝eq \f(AC,DC)，
即eq \f(4,BD)＝eq \f(3,DC)，
所以eq \f(4,BD)＝eq \f(3,5－BD)，解得BD＝eq \f(20,7).
在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs B＝16＋eq \f(400,49)－2×4×eq \f(20,7)×eq \f(4,5)＝eq \f(288,49)，
所以AD＝eq \f(12\r(2),7).
13．(2022·河北衡水中学模拟)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，b＝1，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则eq \f(b＋c,sin B＋sin C)的值为________．
答案 2
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，A∈(0，π)，
∴2A＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，
∴2A＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)，∴A＝eq \f(π,3).
∵b＝1，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),2)，
即eq \f(1,2)×1×c×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
解得c＝2.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A＝1＋4－2×1×2×cs eq \f(π,3)＝3，
得a＝eq \r(3)(舍去负值)，
根据正弦定理，得eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(3),sin \f(π,3))＝2.
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2－a2＝ac，则eq \f(B,A)＝________，eq \f(bcs A,a)＋eq \f(a,b)的取值范围为________．
答案 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2)))
解析由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accs B，
即b2－a2＝c2－2accs B，
所以c2－2accs B＝ac，
即c－2acs B＝a，
则由正弦定理得，sin C－2sin Acs B＝sin A，
即sin(A＋B)－2sin Acs B＝sin A，
即sin Acs B＋cs Asin B－2sin Acs B＝sin A，
即sin(B－A)＝sin A.
因为A，B∈(0，π)，
所以B－A＝A或(B－A)＋A＝π(舍)，
所以B＝2A，即eq \f(B,A)＝2.
因为A＋B＝3A∈(0，π)，
所以A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
所以eq \f(bcs A,a)＋eq \f(a,b)＝eq \f(sin Bcs A,sin A)＋eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(sin 2Acs A,sin A)＋eq \f(sin A,sin 2A)＝2cs2A＋eq \f(1,2cs A).
因为A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
所以令x＝cs A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
则f(x)＝2x2＋eq \f(1,2x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
则f′(x)＝4x－eq \f(1,2x2)＝eq \f(8x3－1,2x2)>0，
所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递增．
所以f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2)))，
即eq \f(bcs A,a)＋eq \f(a,b)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(5,2))).