2023届高考一轮复习加练必刷题第76练　抛物线【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第76练　抛物线【解析版】，共5页。试卷主要包含了经过点P的抛物线的标准方程为，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

考点一 抛物线的定义
1．若拋物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
答案 B
解析 抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，
∵点P到y轴的距离是4，
∴点P到准线的距离是4＋2＝6.根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6.
2．已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
答案 C
解析 方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|可化为eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5)，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．
3．已知P为抛物线y2＝4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值是( )
A．4 B.eq \r(74) C.eq \r(17)－1 D.eq \r(34)－1
答案 D
解析 因为A在抛物线的外部，所以当点P，A，F共线时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))最小，此时eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋d也最小，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))－1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))－1＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－1))2＋52)－1＝eq \r(34)－1.
考点二 抛物线的标准方程
4．(2022·沈阳模拟)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x或x2＝－8y
B．y2＝x或y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
答案 A
解析 ∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，
∴p1＝eq \f(1,2)，
∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，
∴p2＝4，
∴抛物线的方程为x2＝－8y.
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，抛物线上一点A满足|AF|＝5，且点A与点B(0,2)的连线与直线BF垂直，则抛物线的标准方程可以是( )
①y2＝4x；②y2＝8x；③y2＝12x；④y2＝16x.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
答案 C
解析 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0)).由AB⊥BF，得eq \f(y0－2,\f(y\\al(2,0),2p))·eq \f(2,－\f(p,2))＝－1.化简，得8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－2))＝yeq \\al(2,0)，解得y0＝4.由|AF|＝5，得eq \f(y\\al(2,0),2p)＋eq \f(p,2)＝5，所以eq \f(16,2p)＋eq \f(p,2)＝5，所以p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝16x.
考点三 抛物线的性质
6．如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝－1，那么它的焦点坐标为( )
A．(1,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(－1,0)
答案 A
解析 准线是直线x＝－1，则a＝4，焦点坐标为(1,0)．
7．(多选)已知抛物线ax2＝y的焦点到准线的距离为eq \f(1,2)，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 AB
解析 抛物线ax2＝y，即x2＝eq \f(1,a)y，由焦点到准线的距离为eq \f(1,2)，得eq \f(1,2|a|)＝eq \f(1,2)，则a＝±1.
8．过拋物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交拋物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)的值是( )
A．4 B．－4 C．p2 D．－p2
答案 B
解析 当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y1－y2,\f(1,2p)y\\al(2,1)－y\\al(2,2))＝eq \f(2p,y1＋y2)，又因为A，F，B三点共线，所以直线AF的斜率也为k，且k＝eq \f(y1－0,x1－\f(p,2))，所以eq \f(2p,y1＋y2)＝eq \f(y1,x1－\f(p,2))，整理可得yeq \\al(2,1)＋y1y2＝2px1－p2，又yeq \\al(2,1)＝2px1，所以y1y2＝－p2，故eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(y1y2,\f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2))＝eq \f(4p2,y1y2)＝－4；
当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2＝eq \f(p,2)，则y1＝p，y2＝－p，则eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(－p2,\f(p2,4))＝－4.
9．拋物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于eq \f(π,3)的直线与拋物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 易知直线方程为y＝eq \r(3)(x－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝\r(3)x－1，))消去y得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝eq \f(1,3)，x2＝3.
∴点A的横坐标为3，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF))＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))＝4.
10．(2022·厦门模拟)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若|AF|＝2|BF|，则k的值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2\r(2),3) C．2eq \r(2) D.eq \f(\r(2),4)
答案 C
解析 由抛物线C：y2＝8x，知F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为直线l过点(2,0)且其斜率大于零，
所以A，B在x轴两侧．
又|AF|＝2|BF|，知x1>x2，
且x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2x2＋2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－2，,y2＝8x，))
可得k2x2－(8＋4k2)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(8,k2)＋4，,x1x2＝4，))代入x1＝2x2＋2，
又x1>0，x2>0，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝4，,x2＝1，,k2＝8.))又k>0，
故k＝2eq \r(2).
11．(多选)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为( )
A．4 B．2 C．16 D．18
答案 BD
解析 设抛物线上，该点为A，焦点为F，则点A坐标为(x，±6)，
∵|AF|＝10，即x＋eq \f(p,2)＝10①，又点A在抛物线上，
∴36＝2px②，
由①②得p＝2或18.
12．若抛物线Γ：x＝－eq \f(y2,4)上有一动点P，则点P到Γ的准线的距离与到直线l：x＋y－5＝0的距离的和的最小值是( )
A.eq \f(81\r(2),32) B.eq \f(3\r(2),2)
C．2eq \r(2) D．3eq \r(2)
答案 D
解析 设点P到准线的距离为d1，到直线l的距离为d2，根据抛物线的定义知，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，则d1＋d2＝|PF|＋d2.过焦点F作FM⊥l于点M，则|PF|＋d2≥|FM|(当且仅当F，P，M三点共线且P在线段FM上时取等号)，又F(－1,0)，所以d1＋d2≥eq \f(|－1＋0－5|,\r(2))＝3eq \r(2).
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 易知D1C1⊥平面BCC1B1，则PC1为点P到直线C1D1的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹为抛物线．
14．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|＝6，则|EM|的长为( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(6) C．2 D.eq \r(3)
答案 B
解析 由已知得F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，并与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，y1＋y2＝4m，则y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝2m，x0＝2m2＋1，
∴E(2m2＋1,2m)，又|AB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4＝6，解得m2＝eq \f(1,2)，线段AB的垂直平分线为y－2m＝－m(x－2m2－1)，令y＝0，得M(2m2＋3,0)，从而|ME|＝eq \r(4＋4m2)＝eq \r(6).