2023届高考一轮复习加练必刷题第79练　圆锥曲线小题综合练【解析版】

这是一份2023届高考一轮复习加练必刷题第79练　圆锥曲线小题综合练【解析版】，共6页。试卷主要包含了已知F1，F2分别是椭圆E，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A．2 B．10 C.eq \r(7) D．2eq \r(7)
答案 D
解析 抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的左焦点为(－eq \r(7)，0)，所以p＝2eq \r(7).
2．已知F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，P为椭圆E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作直线l的垂线，交F1P的延长线于点M，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))等于( )
A．10 B．8 C．6 D．4
答案 A
解析 如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线，直线l⊥F2M，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)).
由椭圆方程得a＝5，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1M))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a＝10.
3．以双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1的顶点为焦点，离心率为eq \f(\r(3),3)的椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D
解析 ∵双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1的顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\r(3)))，
由题意，椭圆的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\r(3)))，即c＝eq \r(3)，
∵离心率为eq \f(\r(3),3)，即eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
∴a＝3，
∴b2＝a2－c2＝9－3＝6，
∴椭圆的标准方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,6)＝1.
4．抛物线方程为y2＝4x，一直线与抛物线交于A，B两点，其弦AB的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵A，B在抛物线上，
∴yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，
两式相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，
∴2(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2.
则直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2＝8y的准线交于点A和点B，|AB|＝2eq \r(3)，则C的实轴长为( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C．2 D．4
答案 C
解析 设等轴双曲线为y2－x2＝a2(a>0)，
抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－x2＝a2，,y＝－2，))解得x＝±eq \r(4－a2)，
所以2eq \r(4－a2)＝2eq \r(3)，解得a＝1，
所以实轴长为2.
6．若直线y＝x＋t与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时， |AB|的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
答案 C
解析 联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1))，
∴|AB|＝eq \r(2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－\f(16,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t2－1)))))＝eq \f(4,5)eq \r(10－2t2)，
而Δ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8t))2－4×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4t2－4))>0，
解得0≤t2<5.
∴取t2＝0得|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).
7．直线y＝x＋3与曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x|x|,4)＝1( )
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有两个交点 D．有三个交点
答案 D
解析 当x≥0时，曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),4)＝1可化为
eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1，①
将y＝x＋3代入①得5x2－24x＝0，
解得x＝0或x＝eq \f(24,5)，
即此时直线y＝x＋3与曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),4)＝1有两个交点；当x<0时，曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),4)＝1可化为
eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1，②
将y＝x＋3代入②得13x2＋24x＝0，
解得x＝0 (舍去)或x＝－eq \f(24,13)，
即此时直线y＝x＋3与曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),4)＝1有一个交点；
综上所述，直线y＝x＋3与曲线eq \f(y2,9)－eq \f(x\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)),4)＝1有三个交点．
8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A．2 B．4 C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(4\r(3),3)
答案 D
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1>b1>0)，
双曲线方程为eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，半焦距为c，点P在第一象限，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a1，,|PF1|－|PF2|＝2a2，))⇒a1＋a2＝|PF1|，
∴eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)＝eq \f(a1＋a2,c)＝eq \f(|PF1|,c)，
在△PF1F2中，由正弦定理得，
eq \f(|PF1|,sin ∠PF2F1)＝eq \f(2c,sin \f(π,3))⇒eq \f(|PF1|,c)＝eq \f(2sin∠PF2F1,\f(\r(3),2))
＝eq \f(4\r(3),3)sin∠PF2F1≤eq \f(4\r(3),3).
9．(多选)(2022·青岛模拟)平面内与两定点A1(0，－a)，A2(0，a)(a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所构成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的结论为( )
A．当m＝－1时，曲线C是一个圆
B．当m＝－2时，曲线C的离心率为eq \f(\r(2),2)
C．当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x
D．当m∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，曲线C的焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－a\r(1＋\f(1,m))))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a\r(1＋\f(1,m))))
答案 ABD
解析 设点P(x，y)，＝m，即eq \f(y＋a,x)×eq \f(y－a,x)＝m，
即y2－mx2＝a2，当m＝－1时，曲线是一个圆，故A正确；
当m＝－2时，eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,\f(1,2)a2)＝1，c＝eq \f(\r(2),2)a，e＝eq \f(\r(2),2)，故B正确；
当m＝2时，eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,\f(1,2)a2)＝1，
渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，故C错误；
当m<－1时，曲线方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,\f(a2,－m))＝1，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－a\r(1＋\f(1,m))))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a\r(1＋\f(1,m))))，当m>0时，曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,\f(a2,m))＝1，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－a\r(1＋\f(1,m))))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a\r(1＋\f(1,m))))，故D正确．
10．(多选)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴交于点M，经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，则下列结论正确的是( )
A．－1B．y1y2＝8x1x2
C．∠AFB可能为直角
D．当k2＝eq \f(1,2)时，△AFB的面积为16
答案 CD
解析 依题意知F(2,0)，M(－2,0)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝kx＋2，))
消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2≠0，,4k2－82－16k4>0，))解得－1因为x1x2＝eq \f(4k2,k2)＝4，所以yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝8x1×8x2＝64×4＝256，由于y1，y2同号，所以y1y2＝16，于是y1y2＝4x1x2，故选项B错误；
由于eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，
所以eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2·eq \f(8－4k2,k2)＋4＋16＝32－eq \f(16,k2)，
当k2＝eq \f(1,2)时，eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))＝0，∠AFB为直角，故选项C正确；
△AFB的面积S＝S△MFA－S△MFB＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2))＝2eq \r(y1＋y22－4y1y2)，
当k2＝eq \f(1,2)时，
y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)＝k(x1＋x2＋4)＝16k，因此S＝2eq \r(16k2－4×16)＝16，故D正确．
11．已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为eq \f(\r(5),3)c (c为双曲线的半焦距的长)，则该双曲线的离心率为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为(±c,0)，其中c＝eq \r(a2＋b2).
所以一个焦点到一条渐近线的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(bc)),\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(5),3)c，即b＝eq \f(\r(5),3)c，
因此，a＝eq \r(c2－b2)＝eq \f(2,3)c，由此可得双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
12．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为________．
答案 eq \f(36,25)
解析 根据题意，设△ABF2内切圆的半径为r，
△ABF2的周长为4×5＝20，面积为S＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝eq \f(2×4×9,5)＝eq \f(72,5)，又S＝eq \f(1,2)×20×r＝10r，所以r＝eq \f(72,10×5)＝eq \f(36,25).
13．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______.
答案 8
解析 方法一 由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，
所以eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，
所以抛物线C为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝x－1与y2＝4x并消去y，得x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，则|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
方法二 设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(2),2)，由题意知，直线l：y＝x－1过点(1,0)，所以eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，则|AB|＝eq \f(2p,sin 2α)＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))的最小值是________．
答案 eq \f(9,4)
解析 由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，b＝1，解得a＝2，c＝eq \r(3)，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)))＋\f(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))))
≥eq \f(1,4)(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝eq \f(8,3)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝eq \f(4,3)时等号成立．