全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—18.极坐标与参数方程（解析版）

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极坐标与参数方程
1．(2021年高考全国甲卷理科)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．
【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点．
解析：（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点．
2．(2021年高考全国乙卷理科)在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
(1)写出的一个参数方程;
(2)过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1），（为参数）；（2）或．
解析：（1）由题意，的普通方程为，
所以参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)当时，是什么曲线？
(2)当时，求与的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）．
【解析】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），
两式平方相加得，
所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数），
所以，曲线的参数方程化为为参数），
两式相加得曲线方程为，
得，平方得，
曲线的极坐标方程为，
曲线直角坐标方程为，
联立方程，
整理得，解得或（舍去），
，公共点的直角坐标为．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：(θ为参数)，C2：(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
【答案】（1）；；（2）．
解析：（1）由得的普通方程为：；
由得：，两式作差可得的普通方程为：．
（2）由得：，即；
设所求圆圆心的直角坐标为，其中，
则，解得：，所求圆的半径，
所求圆的直角坐标方程为：，即，
所求圆的极坐标方程为．
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A、B两点．
(1)求；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
【答案】（1）（2）
解析：（1）令，则，解得或（舍），则，即．
令，则，解得或（舍），则，即．
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即．
由可得，直线的极坐标方程为．
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

(1)分别写出，，的极坐标方程；
(2)曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标．
【答案】
(1),,；
(2)或或或
【官方解析】
(1)由题设可得，所在圆的极坐标方程分别为．
所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．
(2)设，由题设及（1）知
若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得．
综上的极坐标为或或或．
【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为．
当时，求及的极坐标方程；
当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．
【答案】，的极坐标方程为；.
【官方解析】
因为在上，当时，.
由已知得.
设为上除的任意一点.在中，
经检验，点在曲线上.
所以，的极坐标方程为.
设，在中， ，即.
因为在线段上，且，故的取值范围是.
所以，点轨迹的极坐标方程为 .
【分析】先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
先由题意得到点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.
【解析】因为点在曲线上，
所以；即，所以，
因为直线过点且与垂直，所以直线的直角坐标方程为，
即；因此，其极坐标方程为，即的极坐标方程为；
设，则， ，由题意，，所以，故，整理得，因为在线段上，在上运动，所以，，
所以，点轨迹的极坐标方程为，即.
【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)求上的点到距离的最小值．
【答案】解：（1）因为，且，
所以的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．
（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，）．
上的点到的距离为．
当时，取得最小值7，故上的点到距离的最小值为．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—4：坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，过点，且倾斜角为的直线与交两点．
(1)求的取值范围；
(2)求中点的轨迹的参数方程．
【答案】【官方解析】（1）的直角坐标方程为
当时，与交于两点；
当时，，则的方程为
与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上可知的取值范围为
（2）的参数方程为（为参数，）
设对应的参数分别为，则，且，满足
于是，，又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）
【民间解析】（1）由的参数方程，消去参数，可得：
当时，直线显然与：有两个交点
当时，可设直线
由直线与交两点，可得，解得，所以或
又，且，所以或
综上可知的取值范围为
（2）法一：记，设，连结，则有
所以，所以即即①
此外点必须在圆：内
所以②
所以，即
所以中点的轨迹方程为
所以中点的轨迹方程的参数方程为，（为参数，且）
法二：可设，，
联立，消去，
整理可得
由根与系数的关系得，所以
所以
所以点的轨迹的参数方程为（其中为参数，且）．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】解析：（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程带入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的直角坐标方程；
(2)若与有且仅有三个公共点，求的方程．
【答案】解析：（1）由，得的直角坐标方程为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4―4:坐标系与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为．
(1)若,求与的交点坐标;
(2)若上的点到的距离的最大值为,求．
【答案】(1)与的交点坐标为,;(2)或．
【分析】(1)先将曲线和直线l化成普通方程,然后联立求出交点坐标;(2)直线的普通方程为,设上的点,的距离为．对进行讨论,分和两种情况,求出的值．
【解析】(1)曲线的普通方程为．
当时,直线的普通方程为．
由解得或．
从而与的交点坐标为,．
(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为
．
当时,的最大值为．由题设得,所以;
当时,的最大值为．由题设得,所以．
综上,或．
【考点】考查直角坐标方程与极坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化,直线与曲线的位置关系
【点评】化参数方程为普通方程主要是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决．
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
(1)写出的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
（1）由直线的参数方程为（为参数），可得
由直线的参数方程为（为参数），可得
联立，的方程，消去参数可得：即
当时，，此时两直线没有交点
所以曲线的普通方程为：．
（2）法一：将代入，可得曲线的极坐标方程为：

联立曲线与的极坐标方程

整理可得
所以点的极径长为．
法二：将代入，可得
联立方程
故的直角坐标为，所以．
故点的极径为．
【考点】参数方程与普通方程的互化；极坐标中的极径的求解
【点评】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【答案】【命题意图】坐标系与参数方程，求动点的轨迹方程，三角函数
【基本解法】（1）解法一：设点在极坐标下坐标为
由可得点的坐标为，代入曲线的极坐标方程，得：
，即，两边同乘以，化成直角坐标方程为：
，由题意知，所以检验得．
解法二：设点在直角坐标系下坐标为，曲线的直角坐标方程为，因为三点共线，所以点的坐标为，代入条件得：
，因为，化简得：
．
（2）解法一：由（1）知曲线的极坐标方程为，故可设点坐标为，
由得，即最大值为．
解法二：在直角坐标系中，点坐标为，直线的方程为．
设点点坐标，则点到直线的距离
所以，又因为点坐标满足方程，由柯西不等式得：
，即
即
由得，．
解法三：前面同解法二，
，又因为点坐标满足方程，故可设
的坐标，即
．
【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。
【点评】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.
【答案】(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)的普通方程为,的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值,
即为到的距离的最小值,.
当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直线坐标系中，圆的方程为．
(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
(2)直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，，求的斜率．
【答案】（1）；（2）．
【官方解答】（1）由可得圆的极坐标方程
．
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
设所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是，

由得，．
所以的斜率为或．
【民间解答】
（1）由可知圆的极坐标方程为．
（2）记直线的斜率为，则直线的方程为，
由垂径定理及点到直线距离公式知：，
即，整理得，则．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
(I)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
(II)直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．
【答案】 (I)为以为圆心，为半径的圆． (II)
【官方解答】(I)消去参数得到的普通方程
是以为圆心，为半径的圆．
将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为
∴
(II)曲线，的公共点的极坐标满足方程组
若，由方程组的
由已知，可得
从而，解得（舍去），
当时，极点也为，的公共点，在上
所以．
【民间解答】(I) （均为参数）
∴ ①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵
∴ 即为的极坐标方程
(II) 两边同乘得
即 ②
：化为普通方程为
由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：，即为
∴，∴．
18．(2015高考数学新课标2理科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
(Ⅰ)．求与交点的直角坐标；
(Ⅱ)．若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．
解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．
考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．
19．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(Ⅰ)求，的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积
【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积．
解析：（Ⅰ）因为，
∴的极坐标方程为，的极坐标方程为．……5分
（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，
因为的半径为1，则的面积=．
考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系
20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分10)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，．
(Ⅰ)求C的参数方程；
(Ⅱ)设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
【答案】解析：（Ⅰ）代入得
又因为，所以，C的普通方程
所以C的参数方程为

（Ⅱ）设点D，由（Ⅰ）知曲线C是以为圆心，以为半径的上半圆，C在D处的切线与直线垂直，则
，所以D的坐标为．
考点：（1）普通方程与参数方程的转化（2）直线与圆的关系
难度：B
备注：高频考点
21．(2014高考数学课标1理科)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线:,直线:(为参数)．
(1)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(2)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值．
【答案】解析:(1)曲线C的参数方程为: (为参数),
直线的普通方程为:．
(2)在曲线C上任意取一点到的距离为
,
则,其中为锐角且．
当时,取得最大值,最大值为;
当时,取得最小值,最小值为．
考点:(1)极坐标与直角坐标的转化;(2)圆锥曲线极坐标方程的应用;(3)极坐标的综合应用
难度:B
备注:高频考点
22．(2013高考数学新课标2理科)[选修4－4]坐标系与参数方程
已知动点都在曲线(为参数)上，对应参数分别为与，为的中点．
(1)求的轨迹的参数方程；
(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．
【答案】（1） 的轨迹的参数方程为 (为参数，)
（2）见解析
解析　(1)依题意有，
因此．
的轨迹的参数方程为 (为参数，)．
(2)点到坐标原点的距离．
当α＝π，d＝0，故的轨迹过坐标原点．
考点：（1）12．2．4参数方程与普通方程的互化；（2）12．2．5直线与圆的参数方程的应用
难度：B
备注：高频考点，典型题
23．(2013高考数学新课标1理科)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)。
【答案】(1) (2)（），．
解析:将消去参数，化为普通方程，
即：，将代入 得，，
∴的极坐标方程为；
（Ⅱ）的普通方程为，
由解得或，∴与的交点的极坐标分别为（），．
考点：（1）12．2．1极坐标和直角坐标的互化；（2）12．2．4参数方程与普通方程的互化．
难度：Ｂ
备注：高频考点
24．(2012高考数学新课标理科)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，
且依逆时针次序排列，点的极坐标为．
(1)求点的直角坐标；
(2)设为上任意一点，求的取值范围．
【答案】（１）点的直角坐标为
　　（２）
解析（1）点的极坐标为
点的直角坐标为
（2）设；则


考点：（１）12．2．1极坐标和直角坐标的互化；（２）12．2．4参数方程与普通方程的互化．
难度：Ｂ
备注：高频考点