全国卷2012-2021高考真题分类汇编及详解—20.复数（解析版）

  复数

一、选择题

1．(2021年高考全国乙卷理科)设，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

解析：设，则，则，

所以，，解得，因此，．

故选：C．

2．(2021年高考全国甲卷理科)已知，则 (　　)

AB．C．D．

【答案】B

解析：，

．

故选：B．

3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i，则|z2–2z|= (　　)

A．0 B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】由题意可得：，则．

故．故选：D．

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题．

4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数虚部是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：因为，

所以复数的虚部为．

故选：D．

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题．

5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据复数运算法则，，故选D．

另解：由常用结论，得，则，故选D．

【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．

6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设，则在复平面内对应的点位于 (　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】∵，∴，对应坐标，是第三象限．

【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．

7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数满足，在复平面内对应的点为，则 (　　)

【答案】C

解析：设，则．

8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）) (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：，故选D．

9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）) (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

解析：，故选D．

10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

解析：，则，故选：C．

11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设有下面四个命题

:若复数满足,则;:若复数满足,则;

:若复数满足,则;:若复数,则．

其中的真命题为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】  B

【解析】令,则由得,所以,正确;

当时,因为,而知,不正确;

由知不正确;

对于,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故正确,故选B．

【考点】复数的运算与性质

【点评】分式形式的复数,分子分母乘分母的共轭复数,化简成的形式进行判断,共轭复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可．

12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设复数z满足,则 (　　)．

A． B． C． D．2

【答案】  C

【解析】法一：由可得，所以，故选C．

法二：由可得，故选C．

【考点】复数的模

【点评】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：

(1)；(2)；(3)；(4)；

(5)；(6)．

13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科) (　　)

B．C．D．

【答案】  D

【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力．

【解析】解法一：常规解法

解法二：对十法

可以拆成两组分式数，运算的结果应为形式，（分子十字相乘，

分母为底层数字平方和），（分子对位之积差，分母为底层数字平方和）．

解法三：分离常数法

解法四：参数法

，解得

故

【知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1．复数的

几何意义（2016年）；2．复数的四则运算；3．复数的相等的充要条件；4．复数的分类及共轭复数；

5．复数的模

14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】,故选C.

15．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是 (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在复平面内对应的点坐标为：

又在复平面内对应的点在第四象限

所以 所以 故选A．

16．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设，其中是实数，则 (　　)

(A)1(B)(C)(D)2

【答案】B

【解析】由可知：，故，解得：．

所以，．故选B．

17．(2015高考数学新课标2理科)若为实数且，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

解析：由已知得，所以，解得，故选B．

考点：复数的运算．

18．(2015高考数学新课标1理科)设复数满足，则 (　　)

A．1 B． C． D．2

【答案】A

解析：由得，==，故|z|=1，故选A．

考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等．

19．(2014高考数学课标2理科)设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则 (　　)

A．-5 B．5 C．-4+i D．-4-i

【答案】A

解析：由题意知：，所以-5，故选A。

考点：（1）复数的乘法；（2）复数的几何意义．

难度：B

备注：常考题

20．(2014高考数学课标1理科)= (　　)

A． B． C． D．

【答案】  D

解析:∵=,选D．

考点:(1)复数的代数运算  (2)转化思想

难度:A

备注:高频考点

21．(2013高考数学新课标2理科)设复数满足，则＝ (　　)

A． B． C． D．

【答案】A

解析：由已知得

考点：（1）11．2．2复数的代数运算

难度：A

备注：高频考点

22．(2013高考数学新课标1理科)若复数z满足，则z的虚部为 (　　)

A．－4 B．－ C．4 D．

【答案】D

解析：由题知===，故z的虚部为，故选D．

考点: （1）11．2．1复数的概念；（2）11．2．2复数的代数运算．

难度：Ａ

备注：高频考点

23．(2012高考数学新课标理科)下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为 (　　)

的共轭复数为的虚部为 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

解析：由（除法运算，化为标准形式）得

      ，（复数模的运算）

，（复数的平方运算）

的共轭复数为，（求共轭复数）

的虚部为，（复数定义）

得真命题是

考点：（1）11．2．1复数的概念；（2）11．2．2复数的代数运算；（3）11．2．3复数的几何意义

难度：A

备注：高频考点

二、填空题

24．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数，满足，，则=__________．

【答案】

解析：方法一：设，，

，

，又，所以，，

．

故答案为：．

方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,

由已知,

∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴．

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解